Les critères de divisibilité

​​La divisibilité est une propriété qui indique qu'un nombre peut être entièrement divisé par un autre nombre, c'est-à-dire sans reste.

• |54\div 6=9 \text{ reste}\ 0,| donc |54| est divisible par |6.|

• |22\div 5=4 \text{ reste}\ 2,| donc |22| n'est pas divisible par |5.|

Critère de divisibilité par |2|

1. Observer le chiffre à la position des unités.

2. Vérifier s'il est pair.

3. Si ce chiffre est pair, alors tout le nombre est divisible par |2.|

|10\ 256| est-il divisible par |2|?

1. Le chiffre à la position des unités est |6.|

2. |6| est un nombre pair.

3. Alors |10\ 256| est divisible par |2.|

Critère de divisibilité par |3|

1. Additionner tous les chiffres du nombre.

2. Vérifier si cette somme est divisible par |3.|

3. Si la somme est divisible par |3,| alors le nombre est aussi divisible par |3.|

|261| est-il divisible par |3|?

1. |2+6+1=\color{#ec0000}{9}|

2. |\color{#ec0000}{9}| est divisible par |3.| |\left(9\div 3=3\right)|

3. Alors |261| est divisible par |3.|

Critère de divisibilité par |4|

1. Observer le nombre formé par les deux derniers chiffres (dizaines et unités).

2. Vérifier si ce nombre est divisible par |4| ou s'il correspond à |00.|

3. Si ce nombre est divisible par |4| ou s'il est |00,| alors le nombre d'origine est divisible par |4.|

|12\ 524| est-il divisible par |4|?

1. Le nombre formé par les deux derniers chiffres de |12\ 524| est |\color{#ec0000}{24}.|

2. |\color{#ec0000}{24}| se divise par |4.| |\left(24\div 4=6\right)|

3. Alors |12\ 524| est divisible par |4.|

Critère de divisibilité par |5|

1. Observer le chiffre à la position des unités.

2. Si le chiffre des unités est |0| ou |5,| alors le nombre se divise par |5.|

|325\ 465| est-il divisible par |5|?

1. Le chiffre à la position des unités est |\color{#ec0000}{5}.|

2. Le chiffre des unités est |\color{#ec0000}{5},| alors |325\ 465| est divisible par |5.|

Critère de divisibilité par |6|

1. Vérifier si le nombre est divisible par |2| (si le nombre est pair).

2. Vérifier si le nombre est divisible par |3| (la somme des chiffres est divisible par |3|).

3. Si le nombre est divisible par |2| et par |3,| alors le nombre est divisible par |6.|

|5\ 364| est-il divisible par |6|?

1. Le dernier chiffre est pair |(\color{#ec0000}{4}),| alors le nombre est divisible par |2.|

2. En additionnant tous les chiffres du nombre on obtient |5+3+6+4=\color{#ec0000}{18}.|
   |\color{#ec0000}{18}| est divisible par |3,| alors le nombre est divisible par |3.|

3. Puisque |5\ 364| se divise par |2| et par |3,| il est divisible par |6.|

Critère de divisibilité par |8|

1. Observer le nombre formé par les trois derniers chiffres (centaines, dizaines et unités).

2. Vérifier si ce nombre est divisible par |8.|

3. Si ce nombre est divisible par |8,| alors le nombre d'origine est aussi divisible par |8.|

|10\ 168| est-il divisible par |8|?

1. Le nombre formé par les trois derniers chiffres est |168.|

2. |168| se divise par |8.| |\left(168\div 8=21\right)|

3. Alors |10\ 168| est divisible par |8.|

Critère de divisibilité par |9|

1. Faire la somme des tous les chiffres du nombre.

2. Vérifier si cette somme est divisible par |9.|

3. Si la somme est divisible par |9,| alors le nombre d'origine est divisible par |9.|

|3\ 159| est-il divisible par |9|?

