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m1306
Slug (identifiant)
la-demonstration-des-propositions-portant-sur-les
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Niveaux
Secondaire 5
Matière
Mathématiques
Tags
chasles
justifications
losange
milieu
diagonales
relation
démonstrations
vecteurs
propositions
Contenu
Contenu
Corps

​Il n'existe pas de procédure qui permette à tout coup de démontrer des énoncés à l'aide des vecteurs.  ​​

Liens
Corps

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/REC-html40/loose.dtd"&gt;
<html><body><p>Cependant, certaines stratégies peuvent s'avérer efficaces et permettre la démonstration de tels énoncés.</p>

<ol>
<li>Monter un plan de démonstration (dans sa tête ou par écrit) avant de se lancer dans les calculs.</li>
<li>Travailler de façon structurée. Des tableaux comme ceux utilisés dans les exemples présentés plus bas permettent souvent d'effectuer une démonstration plus claire.</li>
<li>Mettre à profit la relation de Chasles.</li>
<li>Utiliser les <a href="/fr/eleves/bv/mathematiques/les-proprietes-des-operations-sur-les-vecteurs-m1302">propriétés des vecteurs et des opérations vectorielles</a>.</li>
</ol>
</body></html>

Titre (niveau 3)
Montrer que si |\overrightarrow{u} = (a,b)|, alors |\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid =\mid \mid -\overrightarrow{u}\mid \mid |.
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formule-1
Corps
Affirmations Justifications
|\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid =\sqrt{a^{2}+b^{2}}| Par définition
|-\overrightarrow{u}=(-a,-b)| Vecteur opposé
|\mid \mid - \overrightarrow{u}\mid \mid =\sqrt{(-a)^{2}+(-b)^{2}}| Par définition
|\mid \mid -\overrightarrow{u}\mid \mid =\sqrt{a^{2}+b^{2}}| Par calculs
Les côtés droits des affirmations 1 et 4 sont identiques. Constatation
|\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid =\mid \mid -\overrightarrow{u}\mid \mid | Par transitivité

 

Titre (niveau 3)
Démontrer que |\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} =\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid ^{2}|. 
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formule-2
Corps

Posons que |\overrightarrow{u}=(r,s)|.
​​​

Affirmations Justifications
|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}=ac+bd| Définition du produit scalaire
|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} =r^{2}+s^{2}| Avec les bonnes composantes
|\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid ^{2}=(\sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}| Par définition
|\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid ^{2}=(\sqrt{r^{2}+s^{2}})^{2}| Avec les bonnes composantes
|\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid ^{2}=r^{2}+s^{2}| Par calculs
Les côtés droits des affirmations 3 et 6 sont identiques. Par constatation
|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid ^{2}| Par transitivité
Titre (niveau 3)
Montrer que les diagonales d’un losange sont perpendiculaires
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diagonales
Corps

Hypothèse : |ABCD| est un losange.
Conclusion : |\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BD}|
Il faut donc démontrer que |\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0| (produit scalaire).

Affirmations Justifications
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})| Par la relation de Chasles
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})| Ce sont les côtés congrus d'un losange
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})\cdot(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA})| Par commutativité
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})| Vecteur opposé
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}^2-\overrightarrow{AB}^2| Différences de carrés
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=\mid \mid \overrightarrow{AD}\mid \mid ^{2}-\mid \mid \overrightarrow{AB}\mid \mid ^{2}| |\overrightarrow{u}^{2}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid ^{2}|
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=\mid \mid \overrightarrow{AB}\mid \mid ^{2}-\mid \mid \overrightarrow{AB}\mid \mid ^{2}| Côtés congrus d'un losange
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0| Par soustraction
Titre (niveau 3)
Si |ABCD| est un parallélogramme, alors les diagonales se coupent en leur milieu.
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formule-3
Image
Paralléograme
Corps

Hypothèses : |ABCD| est un parallélogramme et |M| est le point milieu de la diagonale |AC|.
Conclusion : |M| est le point milieu de la diagonale |DB|. Ainsi, il faut démontrer que |\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{DM}|.
​​​

Affirmations Justifications
|\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}| Relation de Chasles
|\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AM}| Côtés opposés d'un parallélogramme
|\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MC}| Par hypothèse
|\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}| Commutativité de l'addition
|\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{MB}| Relation de Chasles
Titre (niveau 3)
Montrer que le segment de droite qui relie le milieu de deux côtés d'un triangle est parallèle au |3^e| côté et est égal à la moitié de ce côté.
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segment
Image
Segment
Corps

Hypothèses : |ABC| est un triangle et |\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}| puis |\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}|.
Conclusion : |\displaystyle \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}|​​​

Affirmations Justifications
|\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}| Relation de Chasles
|\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NC})| Relation de Chasles
|\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{BN}| Par hypothèse
|\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{BN}| Addition de vecteurs
|\overrightarrow{AC}=2(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN})| Mise en évidence
|\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{MN}| Relation de Chasles
|\displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{MN}| Division par 2
Contenu
Corps

Pour valider ta compréhension à propos des démonstrations de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante :

MiniRécup

Pour valider ta compréhension à propos des vecteurs de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante :

MiniRécup