Pour résoudre une équation de la forme |\text{partie entière}=\text{nombre}|, il faut connaitre la définition de la partie entière d'un nombre.
Voici un rappel :
La partie entière d'un nombre, notée | [x] |, correspond à l'unique nombre entier tel que |[x] \leq x < [x] +1|. On appelle aussi ce symbole le plus grand entier inférieur ou égal à |x.| Les deux appellations sont des synonymes.
Remarque : Si |[x]=a| où |a| doit être un nombre entier. Alors |a \leq x < a+1|. Donc |x| appartient à l'intervalle |[a,a+1[|.
|[2{,}3]=2|, on cherche le plus grand entier inférieur ou égal à |2{,}3.| De plus, |2 \leq 2{,}3 < 3.|
|[-2{,}3]=-3|, on cherche le plus grand entier inférieur ou égal à |-2{,}3.| De plus, |-3 \leq -2{,}3 < -2.|
|[45]=45|, on cherche le plus grand entier inférieur ou égal à |45.| De plus, |45 \leq 45 < 46.|
Il faut donc utiliser cette définition dans la résolution.
Soit l'équation |\dfrac{1}{2}\big[\!-(x+1)\big] - 1 = 3.|
On isole la partie entière.||\begin{align}\dfrac{1}{2}\big[\!-(x+1)\big] - 1 &= 3\\[3pt] \dfrac{1}{2} \big[\!-(x+1)\big] &= 4\\[3pt] \big[\!-(x+1)\big] &= 8\end{align}||Comme la partie entière est égale à un nombre entier, on peut poursuivre la résolution.
On applique la remarque, c'est-à-dire que |8 \leq -(x+1) < 8+1.|
On résout la double inégalité.
|8 \leq -(x+1) < 9|
|-8 \geq x + 1 > -9| (en divisant par un nombre négatif, cela inverse le sens des inégalités)
|-8 - 1 \geq x > -9 -1|
|-9 \geq x > -10|
Ainsi l'ensemble-solution correspond à l'intervalle |]-10,-9].| Les crochets de l'intervalle sont déterminés grâce à la dernière inégalité. De plus, les valeurs entre crochets doivent toujours être en ordre croissant.
Soit l'équation |2[x-1]-3=4.|
On isole la partie entière. ||\begin{align}2[x-1]-3&=4\\[3pt] 2[x-1]&=7\\[3pt] [x-1]&=\dfrac{7}{2} = 3{,}5\end{align}||Ici, il faut arrêter la résolution puisqu'une partie entière ne peut pas être égale à un nombre à virgule. L'équation n'a donc aucune solution.