L'addition et la soustraction de fractions rationnelles

1. Factoriser le numérateur et le dénominateur de chacune des fractions.

2. Poser toutes les restrictions (dénominateurs différents de 0).

3. Simplifier les facteurs communs dans chacune des fractions (si possible).

4. Trouver un dénominateur commun.

5. Effectuer l’addition ou la soustraction au numérateur.

6. Simplifier à nouveau les facteurs communs (si nécessaire).

Soit l’addition des fractions rationnelles suivantes. ||\dfrac{x}{x-2} + \dfrac{2}{x-1}||

1. Les polynômes au numérateur et au dénominateur sont déjà factorisés.
2. Poser les restrictions, c'est-à-dire trouver les valeurs de |x| pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de |0.| ||\begin{align}x-2 \neq 0 &\to x \neq 2\\[4pt] x-1 \neq 0 &\to x \neq 1\end{align}||
3. Il n’y a pas de facteurs communs à simplifier dans chacune des fractions.
4. Trouver un dénominateur commun.
   
   Il manque le facteur |(x-1)| au dénominateur de la 1^re fraction et il manque le facteur |(x-2)| au dénominateur de la 2^e fraction pour qu’elles aient le même dénominateur. Transformons les 2 fractions en fractions équivalentes pour qu’elles aient le même dénominateur. ||\dfrac{x(x-1)}{(x-2)(x-1)} + \frac{2(x-2)}{(x-1)(x-2)}||
5. Additionner les 2 fractions. ||\begin{align}&\dfrac{x(x-1) + 2(x-2)}{(x-2)(x-1)}\\[4pt] &= \dfrac{x^2 - x + 2x - 4}{(x-2)(x-1)}\\[4pt] &= \dfrac{x^2 + x - 4}{(x-2)(x-1)}\end{align}||
6. Il n’y a pas de facteurs communs alors la simplification s’arrête ici.

Réponse : On écrit la fraction rationnelle simplifiée en n’oubliant pas de donner les restrictions trouvées initialement.

|\dfrac{x}{x-2} + \dfrac{2}{x-1}= \dfrac{x^2 + x -4}{(x-2)(x-1)}| où |x\ne 1| et |x\ne 2|

Soit l’addition des fractions rationnelles suivantes. ||\dfrac{x-3}{x^2+3x+2} + \dfrac{x-2}{x^2-1}||

1. On peut factoriser les 2 polynômes des dénominateurs. On factorisera |x^2+3x+2| par un cas de trinôme et |x^2-1| se factorisera à l’aide d’une différence de carrés. ||\begin{align}x^2+3x+2 &= (x+1)(x+2)\\[5pt] x^2-1 &= (x+1)(x-1)\end{align}||
   On obtient les 2 fractions suivantes.||\dfrac{x-3}{(x+1)(x+2)} + \dfrac{x-2}{(x+1)(x-1)}||
2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de |x| pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de |0.| ||\begin{align}x+1 \neq 0 &\to x \neq -1\\[4pt] x+2 \neq 0 &\to x \neq -2\\[4pt] x-1 \neq 0 &\to x \neq 1\end{align}||
3. Il n’y a pas de facteurs communs à simplifier dans chacune des fractions.
4. Trouvons un dénominateur commun.
   
   Il manque le facteur |(x-1)| au dénominateur de la 1^re fraction et il manque le facteur |(x+2)| au dénominateur de la 2^e fraction pour qu’elles aient le même dénominateur. Transformons les 2 fractions en fractions équivalentes pour qu’elles aient le même dénominateur. ||\dfrac{(x-3)(x-1)}{(x+1)(x+2)(x-1)} + \dfrac {(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-1)(x+2)}||
5. Additionnons les 2 fractions.||\begin{align}&\phantom{=}\ \dfrac{(x-3)(x-1) + (x-2)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x-1)}\\[5pt] &=\dfrac{(x^2 - x - 3x + 3) + (x^2 + 2x - 2x - 4)}{(x+1)(x+2)(x-1)}\\[5pt] &= \dfrac{(x^2 - 4x + 3) + (x^2 - 4)}{(x+1)(x+2)(x-1)}\\[5pt] &= \dfrac{x^2 - 4x + 3 + x^2 - 4}{(x+1)(x+2)(x-1)}\\[5pt] &= \dfrac{2x^2 - 4x - 1}{(x+1)(x+2)(x-1)}\end{align}||
6. Il n’y a pas de facteur commun alors la simplification s’arrête ici.

