On détermine la position relative de deux droites à partir de leur représentation graphique ou de leur équation. On peut avoir les cas suivant :
| Droites parallèles distinctes (même pente, mais ordonnées à l'origine différentes) |
Droites parallèles confondues (même pente et même ordonnée à l'origine) |
Droites sécantes (pentes différentes) |
Droites perpendiculaires (le produit des pentes est -1) |
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| Graphiques |  |
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| Forme fonctionnelle |y=mx+b| |
|m_1 = m_2| et |b_1 \neq b_2| |
|m_1 = m_2| et |b_1 = b_2| |
|m_1 \neq m_2| | |m_1 \times m_2 = -1| |
| Forme générale |\small Ax+By+C=0| |
|\dfrac{-A_1}{B_1} = \dfrac{-A_2}{B_2}| et |\dfrac{-C_1}{B_1} \neq \dfrac{-C_2}{B_2}| |
|\dfrac{-A_1}{B_1} = \dfrac{-A_2}{B_2}| et |\dfrac{-C_1}{B_1} = \dfrac{-C_2}{B_2}| |
|\dfrac{-A_1}{B_1} \neq \dfrac{-A_2}{B_2}| | |\dfrac{-A_1}{B_1}\times \dfrac{-A_2}{B_2} = -1| |
Il est plus facile de comparer des droites lorsqu’elles sont sous la forme fonctionnelle |y = mx + b|.
Des droites parallèles ne se coupent jamais dans le plan puisqu'elles ont la même pente.
Étant donné que deux droites parallèles possèdent exactement la même pente, ces droites ont la propriété géométrique de ne jamais se couper.
On distingue les droites parallèles distinctes et les droites parallèles confondues.
Des droites parallèles distinctes (ou non confondues ou disjointes) sont des droites parallèles séparées l'une de l'autre.
Graphiquement, deux droites parallèles distinctes ont l'allure suivante :
À l'aide des équations, on reconnait deux droites parallèles distinctes lorsque leur pente est identique (car ce sont des droites parallèles), mais que leur ordonnée à l’origine est différente (puisque ces droites sont séparées l'une de l'autre).
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Les équations |y = \color{red}{4}x \color{blue}{- 2}| et |y = \color{red}{4}x \color{blue}{+ 9}| représentent des droites parallèles distinctes puisque leur pente est identique, mais que leur ordonnée à l'origine est différente.
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Soit les équations suivantes : |3y = 2x + 1| et |y = \color{red}{\frac{2}{3}}x \color{blue}{+ 4}|. On doit transformer la première équation sous forme fonctionnelle afin de pouvoir les comparer. Ainsi, on obtient |y = \color{red}{\frac{2}{3}}x \color{blue}{+ \frac{1}{3}}| pour la première équation. On constate que les pentes sont identiques, mais que les ordonnées à l'origine sont différentes.
La résolution algébrique d'un système d'équations de droites parallèles distinctes conduit à une impossibilité et n'admet aucune solution.
Des droites parallèles et confondues sont des droites identiques qui ont par conséquent la même équation.
Graphiquement, deux droites parallèles confondues ont l'allure suivante :
À l'aide des équations, on reconnait deux droites parallèles confondues lorsque leur pente est identique (car ce sont des droites parallèles) et que leur ordonnée à l’origine est identique (puisque ces droites se confondent).
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Les équations |y = \color{blue}{-1} + x| et |y = x \color{blue}{- 1}| sont parallèles confondues puisque leur ordonnée à l'origine est identique et que leur pente (ici les pentes sont égales à 1) est égale.
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Soit les équations suivantes : |\color{blue}{4} = y + \color{red}{2}x| et |y = \color{red}{-2}x \color{blue}{+ 4}|. On doit transformer la première équation sous forme fonctionnelle afin de pouvoir les comparer. Ainsi, on obtient |y = \color{red}{-2}x \color{blue}{+ 4}| pour la première équation. On constate que les pentes et les ordonnées à l'origine sont identiques.
La résolution algébrique d'un système d'équations de deux droites parallèles confondues conduit à une égalité et admet une infinité de solutions.
Des droites sécantes sont des droites qui se coupent dans le plan en un seul point puisqu'elles n’ont pas la même pente.
Étant donné que deux droites sécantes ne possèdent pas la même pente, ces droites ont la propriété géométrique de se couper en un point.
Graphiquement, deux droites sécantes ont l'allure suivante :
À l'aide des équations, on reconnait deux droites sécantes lorsque leur pente est différente (car ce sont des droites qui ne sont pas parallèles).
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Les équations |y = \color{red}{2}x \color{blue}{+ 3}| et |y = \color{red}{5}x \color{blue}{+ 1}| sont sécantes puisque leur pente est différente.
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Les équations |y = x| et |y = \color{red}{10}x \color{blue}{- 5}| sont sécantes puisque leur pente est différente.
Des droites perpendiculaires sont aussi des droites sécantes puisqu'elles se coupent dans le plan et qu'elles n'ont pas la même pente.
Des droites perpendiculaires sont des droites sécantes qui se coupent à angle droit puisque la pente de l'une est l'opposée de l'inverse de la pente de l'autre.
Deux droites perpendiculaires ont des pentes opposées et inverses. Le produit des pentes de deux droites perpendiculaires, non parallèles aux axes, est égal à -1.
Soit |y=m_1x+b_1| et |y=m_2x+b_2|, deux droites perpendiculaires, alors |m_{1}\times m_{2} = -1|.
L'opposé d'un nombre réel |a| est |-a|. La somme de deux nombres opposés est nulle.
L'inverse d'un nombre réel |a| est |\dfrac{1}{a}|. Un nombre est l'inverse d'un autre si leur produit est 1.
Graphiquement, deux droites perpendiculaires ont l'allure suivante :
À l'aide des équations, on reconnait deux droites perpendiculaires lorsque les deux pentes sont opposées et inversées ou lorsque le produit des deux pentes vaut -1.
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Les équations |y = \color{red}{\dfrac{1}{2}}x \color{blue}{+ 5}| et |y = \color{red}{-2}x \color{blue}{+ 3}| sont perpendiculaires, car le produit des deux pentes |\left(\dfrac{1}{2}\times -2\right)| est égal à |-1.|
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Les équations |y = \color{red}{\dfrac{-3}{5}}x \color{blue}{- 2}| et |y = \color{red}{\dfrac{5}{3}}x \color{blue}{+ 1}| sont perpendiculaires puisque le produit des pentes |\left(\dfrac{-3}{5}\times \dfrac{5}{3}\right)| est égal à |-1.|
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<html><body><p>Pour bien comprendre la relation entre deux droites dans le plan euclidien plutôt que dans un contexte de géométrie analytique, consulte la page suivante : <a href="/fr/eleves/bv/mathematiques/les-relations-entre-deux-droites-m1213">Les relations entre deux droites</a></p>
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