La notation scientifique

La notation scientifique est composée de 2 facteurs.

• Le 1^er facteur, souvent appelé la mantisse, est un nombre décimal |(\color{#333fb1}{a})| supérieur ou égal à |1,| mais inférieur à |10| et formé des chiffres significatifs du nombre initial.

• Le 2^e facteur est une puissance de |10| exprimée en notation exponentielle qui indique l'ordre de grandeur du nombre.

  • L'exposant |\color{#3a9a38}{n}| est un nombre entier différent de zéro.

  • Si |\color{#3a9a38}{n}\geq1,| le nombre initial est plus grand que |1.|

  • Si |\color{#3a9a38}{n}\leq-1,| le nombre initial est compris entre |0| et |1.| ||\begin{align}\large&\boldsymbol{\color{#333fb1}{a}}\times \boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^n}}\\[-3pt] &\!\!\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#333fb1}{\nearrow}}\qquad\;\boldsymbol{\color{#3a9a38}{\nwarrow}}\\ \boldsymbol{\color{#333fb1}{1^\textbf{er}\ \textbf{facteur}}}&\qquad\ \ \boldsymbol{\color{#3a9a38}{2^\textbf{e}\ \textbf{facteur}}}\\ 1\leq \boldsymbol{\color{#333fb1}{a}}<10&\qquad\ \ \ \ \ \boldsymbol{\color{#3a9a38}{n}}\in\mathbb{Z}^*\end{align}||

La distance entre la Lune et la Terre est de |384\ 400\:\text{km}.| En exprimant ce nombre en notation scientifique, on obtient ceci.||\boldsymbol{\color{#333fb1}{3{,}844}}\,\times\,\boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^5}}\ \text{km}||

La masse de ce moustique est d'environ |0{,}000\, 001\, 07\ \text{kg}.| En exprimant ce nombre en notation scientifique, on obtient ceci.||\boldsymbol{\color{#333fb1}{1{,}07}}\,\times\,\boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{-6}}}\ \text{kg}||On remarque que le 1^er facteur est un nombre décimal supérieur à |1| et inférieur à |10|. Il contient les chiffres significatifs du nombre initial.

Pour ce qui est du 2^e facteur, il indique l'ordre de grandeur du nombre initial. Comme |10^{-6}=0{,}000\, 001,| ce facteur indique que le nombre initial est de l'ordre des millionièmes. En d'autres mots, on a ceci.||1{,}07\times 10^{-6}=1{,}07\times 0{,}000\, 001=0{,}000\, 001\, 07||

On remarque que le 1^er facteur est un nombre décimal supérieur à |1| et inférieur à |10|. Il contient les chiffres significatifs du nombre initial.

Pour ce qui est du 2^e facteur, il indique l'ordre de grandeur du nombre initial. Comme |10^{-6}=0{,}000\, 001,| ce facteur indique que le nombre initial est de l'ordre des millionièmes. En d'autres mots, on a ceci.||1{,}07\times 10^{-6}=1{,}07\times 0{,}000\, 001=0{,}000\, 001\, 07||

1. Si le nombre initial n'a pas de virgule, ajouter une virgule à droite de la position des unités.

2. Déplacer la virgule par bonds vers la gauche ou vers la droite, jusqu'à l'obtention d'un nombre plus grand ou égal à |1,| mais plus petit que |10,| tout en comptant le nombre de bonds!

3. Écrire le nombre en notation scientifique.
   |\small \bullet| Le 1^er facteur correspond au nombre obtenu à l'étape 2 (Enlever les |0| inutiles)
   |\small \bullet| Le 2^e facteur correspond au nombre de bonds effectués à l'étape 2.
          |\small \circ| Si les bonds ont été effectués vers la gauche, l'exposant sera positif.
          |\small \circ| Si les bonds ont été effectués vers la droite, l'exposant sera négatif.

Exprime le nombre |85\:200| en notation scientifique.