Réponse : On écrit la fraction rationnelle simplifiée en n’oubliant pas de donner les restrictions trouvées initialement.

|\dfrac{x-3}{x^2+3x+2} + \dfrac{x-2}{x^2-1} = \dfrac{2x^2 - 4x - 1}{(x+1)(x+2)(x-1)}| où |x \neq -2|, |x \neq -1| et |x\neq 1|

Soit la soustraction des fractions rationnelles suivantes. ||\dfrac{x+1}{x^2+2x+1} - \dfrac{x+3}{x^2+4x+3}||

1. On peut factoriser les 2 polynômes des dénominateurs. On factorise |x^2+2x+1| par un cas de trinôme et |x^2+4x+3| se factorise aussi à l’aide d’un cas de trinôme. ||\begin{align}x^2+2x+1 = (x+1)(x+1)\\[4pt] x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)\end{align}||On obtient les 2 fractions suivantes. ||\dfrac{(x+1)}{(x+1)(x+1)} - \dfrac{(x+3)}{(x+3)(x+1)}||
2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de |x| pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de |0.| ||\begin{align}x+1 \neq 0 &\to x \neq -1\\ x+3 \neq 0 &\to x \neq -3\end{align}||
3. On peut simplifier des facteurs communs.||\begin{align}&\dfrac{\color{red}{(x+1)}}{\color{red}{(x+1)}(x+1)} - \dfrac{\color{blue}{(x+3)}}{\color{blue}{(x+3)}(x+1)}\\[5pt] &= \dfrac{1}{(x+1)} - \dfrac{1}{(x+1)}\end{align}||
4. Les 2 fractions ont le même dénominateur.
5. Soustrayons les 2 fractions.||\dfrac{1-1}{(x+1)} = \dfrac{0}{(x+1)} = 0||
6. Il n’y a rien d’autre que l’on peut simplifier.

Réponse : On écrit la réponse obtenue en n’oubliant pas de donner les restrictions trouvées initialement.

|\dfrac{x+1}{x^2+2x+1} - \dfrac{x+3}{x^2+4x+3}= 0| où |x\neq -1| et |x\neq -3|

Soit la soustraction des fractions rationnelles suivantes. ||\dfrac{x-2}{x^2+4x+3} - \dfrac{2x+1}{x+3}||

1. On peut factoriser le polynôme du 1^er dénominateur. On factorise |x^2+4x+3| par un cas de trinôme. ||x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)|| On obtient maintenant les 2 fractions suivantes. ||\dfrac{(x-2)}{(x+1)(x+3)} - \dfrac{(2x+1)}{(x+3)}||
2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de |x| pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de |0.| ||\begin{align}x+1 \neq 0 &\to x \neq -1\\[4pt] x+3 \neq 0 &\to x \neq -3\end{align}||
3. Il n'y a pas de facteurs communs.
4. Trouvons un dénominateur commun.
   
   Il manque le facteur |(x+1)| au dénominateur de la 2^e fraction pour qu’elles aient le même dénominateur. Transformons les 2 fractions en fractions équivalentes pour qu’elles aient le même dénominateur.||\dfrac{(x-2)}{(x+1)(x+3)} - \dfrac{(2x+1)(x+1)}{(x+3)(x+1)}||
5. Soustrayons les 2 fractions. ||\begin{align}&\phantom{=}\ \dfrac{(x-2)-(2x+1)(x+1)}{(x+1)(x+3)}\\[5pt]&=\dfrac{x-2-(2x^2+2x+x+1)}{(x+1)(x+3)}\\[5pt] &= \dfrac{-2x^2-2x-3}{(x+1)(x+3)}\end{align}||
6. Il n’y rien d’autre que l’on peut simplifier.

Réponse : On écrit la réponse obtenue en n’oubliant pas de donner les restrictions trouvées initialement.

|\dfrac{x-2}{x^2+4x+3} - \dfrac{2x+1}{x+3} = \dfrac{-2x^2-2x-3}{(x+1)(x+3)}| où |x\neq -3| et |x\neq -1|