Il est possible de réduire une expression algébrique en divisant les termes qu'elle contient.
Pour diviser des expressions algébriques, il est essentiel de bien maitriser les lois des exposants.
Lors de la division d'expressions algébriques, plusieurs situations peuvent se présenter :
Tous les termes, qu'ils soient semblables ou non, peuvent être divisés entre eux. Par contre, seuls les termes semblables peuvent être additionnés ou soustraits ensemble.
Il est rare qu'une équation soit formée uniquement de divisions. Il faudra, dans ce cas, respecter la priorité des opérations lors de la réduction de l'expression algébrique.
Lorsqu’on divise un monôme par un terme constant, on doit diviser le coefficient par le terme constant.
||\begin{align} 12xy^{2}\div{3} &= \dfrac{12xy^{2}}{3} \\ &= \dfrac{12}{3}xy^{2} \\ &= 4xy^2 \end{align}||
Lorsqu’on divise un monôme par un monôme, on doit :
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Diviser les coefficients ensemble.
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Soustraire les exposants de même base.
La 2e étape est en fait l’application de la propriété des exposants sur le quotient de puissances de même base.
||\begin{align} \dfrac{4^5}{4^3} &= \dfrac{\cancel{4^1} \times \cancel{4^1} \times \cancel{4^1} \times 4^1 \times 4^1}{\cancel{4^1}\times \cancel{4^1}\times \cancel{4^1}} \\ &=4^1 \times 4^1 = 4^2 = 4^{5-3} \\\\ \dfrac{x^6}{x^2} &= \dfrac{\cancel{x^1} \times \cancel{x^1} \times x^1 \times x^1 \times x^1 \times x^1}{\cancel{x^1}\times \cancel{x^1}} \\ &=x^1 \times x^1 \times x^1 \times x^1 = x^4 = x^{6-2} \end{align}||
||\begin{align} \dfrac{x^{3}y^{4}}{xy^{2}} &= x^{3-1}y^{4-2} \\ &= x^{2}y^{2} \end{align}||
||\begin{align} 25x^{3}y^{9}z\div5x^{3}y^{6} &= \dfrac{25x^{3}y^{9}z}{5x^{3}y^{6}}\\ \\ &= \dfrac{25}{5}x^{3-3}y^{9-6}z\\ \\ & = 5y^{3}z\end{align}||
Pour effectuer la division d'un polynôme par un terme constant on doit :
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Distribuer la division sur chacun des termes du polynôme.
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Pour chaque terme, diviser les coefficients ensemble.
| Effectue la division algébrique suivante : | ||\dfrac{18x^{2} + 54xy-6y+2}{6}|| |
|---|---|
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||\begin{align}= &\dfrac{18x^{2}}{6} + \dfrac{54xy}{6} - \dfrac{6y}{6} + \dfrac{2}{6} \end{align}|| |
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||\begin{align} = &\dfrac{18}{6}x^{2} + \dfrac{54}{6}xy - \dfrac{6}{6}y + \dfrac{2}{6} \\ = &\ \ \ 3\ x^2 +\ \ 9\ xy\ -\ 1\, y + \dfrac{1}{3} \end{align}|| |
Réponse : On réécrit l'expression en enlevant le coefficient |1.| La réponse est donc |3x^2 + 9xy - y + \dfrac{1}{3}.|
Pour effectuer la division d'un polynôme par un monôme, on doit :
-
Distribuer la division sur chacun des termes du polynôme.
-
Pour chaque terme, diviser les coefficients ensemble.
-
Pour chaque terme, soustraire les exposants de même base.
| Effectue la division algébrique suivante : | |\quad\ \ \ \dfrac {12xy^{2} + 6x^{8}y^{6}}{-3x^{3}y^{4}}| |
|---|---|
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|\begin{align} &= \dfrac {12xy^{2}}{-3x^{3}y^{4}} + \dfrac {6x^{8}y^{6}}{-3x^{3}y^{4}} \end{align}| |
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|\begin{align} &=\dfrac{12}{-3}\dfrac{xy^2}{x^3y^4} + \dfrac{6}{-3}\dfrac{x^8y^6}{x^3y^4} \\ &= \left( -4 \dfrac{xy^2}{x^3y^4}\right) + \left( -2 \dfrac{x^8y^6}{x^3y^4}\right) \end{align}| |
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|\begin{align} &=-4\dfrac {xy^{2}}{x^{3}y^{4}} -2\dfrac {x^{8}y^{6}}{x^{3}y^{4}} \\\\ &= -4x^{1-3}y^{2-4} -2x^{8-3}y^{6-4}\\\\ &= -4x^{-2}y^{-2} - 2x^{5}y^{2}\end{align}| |
Réponse : On réécrit l'expression pour qu'il n'y ait aucun exposant négatif. La réponse est donc |\dfrac {-4}{x^{2}y^{2}} - 2x^{5}y^{2}.|
On ne doit jamais laisser d'exposants négatifs dans les réponses. On doit se fier à la définition des exposants négatifs pour les rendre positifs. Si un exposant négatif est au dénominateur, on le change de signe en le plaçant au numérateur et vice-versa.
On écrit cela ainsi : |a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}| et |\dfrac{1}{a^{-n}} = a^{n}|