1. Si le nombre initial n'a pas de virgule, ajouter une virgule à droite de la position des unités.
   
   Comme le nombre initial est un nombre entier, il ne contient pas de virgule. On lui ajoute donc une virgule à droite de la position des unités, comme ceci.||85\,200\boldsymbol{\color{#EC0000}{,}}||

2. Déplacer la virgule par bonds vers la gauche ou vers la droite, jusqu'à l'obtention d'un nombre plus grand ou égal à |1,| mais plus petit que |10.| Compter le nombre de bonds.
   
   Il faut déplacer la virgule vers la gauche.||\underset{\ \ \ \ 4\ \text{bonds}}{8\color{#ec0000}{\boldsymbol{,}\underleftarrow{\color{black}{\!5\ 200}}\boldsymbol{,}}}||Après |\boldsymbol{\color{#3a9a38}{4}}| bonds vers la gauche, on obtient le nombre |8{,}5200.|

3. Écrire le nombre en notation scientifique.
   
   Le 1^er facteur correspond à |\boldsymbol{\color{#333fb1}{8{,}52}}.| On l'obtient en enlevant les zéros inutiles au nombre obtenu à l'étape 2. On remarque que ce nombre est compris entre |1| inclusivement et |10| exclusivement.

   Le 2^e facteur correspond à |\boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^4}}.| L'exposant correspond au nombre de bonds effectués à l'étape 2. Comme on a effectué les bonds vers la gauche, l'exposant est positif.

   On obtient donc que la notation scientifique du nombre |85\ 200| est le suivant.||\boldsymbol{\color{#333fb1}{8{,}52}}\,\times\,\boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{4}}}||

2. Déplacer la virgule par bonds vers la gauche ou vers la droite, jusqu'à l'obtention d'un nombre plus grand ou égal à |1,| mais plus petit que |10.| Compter le nombre de bonds!
Il faut déplacer la virgule vers la gauche.

Après 4 bonds vers la gauche, on obtient le nombre |8{,}5200.|

3. Écrire le nombre en notation scientifique.
Le 1^er facteur correspond à |\color{blue}{8{,}52}|. On l'obtient en enlevant les zéros inutile au nombre obtenu à l'étape 2. On remarque que ce nombre est compris entre |1| inclusivement et |10| exclusivement.

Le 2^e facteur correspond à |\color{green}{10^4}|. L'exposant correspond au nombre de bonds effectués à l'étape 2. Comme on a effectué les bonds vers la gauche, l'exposant est positif.

On obtient donc que la notation scientifique du nombre |85\ 200| est :

Exprime le nombre |0{,}000\,020\,56| en notation scientifique.

1. Si le nombre initial n'a pas de virgule, ajouter une virgule à droite de la position des unités.
   
   Ce nombre contient déjà une virgule, on peut donc passer directement à l'étape 2.||0{\boldsymbol{\color{#EC0000}{,}}}000\,020\,56||

2. Déplacer la virgule par bonds vers la gauche ou vers la droite, jusqu'à l'obtention d'un nombre plus grand ou égal à |1,| mais plus petit que |10.| Compter le nombre de bonds.
   
   Il faut déplacer la virgule vers la droite.||\underset{\!\!\!\!\!\!5\ \text{bonds}}{0\color{#ec0000}{\boldsymbol{,}\underrightarrow{\color{black}{\!000\,02}}{\boldsymbol{,}}\color{black}{0\,56}}}||Après |\boldsymbol{\color{#3a9a38}{5}}| bonds vers la droite, on obtient le nombre |2{,}056.|

3. Écrire le nombre en notation scientifique
   
   Le 1^er facteur correspond à |\boldsymbol{\color{#333fb1}{2{,}056}}.| On remarque que ce nombre est compris entre |1| inclusivement et |10| exclusivement.

   Le 2^e facteur correspond à |\boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{-5}}}.| L'exposant correspond au nombre de bonds effectués à l'étape 2. Comme on a fait les bonds vers la droite, l'exposant est négatif.

   On obtient donc que la notation scientifique du nombre |0{,}000\,020\,56| est le suivant.||\boldsymbol{\color{#333fb1}{2{,}056}}\,\times\,\boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{-5}}}||

2. Déplacer la virgule par bonds vers la gauche ou vers la droite, jusqu'à l'obtention d'un nombre plus grand ou égal à |1,| mais plus petit que |10.| Compter le nombre de bonds!
Il faut déplacer la virgule vers la droite.

