Les arcs des cercles et les secteurs des disques

||\dfrac{\text{Angle au centre}}{360^\circ}=\dfrac{\text{Arc de cercle}}{\text{Circonférence}}=\dfrac{\text{Aire du secteur}}{\text{Aire du disque}}||

Un arc de cercle représente une partie de la circonférence du cercle et est formé par la rencontre de deux rayons sur la circonférence.

||\dfrac{\text{Angle au centre}}{360^\circ}=\dfrac{\text{Arc de cercle}}{\text{Circonférence}}||

Calculer la mesure de l'arc de cercle |\overset{\ \huge\frown}{AB}| inscrit par un angle au centre de |120^\circ| et dont le rayon vaut |3\ \text{cm}.|

||\begin{align}\dfrac{\text{Angle au centre}}{360^\circ}&=\dfrac{\text{Arc de cercle}}{\text{Circonférence}}\\[3pt] \dfrac{120^\circ}{360^\circ}&=\dfrac{\text{m}\overset{\,\huge\frown}{AB}}{2\pi (3)}\\[3pt] \dfrac{120^\circ}{360^\circ}&=\dfrac{\text{m}\overset{\,\huge\frown}{AB}}{18{,}84\ \text{cm}}\\[5pt] \Rightarrow\ \text{m}\overset{\,\huge\frown}{AB} &= \dfrac{120^\circ\times 18{,}84\ \text{cm}}{360^\circ}= 6{,}28\ \text{cm}\end{align}||Ainsi, |\overset{\,\huge\frown}{AB}| mesure |6{,}28\ \text{cm}.|

Si un arc de cercle |\overset{\huge\frown}{CD}| mesure |15\ \text{cm}| et que la circonférence vaut |120\ \text{cm},| quelle est la mesure de l'angle au centre qui délimite cet arc de cercle?

||\begin{align}\dfrac{\text{Angle au centre}}{360^\circ}&=\dfrac{\text{Arc de cercle}}{\text{Circonférence}}\\[5pt] \dfrac{\text{m}\angle DOC}{360^\circ}&=\dfrac{15\ \text{cm}}{120\ \text{cm}}\\[5pt] \Rightarrow\ \text{m}\angle DOC &= \dfrac{15\ \text{cm}\times 360^\circ}{120\ \text{cm}} = 45^\circ \end{align}||Ainsi, l'angle au centre mesure |45^\circ.|

Dans un cercle, le rapport des mesures de 2 angles au centre est égal au rapport des mesures des arcs interceptés par leurs côtés.
 

||\begin{align}\dfrac{\text{m}\angle{AOB}}{\text{m}\angle{COD}} &= \dfrac{\text{m}\overset{\,\huge\frown}{AB}}{\text{m}\overset{\huge\frown}{CD}}\\\\ \text{En effet,}\quad \dfrac{90^\circ}{40^\circ} &= \dfrac{180\ \text{cm}}{80\ \text{cm}}=2{,}25 \end{align}||

Le secteur de disque représente une partie du disque ou une section de l'aire totale de celui-ci.

||\dfrac{\text{Angle au centre}}{360^\circ}=\dfrac{\text{Aire du secteur}}{\text{Aire du disque}}||

Quelle est l'aire de cette pointe de tarte si son diamètre est de |25\ \text{cm}| et que l'angle au centre correspond à |60^\circ|?

1. Calcul du rayon||\begin{align} r&=\dfrac{\text{diamètre}}{2}\\&=\dfrac{25}{2}\\ &=12{,}5\ \text{cm}\end{align}||

2. Utilisation du rapport

||\begin{align} \dfrac{\text{Angle au centre}}{360^\circ} &=\dfrac{\text{Aire du secteur}}{\text{Aire du disque}}\\\\ \dfrac{60^\circ}{360^\circ}&= \dfrac{\text{Aire du secteur}}{\pi (12{,}5)^2}\\\\ \dfrac{60^\circ}{360^\circ}&= \dfrac{\text{Aire du secteur}}{490{,}87\ \text{cm}^2}\\\\ \Rightarrow\ \text{Aire du secteur} &= \dfrac{60^\circ \times 490{,}87\ \text{cm}^2}{360^\circ}=81{,}81\ \text{cm}^2\end{align}||

Un secteur de disque vaut |60\ \text{cm}^2.| Quelle est la longueur de son arc de cercle |\overset{\,\huge\frown}{AB}| si le rayon du cercle est de |6\ \text{cm}|?

||\begin{align} \dfrac{\text{Arc de cercle}}{\text{Circonférence}}&=\dfrac{\text{Aire du secteur}}{\text{Aire du cercle}}\\[4pt] \dfrac{\text{Arc de cercle}}{2 \pi r}&=\dfrac{\text{Aire du secteur}}{\pi r^2}\\[3pt] \dfrac{\text{m}\overset{\,\huge\frown}{AB}}{2\pi (6)}&=\dfrac{60\ \text{cm}^2}{\pi (6)^2}\\[3pt] \dfrac{\text{m}\overset{\,\huge\frown}{AB}}{37{,}70\ \text{cm}}&=\dfrac{60\ \text{cm}^2}{113{,}10\ \text{cm}^2}\\[4pt] \Rightarrow\ \text{m}\overset{\,\huge\frown}{AB} &= \dfrac{37{,}70\times 60}{113{,}10}= 20\ \text{cm}\end{align}||Ainsi, |\overset{\,\huge\frown}{AB}| mesure |20\ \text{cm}.|

Dans un disque, le rapport des aires de 2 secteurs est égal au rapport des mesures des angles au centre.

||\dfrac{\text{Aire du secteur } AOB}{\text{Aire du secteur }COD} = \dfrac{\text{m}\angle AOB}{\text{m}\angle COD}||​