Le trinôme carré parfait

La factorisation d'un trinôme carré parfait est un procédé qui permet de factoriser un trinôme sous la forme d'un binôme élevé au carré.

Pour être un trinôme carré parfait, le trinôme doit posséder les caractéristiques suivantes :

1. Le premier et le troisième terme doivent être des carrés.

2. Sans tenir compte du signe, le terme du milieu doit être égal au double produit des racines carrées du premier et du troisième terme. ||\text{2}^\text{e} \text{ terme} = \pm \ 2\times \sqrt {a^2}\times \sqrt {b^2}=2ab||Lors de la factorisation d'un trinôme carré parfait, on obtient deux facteurs identiques qu'on combine sous la forme d'un seul binôme élevé au carré.
||a^2\color{red}{+}2ab+b^2=(a\color{red}{+}b)(a\color{red}{+}b)=(a\color{red}{+}b)^2\\ \text{ou} \\ a^2\color{red}{-}2ab+b^2=(a\color{red}{-}b)(a\color{red}{-}b)=(a\color{red}{-}b)^2||

Un trinôme carré parfait est un trinôme de la forme : ||a^2\color{red}{+}2ab+b^2||ou de la forme :||a^2\color{red}{-}2ab+b^2||

Afin de factoriser un trinôme carré parfait, on peut suivre les étapes suivantes :

1. Effectuer la racine carrée du 1^er et du 3^e terme, si possible. ||\sqrt{a^2}=\color{green}{a} \ \ \ \ \ \ \sqrt{b^2}=\color{blue}{b}||

2. Vérifier si le 2^e terme, peu importe la valeur de son signe, correspond au double du produit de |\color{green}{a}| et de |\color{blue}{b}.| ||\text{2}^\text{e} \text{ terme}=2\color{green}{a}\color{blue}{b}||

3. Former un binôme au carré avec les résultats obtenus à l'étape 1, séparé par le signe du 2^e terme. ||(\color{green}{a}\color{red}{\pm} \color{blue}{b})^2||

Soit le trinôme suivant : |4x^2 +12xy + 9y^2|.

1. Effectuer la racine carrée du 1^er et du 3^e terme. ||\sqrt {4x^2} = \color{#3a9a38}{2x}\ \text{ et }\ \sqrt {9y^2} = \color{#3b87cd}{3y}||

2. Vérifier si le 2^e terme, peu importe son signe, correspond au double du produit de |a| et de |b.| ||\begin{align} \text{2}^\text{e} \text{ terme}&=2ab\\ 12xy&=2(\color{#3a9a38}{2x})(\color{#3b87cd}{3y})\\ 12xy&=12xy \end{align}||La vérification fonctionne, le trinôme est bien un trinôme carré parfait.

3. Former un binôme au carré avec les résultats obtenus à l'étape 1, séparés par le signe du 2^e terme.
   
   Signe du 2^e terme : |\color{#ec0000}{+}| ||(\color{#3a9a38}{2x}\color{#ec0000}{+}\color{#3b87cd}{3y})^2||

Voici les démonstrations des deux identités basées sur les représentations géométriques :

​|a^2+2ab+b^2=(a+b)^2|	​​|a^2-2ab+b^2=(a-b)^2|
Le carré mauve a une aire de |a^2,| les deux rectangles ont chacun une aire de |ab| et le carré vert a une aire de |b^2.| L'aire totale des 4 figures qui composent le grand carré est : ||a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2|| Comme le côté du grand carré mesure |a+b,| son aire est |(a+b)^2.| On en conclut que :||a^2+2ab+b^2=(a+b)^2||	On peut obtenir l'aire du carré en bas à gauche de 2 façons : L'aire du rectangle qui fait toute la largeur de la figure en haut est |ab,| tout comme le rectangle qui fait toute la hauteur de la figure à droite. Donc, pour obtenir l'aire du carré en bas à gauche, on peut prendre l'aire du carré au complet |(a^2)| et soustraire l'aire des deux longs rectangles. En faisant cela, on a enlevé le petit carré bleu deux fois au lieu d'une seule. On doit donc additionner l'aire de ce carré |(b^2).| L'aire du carré de gauche est donc : ||a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2|| Comme la mesure du côté de ce même carré est |a-b,| son aire est |(a-b)^2.| En combinant les 2 façons de faire, on obtient l'identité :||a^2-2ab+b^2=(a-b)^2||