Après 5 bonds vers la droite, on obtient le nombre |2{,}056.|

3.Écrire le nombre en notation scientifique
Le 1^erfacteur correspond à |\color{blue}{2{,}056}|. On remarque que ce nombre est compris entre |1| inclusivement et |10| exclusivement.

Le 2^e facteur correspond à |\color{green}{10^{\text{-}5}}|. L'exposant correspond au nombre de bonds effectués à l'étape 2. Comme on a fait les bonds vers la droite, l'exposant est négatif.

On obtient donc que la notation scientifique du nombre |0{,}000\,020\,56| est :

||\begin{align}356\ 200&=3{,}562\times 10^5 & &\quad & 0{,}001\,3&=1{,}3\times 10^{-3}\\ \\ 404\ 000\ 000&=4{,}04\times 10^8 & &\quad & 0{,}000\,007&=7\times 10^{-6}\end{align}||

1. Transformer le 1^er facteur en un nombre compris entre |1| inclusivement et |10| exclusivement en le multipliant ou en le divisant par la puissance de |10| adéquate.

2. Pour conserver la valeur du nombre, appliquer l'opération inverse au 2^e facteur.

   Si on a multiplié le 1^er facteur par une puissance de |10,| on doit diviser le 2^e facteur par cette même puissance.

   Si on a divisé le 1^er facteur par une puissance de |10,| on doit multiplier le 2^e facteur par cette même puissance.

Exprime le nombre |356{,}2\ \times\ 10^7| en notation scientifique.

1. Transformer le 1^er facteur en un nombre compris entre |\boldsymbol{1}| inclusivement et |\boldsymbol{10}| exclusivement en le multipliant ou en le divisant par la puissance de |\boldsymbol{10}| adéquate
   
   Le 1^er facteur du nombre est |356{,}2.| Pour le transformer en nombre compris entre |1| inclusivement et |10| exclusivement, on doit le diviser par |100,| soit par |10^2.| On obtient donc ceci.||356{,}2\div 10^2=\color{#333fb1}{3{,}562}||

2. Appliquer l'opération inverse au 2^e facteur
   
   Pour conserver la valeur du nombre, on doit donc multiplier le 2^e facteur par |10^2.| En utilisant les propriétés des exposants, on obtient que |10^7\times 10^2=10^{7+2}=\color{#3a9a38}{10^9}.| ||\large 356{,}2\,\times\,10^7\\ \downarrow\qquad\ \ \ \ \downarrow\\ \boxed{\div10^2}\quad\ \ \boxed{\times 10^2}\\ \downarrow\qquad\ \ \ \ \downarrow\\ \large \boldsymbol{\color{#333fb1}{3{,}562}}\,\times\,\boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^9}}||

Exprime le nombre |0{,}121\ \times\ 10^{-14}| en notation scientifique.

1. Transformer le 1^er facteur en un nombre compris entre |\boldsymbol{1}| inclusivement et |\boldsymbol{10}| exclusivement en le multipliant ou en le divisant par la puissance de |\boldsymbol{10}| adéquate
   
   Le 1^er facteur du nombre est |0{,}121.| Pour le transformer en nombre compris entre |1| inclusivement et |10| exclusivement, on doit le multiplier par |10,| soit par |10^1.| On obtient donc ceci.||0{,}121\times 10=\color{#333fb1}{1{,}21}||

2. Appliquer l'opération inverse au 2^e facteur
   
   Pour conserver la valeur du nombre, on doit donc diviser le 2^e facteur par |10.| En utilisant les propriétés des exposants, on obtient que |10^{-14}\div 10=10^{-14-1}=\color{#3a9a38}{10^{-15}}.| ||\large 0{,}121\,\times\,10^{-14}\\ \downarrow\qquad\ \ \ \ \downarrow\\ \boxed{\times 10}\quad\ \ \boxed{\div 10}\\ \downarrow\qquad\ \ \ \ \downarrow\\ \large \boldsymbol{\color{#333fb1}{1{,}21}}\,\times\,\boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{-15}}}||

1. Identifier le nombre en notation scientifique ayant la plus grande puissance de |10.|

2. Exprimer l'autre nombre à l'aide de cette puissance de |10.|

3. Additionner ou soustraire les nombres en additionnant ou en soustrayant les 1^ers facteurs seulement.

4. Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin.

