Une équation qui comporte un terme où la variable indépendante apparait comme exposant d'un nombre réel est nommée équation exponentielle.
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<html><body><p>Pour résoudre une équation exponentielle, il faut être à l'aise avec les <a href="/fr/eleves/bv/mathematiques/les-logarithmes-m1358">logarithmes</a>.</p>
</body></html>
Il est important de garder en tête que |a^v=a^w| si et seulement si |v=w|. Donc, lorsqu'on a deux expressions qui sont égales et qu'elles ont la même base, alors les exposants sont égaux.
On pourra résoudre des expressions de la forme |a^u=b^v|. Pour les autres expressions, il sera généralement plus difficile d'y arriver.
Voici quelques exemples :
On veut trouver la valeur de |x| pour laquelle |f(x)=28| avec la fonction ||f(x)=5(2)^x-12||
1. On remplace |f(x)=28|.
||28=5(2)^x -12||
2. On isole la partie contenant l'exposant.
||\begin{align}40 &= 5 (2)^x\\ 8 &= 2^x \end{align}||
3. On passe à la forme logarithmique.
||\log_2 8 = x||
Autrement dit, on cherche quel exposant donner à 2 pour obtenir 8.
La réponse est |x=3|.
On veut résoudre l'équation : |2^{x+1}=3^{x-1}|.
1. On pose un logarithme des deux côtés de l'égalité.
(Il est important de remarquer que |a=b| si et seulement si |\log_c a=\log_c b|.)
||\log2^{x+1}=\log3^{x-1}||
2. Pour continuer la résolution, il faut mettre à profit les diverses lois des logarithmes. Dans le cas présent, on utilise : |\log_c a^n=n \log_c a|.
On obtient donc : | (x+1) \log 2 = (x-1) \log 3 |.
3. On effectue la distributivité.
||x \log 2 + \log 2 = x \log 3 - \log 3||
4. On envoie les termes contenant la variable |x| d'un côté et les autres termes de l'autre.
||\log 2 + \log 3 = x \log 3 - x \log 2||
5. Il ne reste qu'à faire quelques calculs. On applique deux lois des logarithmes :
|\log_c a + \log_c b= \log_c (a b)|
|\log_c a - \log_c b = \log_c (\frac{a}{b})|
||\begin{align}\log( 2 \times 3) &= x\left(\log\left( \frac{3}{2}\right)\right)\\ \log 6 &= x \log \left( \frac{3}{2}\right)\\ \displaystyle \frac{\log 6}{\log(\frac{3}{2} )}&=x\end{align}||
Rendu à cette étape, on peut utiliser la loi du changement de base :
||\log_{\frac{3}{2}} 6 = x \Longrightarrow x\approx 4,419 ||
On souhaite trouver la solution de l'équation |3(5^{2x})-4(5^{2x})+1=0|.
1. On effectue une mise en évidence simple de |5^{2x}|.
||\begin{align}5^{2x}(3-4)+1&=0\\-5^{2x}+1 &=0\end{align}||
2. On isole la partie contenant l'exposant.
||\begin{align}-5^{2x}&=-1\\5^{2x}&=1\end{align}||
3. On passe maintenant à la forme logarithmique.
||\log_5 1=2x||
4. On isole le |x|.
||\frac{\log_5 1}{2} =x||
Il est important de constater que |\log_5 1 = 0|. Ainsi, |x=0|.
Soit l'équation suivante :
||27=4\left(\frac{1}{3}\right)^{-x+2}+15||
1. On isole la base et son exposant.
||\begin{align}27-15 &=4\left(\frac{1}{3}\right)^{-x+2}\\ \frac{12}{4} &= \left(\frac{1}{3}\right)^{-x+2}\\ 3 &=\left(\frac{1}{3}\right)^{-x+2}\end{align}||
2. Pour avoir la même base de chaque côté de l'égalité, on utilise une propriété des exposants pour y arriver.
||\begin{align}3&=(3^{-1})^{-x+2}\\ 3 &= 3^{x-2}\end{align}||
3. Comme les bases sont identiques, on compare ensuite les exposants.
||\begin{align}1&=x-2\\1+2&=x\\3&=x\end{align}||La solution est donc |x=3.|
Soit l'équation suivante |2=3(8)^{2x+10}-7|.
1. On isole la base et son exposant.
||\begin{align}2+7&=3(8)^{2x+10}\\ \frac{9}{3} &= (8)^{2x+10}\\ 3&=8^{2x+10}\end{align}||
2. Il est impossible d'avoir la même base, donc on utilise les logarithmes et leurs propriétés.
||\begin{align} \log(3) &=\log(8)^{2x+10}\\ \log(3) &=(2x+10)\log(8)\\ \frac{\log(3)}{\log(8)}&=2x+10\\ 0,53&=2x+10\\ 0,53-10&=2x\\-9,47&=2x\\ \frac{-9,47}{2} &=x\\-4,74&\approx x\end{align}||
Une inéquation qui comporte un terme où la variable indépendante apparait comme exposant d'un nombre réel est nommée inéquation exponentielle.
Voici un exemple :
On doit donner l'ensemble-solution de l'inéquation : |28(8)^{2x+1} + 1 \leq 7(2)^{x-4} +1|.
1. On élimine le 1 de chaque côté.
||28(8)^{2x+1} \leq 7(2)^{x-4}||
2. On divise par 7 de chaque côté.
||4(8)^{2x+1} \leq 2^{x-4}||
3. On ramène tout en base 2 et on utilise les lois des exposants.
||\begin{align}2^2\ (2^3)^{2x+1} &\leq 2^{x-4}\\ 2^2\ 2^{3(2x+1)} &\leq 2^{x-4}\\ 2^2\ 2^{6x+3} &\leq 2^{x-4}\\ 2^{6x+5} &\leq 2^{x-4}\end{align}||
4. Comme les bases sont les mêmes de chaque côté de l'inégalité, cette dernière demeure vraie pour les exposants.
||6x+5 \leq x-4||
5. On peut donc résoudre.
||\begin{align}5x+5 &\leq -4\\ 5x &\leq -9\\x &\leq -\frac{9}{5}\end{align}||
Donc, pour tous les |x \leq -\frac{9}{5}|, l'inéquation |28(8)^{2x+1}+1 \leq 7(2)^{x-4}+1| est respectée.
Le graphique suivant le confirme :
Malheureusement, ce ne sont pas toutes les inéquations qui mettent en jeu des bases identiques. Lorsque la base n'est pas la même, il est très utile de suivre la démarche suivante :
- On résout l'inéquation (si possible) en remplaçant l'inéquation par un symbole d'égalité. On trouve ainsi le point d'intersection.
- On trace le graphique des deux fonctions (chaque membre de l'égalité).
- Avec le graphique et le point d'intersection, on donne l'ensemble-solution.
Remarque : Parfois, il est impossible de résoudre une inéquation à la main. On doit faire appel à un logiciel de calcul symbolique ou encore on doit trouver graphiquement le point recherché.
Soit l'inéquation |2^{x+1} +1 < 3^{x} -2|.
Résoudre une telle inéquation n'est pas simple. C'est un cas où il faut faire appel à des méthodes plus avancées. Dans ce cas-ci, on se contentera de faire un graphique et d'identifier le point d'intersection entre les deux courbes.
On obtient le graphique suivant :
Ainsi, l'ensemble-solution de l'inéquation est |]2,35;+\infty[|.