Une autre technique de factorisation d'un trinôme sous la forme |ax^2+bx+c| est celle utilisant la formule quadratique : |\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.| On appelle parfois cette technique la méthode des racines.
Un trinôme est factorisable avec cette méthode si et seulement si la valeur de son discriminant, c'est-à-dire |b^2-4ac,| est supérieure ou égale à zéro.
Si un trinôme de la forme |\color{#333fb1}{a}x^2+bx+c| est factorisable, alors on peut l'écrire sous la forme |\color{#333fb1}{a}(x-x_1)(x-x_2)| où |x_1| et |x_2| sont les deux racines calculées avec la formule quadratique.
Remarque : Si, en utilisant la formule, on n'obtient qu'une seule valeur, alors |x_1=x_2.|
Soit le trinôme |2x^2+3x-1.|
Dans ce trinôme, |a=2,| |b=3| et |c=-1.| Pour déterminer les valeurs de |x_1| et |x_2,| il faut utiliser la formule quadratique. ||\begin{align} x_{1,2} &= \dfrac{-3 \pm \sqrt{(3)^2 - 4(2)(-1)}}{2 (2)} \\ x_{1,2} &= \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 -{^{_{\Large{-}}}} 8}}{4} \\ x_{1,2} &= \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4} \end{align}||À cette étape, il faut séparer la formule en deux parties en raison du |\pm.| ||\begin{align} x_1 &= \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{4} \approx 0{,}28 \\ x_2 &= \frac{-3 - \sqrt{17}}{4} \approx -1{,}78 \end{align}||On obtient donc la factorisation : ||2x^2+3x-1 = 2(x-0{,}28)(x+1{,}78)||Afin d'obtenir une meilleure précision, il est préférable d'utiliser directement les racines.||2x^2+3x-1 = 2 \left(x-\dfrac{-3 + \sqrt{17}}{4}\right)\left(x - \dfrac{-3 - \sqrt{17}}{4}\right)||
Soit le trinôme |x^2+5x+6.|
Dans ce trinôme, |a=1,| |b=5| et |c=6.| Pour déterminer les valeurs de |x_1| et |x_2,| il faut utiliser la formule quadratique. ||\begin{align} x_{1,2} &= \dfrac{-5 \pm \sqrt{(5)^2 - 4 (1)(6)}}{2(1)} \\ x_{1,2} &= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ x_{1,2} &= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} \\ x_{1,2} &= \dfrac{-5 \pm 1}{2} \end{align}||À cette étape, il faut séparer la formule en deux parties en raison du |\pm.| ||\begin{align} x_1 &= \dfrac{-5 + 1}{2} = -2 \\ x_2 &= \frac{-5 - 1}{2}= -3 \end{align}||On obtient donc la factorisation : ||\begin{align} x^2+5x+6 &= 1\big(x-(-2)\big)\big(x-(-3)\big) \\ &= 1(x+2)(x+3) \end{align}||Il n'est pas nécessaire d'écrire le 1 devant les parenthèse. On peut tout simplement écrire |(x+2)(x+3).|