1. |3+1+5+9=\color{#ec0000}{18}|

2. |\color{#ec0000}{18}| est divisible par |9.| |\left(18\div 9=2\right)|

3. Alors |3\ 159| est divisible par |9.|

Critère de divisibilité par |10|

1. Observer le dernier chiffre du nombre (position des unités).

2. Si ce chiffre est |0,| alors le nombre est divisible par |10.|

|125\ 890| est-il divisible par |10|?

1. Le dernier chiffre est |0.|

2. Puisque ce chiffre est |0,| alors |125\ 890| est divisible par |10.|

Critère de divisibilité par |12|

1. Vérifier si le nombre est divisible par |3.|

2. Vérifier si le nombre est divisible par |4.|

3. Si le nombre est divisible à la fois par |3| et par |4,| alors le nombre est divisible par |12.|

|216| est-il divisible par |12|?

1. En additionnant tous les chiffres du nombre on obtient |2+1+6=\color{#ec0000}{9}.|
   |\color{red}{9}| est divisible par |3,| alors |216| est aussi divisible par |3.|

2. Le nombre formé par les deux derniers chiffres est |16.| Comme ce nombre est divisible par |4,| le nombre |216| est aussi divisible par |4.|

3. Alors, |216| est divisible par |12.|

Critère de divisibilité par |25|

1. Observer les deux derniers chiffres du nombre d'origine (dizaines et unités)

2. Si les deux derniers chiffres sont |00,| |25,| |50| ou |75,| alors le nombre d'origine est divisible par |25.|

|2\ 575| est-il divisible par |25|?

1. Les deux derniers chiffres de |2\ 575| sont |75.|

2. Puisque les deux derniers chiffres sont |75,| le nombre |2\ 575| est divisible par |25.|

Autre critère de divisibilité :

• Divisibilité par |7:|
  
  Un nombre est divisible par |7| si son nombre de dizaines moins deux fois le chiffre à la position des unités est divisible par |7.|

Le nombre |294| est-il divisible par |7|?

Nombre de dizaines : |29|
Chiffre des unités : |4|

|29 - (2\times 4) = 21|

|21| est divisible par |7|. |\left(21\div7=3\right)|

Donc |294| est divisible par |7|.

Autre critère de divisibilité :

• Divisibilité par |11:|
  
  Un nombre est divisible par |11| si la différence entre la somme des chiffres situés aux positions impaires (unités, centaines, ...) et la somme des chiffres situés aux positions paires (dizaines, unités de milles, ...) est divisible par |11| :

Exemple 1 :
Le nombre |495| est-il divisible par |11|?

Somme des chiffres situés aux positions impaires : |4+5=9|
Somme des chiffres situés aux positions paires : |9=9|
Différence entre les deux sommes : |9-9=0|

Comme |0| est divisible par tous nombres (particulièrement par |11|), |495| est aussi divisible par |11.|

Exemple 2 :
Le nombre |10\ 989| est-il divisible par |11|?

Somme des chiffres situés aux positions impaires : |1+9+9=19|
Somme des chiffres situés aux positions paires : |0+8=8|
Différence entre les deux sommes : |19-8=11|

Comme |11| est divisible par |11|, |10\ 989| est aussi divisible par |11|.

Autre critère de divisibilité :

• Divisibilité par |13:|
  
  Un nombre est divisible par |13| si son nombre de dizaines plus quatre fois le chiffre des unités est divisible par |13.|

Le nombre |117| est-il divisible par |13|?

Nombre de dizaines : |11|
Chiffre des unités : |7|

|11 + (4\times 7) = 39|

|39| est divisible par |13|. |\left(39\div13=3\right)|

Donc |117| est divisible par |13|.

Autres critères de divisibilité :

• Divisibilité par |14:|
  Un nombre est divisible par |14| s'il est divisible à la fois par |2| et par |7.|

• Divisibilité par |15:|
  Un nombre est divisible par |15| s'il est divisible à la fois par |3| et par |5.|

• Divisibilité par |20:|
  Un nombre est divisible par |20| si le nombre formé de ses deux derniers chiffres (dizaines et unités) est divisible par |20.|

• Divisibilité par |100:|
  Un nombre est divisible par |100| s'il se termine par |00.|