-
Factoriser le numérateur et le dénominateur de chacune des fractions.
-
Poser toutes les restrictions (dénominateurs différents de 0).
-
Simplifier les facteurs communs dans chacune des fractions (si possible).
-
Trouver un dénominateur commun.
-
Effectuer l’addition ou la soustraction au numérateur.
-
Simplifier à nouveau les facteurs communs (si nécessaire).
Soit l’addition des fractions rationnelles suivantes :
|\displaystyle \frac{x}{x-2} + \frac{2}{x-1}|
1. Les polynômes au numérateur et au dénominateur sont déjà factorisés.
2. Poser les restrictions, c'est-à-dire trouver les valeurs de |x| pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de |0|.
|x-2 \neq 0 \to x \neq 2|
|x-1 \neq 0 \to x \neq 1|
3. Il n’y a pas de facteurs communs à simplifier dans chacune des fractions.
4. Trouver un dénominateur commun.
Il manque le facteur |(x-1)| au dénominateur de la première fraction et il manque le facteur |(x-2)| au dénominateur de la deuxième fraction pour qu’elles aient le même dénominateur. Transformons les deux fractions en fractions équivalentes pour qu’elles aient le même dénominateur.
| \displaystyle \frac{x(x-1)}{(x-2)(x-1)} + \frac{2(x-2)}{(x-1)(x-2)}|
5. Additionner les deux fractions.
|\displaystyle \frac{x(x-1) + 2(x-2)}{(x-2)(x-1)}|
|=\displaystyle \frac{x^2 - x + 2x - 4}{(x-2)(x-1)}|
|=\displaystyle \frac{x^2 + x - 4}{(x-2)(x-1)}|
6. Il n’y a pas de facteurs communs alors la simplification s’arrête ici.
Réponse : On écrit la fraction rationnelle simplifiée en n’oubliant pas de donner les restrictions trouvées initialement.
|\displaystyle\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x-1}= \frac{x^2 + x -4}{(x-2)(x-1)}| où |x \neq 1| et |x \neq 2|
Soit l’addition des fractions rationnelles suivantes :
|\displaystyle \frac{x-3}{x^2+3x+2} + \frac{x-2}{x^2-1}|
1. On peut factoriser les deux polynômes des dénominateurs. On factorisera |x^2+3x+2| par un cas de trinôme et |x^2-1| se factorisera à l’aide d’une différence de carrés.
|x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)|
|x^2-1 = (x+1)(x-1)|
Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :
|\displaystyle \frac{x-3}{(x+1)(x+2)} + \frac{x-2}{(x+1)(x-1)}|
2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de |x| pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de |0|.
|x+1 \neq 0 \to x \neq -1|
|x+2 \neq 0 \to x \neq -2|
|x-1 \neq 0 \to x \neq 1|
3. Il n’y a pas de facteurs communs à simplifier dans chacune des fractions.
4. Trouvons un dénominateur commun.
Il manque le facteur |(x-1)| au dénominateur de la première fraction et il manque le facteur |(x+2)| au dénominateur de la deuxième fraction pour qu’elles aient le même dénominateur. Transformons les deux fractions en fractions équivalentes pour qu’elles aient le même dénominateur.
|\displaystyle \frac{(x-3)(x-1)}{(x+1)(x+2)(x-1)} + \frac {(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-1)(x+2)}|
5. Additionnons les deux fractions.
|\displaystyle \frac{(x-3)(x-1) + (x-2)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x-1)}|
|=\displaystyle \frac{(x^2 - x - 3x + 3) + (x^2 + 2x - 2x - 4)}{(x+1)(x+2)(x-1)}|
|=\displaystyle \frac{(x^2 - 4x + 3) + (x^2 - 4)}{(x+1)(x+2)(x-1)}|
|=\displaystyle \frac{x^2 - 4x + 3 + x^2 - 4}{(x+1)(x+2)(x-1)}|
|=\displaystyle \frac{2x^2 - 4x - 1}{(x+1)(x+2)(x-1)}|
6. Il n’y a pas de facteur commun alors la simplification s’arrête ici.
Réponse : On écrit la fraction rationnelle simplifiée en n’oubliant pas de donner les restrictions que trouvées initialement.