Effectue l'opération suivante et exprime le résultat en notation scientifique.||5{,}6\times 10^5+4{,}42\times 10^7||

1. Identifier le nombre en notation scientifique ayant la plus grande puissance de |\boldsymbol{10}|
   
   Le nombre ayant la puissance de |10| la plus grande est |4{,}42\times 10^7.|

2. Exprimer l'autre nombre à l'aide de cette puissance de |\boldsymbol{10}|
   
   On doit exprimer le nombre |5{,}6\times 10^5| à l'aide de la puissance |10^7.| On devra donc multiplier le 2^e facteur de ce nombre par |10^2.| Pour conserver la valeur du nombre, on devra diviser le 1^er facteur par |10^2.| ||\large 5{,}6\,\times\,10^{5}\\ \downarrow\qquad\ \ \ \ \downarrow\\ \boxed{\div 10^2}\quad\ \ \boxed{\times 10^2}\\ \downarrow\qquad\ \ \ \ \downarrow\\ \large 0{,}056\,\times\,10^{7}||

3. Additionner les nombres en additionnant les 1^ers facteurs seulement
   
   On peut maintenant effectuer l'opération.||\boldsymbol{\color{#333fb1}{0{,}056}}\times 10^7+\boldsymbol{\color{#333fb1}{4{,}42}}\times 10^7=\boldsymbol{\color{#333fb1}{4{,}476}}\times 10^7||

4. Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin
   
   Comme le 1^er facteur du résultat est compris entre |1| inclusivement et |10| exclusivement, il est déjà en notation scientifique. Il n'y a pas de changement à faire. La réponse est donc la suivante.||\boldsymbol{\color{#333fb1}{4{,}476}}\times \boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^7}}||

3. Additionner les nombres en additionnant les 1^er facteurs seulement.
On peut maintenant effectuer l'opération.
||\color{blue}{0,056}\times 10^7+\color{blue}{4,42}\times 10^7=\color{blue}{4,476}\times 10^7||
4. Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin.
Comme le 1^er facteur du résultat est compris entre |\small 1| inclusivement et |\small 10| exclusivement, il est déjà en notation scientifique. Il n'y a pas de changement à faire. La réponse est donc:  ||\color{blue}{4,476}\times \color{green}{10^7}||

Effectue l'opération suivante et exprime le résultat en notation scientifique. ||1{,}3\times 10^{-4}-7{,}9\times 10^{-5}||

1. Identifier le nombre en notation scientifique ayant la plus grande puissance de |\boldsymbol{10}|
   
   Le nombre ayant la puissance de |10| la plus grande est |1{,}3\times 10^{-4}.|

2. Exprimer l'autre nombre à l'aide de cette puissance de |\boldsymbol{10}|
   
   On doit exprimer le nombre |7{,}9\times 10^{-5}| à l'aide de la puissance |10^{-4}.| On devra donc multiplier le 2^e facteur de ce nombre par |10^1.| Pour conserver la valeur de ce nombre, on devra diviser le 1^er facteur par |10^1.| ||\large 7{,}9\,\times\,10^{-5}\\ \downarrow\qquad\ \ \ \ \downarrow\\ \boxed{\div 10}\quad\ \ \boxed{\times 10}\\ \downarrow\qquad\ \ \ \ \downarrow\\ \large 0{,}79\,\times\,10^{-4}||

3. Soustraire les nombres en soustrayant les 1^ers facteurs seulement
   
   On peut maintenant effectuer l'opération.||\boldsymbol{\color{#333fb1}{1{,}3}}\times 10^{-4}-\boldsymbol{\color{#333fb1}{0{,}79}}\times 10^{-4}=\boldsymbol{\color{#333fb1}{0{,}51}}\times 10^{-4}||

4. Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin
   
   Le 1^er facteur n'est pas inclus entre |1| inclusivement et |10| exclusivement. On doit donc effectuer les changements suivants pour obtenir une réponse en notation scientifique.||\large 0{,}51\,\times\,10^{-4}\\ \downarrow\qquad\ \ \ \ \downarrow\\ \boxed{\times 10}\quad\ \ \boxed{\div 10}\\ \downarrow\qquad\ \ \ \ \downarrow\\ \large \boldsymbol{\color{#333fb1}{5{,}1}}\,\times\,\boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{-5}}}||

3. Soustraire les nombres en soustrayant les 1^er facteurs seulement.
On peut maintenant effectuer l'opération.
||\color{blue}{1,3}\times 10^{\text{-}4}-\color{blue}{0,79}\times 10^{\text{-}4}=\color{blue}{0,51}\times 10^{\text{-}4}||
4. Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin.
Le 1^er facteur n'est pas inclus entre |\small 1| inclusivement et |\small 10| exclusivement. On doit donc effectuer les changements suivants pour obtenir une réponse en notation scientifique.

1. Multiplier ou diviser les 1^ers facteurs ensemble et les 2^es facteurs ensemble.

2. Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin.

Effectue l'opération suivante et exprime ton résultat en notation scientifique. ||2{,}9\times 10^{15}\ \times \ 8{,}1\times 10^{-3}||

1. Multiplier les 1^ers facteurs ensemble et les 2^es facteurs ensemble||\begin{align}&\boldsymbol{\color{#333fb1}{2{,}9}}\times \boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{15}}} \times\, \boldsymbol{\color{#333fb1}{8{,}1}}\times \boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{-3}}}\\[5pt]=\, (&\boldsymbol{\color{#333fb1}{2{,}9}}\times\boldsymbol{\color{#333fb1}{8{,}1}})\ \times (\boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{15}}}\times \boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{-3}}})\\[5pt] =\ &\boldsymbol{\color{#333fb1}{23{,}49}} \times \boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{15-3}}}\\[5pt] =\ &\boldsymbol{\color{#333fb1}{23{,}49}}\times \boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{12}}} \end{align}||

2. Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin
   
   Comme le 1^er facteur du résultat n'est pas inclus entre |1| inclusivement et |10| exclusivement, on doit effectuer les changement suivants pour obtenir une réponse en notation scientifique.||\large 23{,}49\,\times\,10^{12}\\ \downarrow\qquad\ \ \ \ \downarrow\\ \boxed{\div 10}\quad\ \ \boxed{\times 10}\\ \downarrow\qquad\ \ \ \ \downarrow\\ \large \boldsymbol{\color{#333fb1}{2{,}349}}\,\times\,\boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{13}}}||

Effectue l'opération suivante et exprime ton résultat en notation scientifique. ||\dfrac{7{,}8\times 10^{-2}}{1{,}5\times 10^{-8}}||

1. Diviser les 1^ers facteurs ensemble et les 2^es facteurs ensemble||\begin{align}\dfrac{\boldsymbol{\color{#333fb1}{7{,}8}}\times \boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{-2}}}}{\boldsymbol{\color{#333fb1}{1{,}5}}\times \boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{-8}}}}&=\dfrac{\boldsymbol{\color{#333fb1}{7{,}8}}}{\boldsymbol{\color{#333fb1}{1{,}5}}} \times \dfrac{\boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{-2}}}}{\boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{-8}}}}\\[5pt] &=\,\boldsymbol{\color{#333fb1}{5{,}2}}\ \times\ \boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^{-2-^-8}}}\\[5pt] &=\,\boldsymbol{\color{#333fb1}{5{,}2}}\ \times\ \boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^6}}\end{align}||

2. Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin
   
   Comme le 1^er facteur du résultat est compris entre |1| inclusivement et |10| exclusivement, il est déjà en notation scientifique. Il n'y a pas de changement à faire. La réponse est donc la suivante.||\boldsymbol{\color{#333fb1}{5{,}2}}\ \times\ \boldsymbol{\color{#3a9a38}{10^6}}||