|\displaystyle \frac{x-3}{x^2+3x+2} + \frac{x-2}{x^2-1} = \frac{2x^2 - 4x - 1}{(x+1)(x+2)(x-1)}| où |x \neq -2|, |x \neq -1| et |x\neq 1|
Soit la soustraction des fractions rationnelles suivantes :
|\displaystyle \frac{x+1}{x^2+2x+1} - \frac{x+3}{x^2+4x+3}|
1. On peut factoriser les deux polynômes des dénominateurs. On factorisera |x^2+2x+1| par un cas de trinôme et |x^2+4x+3| se factorisera aussi à l’aide d’un cas de trinôme.
|x^2+2x+1 = (x+1)(x+1)|
|x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)|
Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :
|\displaystyle \frac{(x+1)}{(x+1)(x+1)} - \frac{(x+3)}{(x+3)(x+1)}|
2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de |x| pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de |0|.
|x+1 \neq 0 \to x \neq -1|
|x+3 \neq 0 \to x \neq -3|
3. On peut simplifier des facteurs communs.
|\displaystyle \frac{\color{red}{(x+1)}}{\color{red}{(x+1)}(x+1)} - \frac{\color{blue}{(x+3)}}{\color{blue}{(x+3)}(x+1)}|
|=\displaystyle \frac{1}{(x+1)} - \frac{1}{(x+1)}|
4. Les deux fractions ont le même dénominateur.
5. Soustrayons les deux fractions.
|\displaystyle \frac{1-1}{(x+1)} = \frac{0}{(x+1)} = 0|
6. Il n’y a rien d’autre que l’on peut simplifier.
Réponse : On écrit la réponse obtenue en n’oubliant pas de donner les restrictions trouvées initialement.
|\displaystyle \frac{x+1}{x^2+2x+1} - \frac{x+3}{x^2+4x+3}= 0| où |x\neq -1| et |x\neq -3|
Soit la soustraction des fractions rationnelles suivantes :
|\displaystyle \frac{x-2}{x^2+4x+3} - \frac{2x+1}{x+3}|
1. On peut factoriser le polynôme du premier dénominateur. On factorisera |x^2+4x+3| par un cas de trinôme.
|x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)|
Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :
|\displaystyle \frac{(x-2)}{(x+1)(x+3)} - \frac{(2x+1)}{(x+3)}|
2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de |x| pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de |0|.
|x+1 \neq 0 \to x \neq -1|
|x+3 \neq 0 \to x \neq -3|
3. Il n'y a pas de facteurs communs.
4. Trouvons un dénominateur commun.
Il manque le facteur |(x+1)| au dénominateur de la deuxième fraction pour qu’elles aient le même dénominateur. Transformons les deux fractions en fractions équivalentes pour qu’elles aient le même dénominateur.
|\displaystyle \frac{(x-2)}{(x+1)(x+3)} - \frac{(2x+1)(x+1)}{(x+3)(x+1)}|
5. Soustrayons les deux fractions.
|\displaystyle \frac{(x-2)-(2x+1)(x+1)}{(x+1)(x+3)}|
|=\displaystyle \frac{x-2-(2x^2+2x+x+1)}{(x+1)(x+3)}|
|=\displaystyle \frac{-2x^2-2x-3}{(x+1)(x+3)}|
6. Il n’y rien d’autre que l’on peut simplifier.
Réponse : On écrit la réponse obtenue en n’oubliant pas de donner les restrictions trouvées initialement.
|\displaystyle \frac{x-2}{x^2+4x+3} - \frac{2x+1}{x+3} = \frac{-2x^2-2x-3}{(x+1)(x+3)}| où |x\neq -3| et |x\neq -1|