L'équation d'une droite à partir de coordonnées ou de la pente

1. Dans l'équation |y=mx+b,| remplacer le paramètre |m| par la pente donnée.

2. Dans cette même équation, remplacer |x| et |y| par les cordonnées |(x,y)| du point donné.

3. Isoler le paramètre |b| afin de trouver la valeur de l'ordonnée à l'origine.

4. Écrire l'équation de la droite sous la forme |y=mx+b| avec les valeurs des paramètres |m| et |b.|

Quelle est l’équation de la droite ayant une pente de |3{,}5| et qui passe par le point |(-6,-28)| ?

Étape 1 : On écrit l’équation de la droite en remplaçant |m| par |3{,}5.| ||y = 3{,}5x + b||

Étape 2 : À l’aide du point connu, on remplace |y| par |-28| et |x| par |-6.| ||\begin{align} y &= 3{,}5x + b \\ -28 &= 3{,}5(-6) + b  \end{align}||

Étape 3 : On isole le paramètre |b.| ||\begin{align} -28 &= 3{,}5(-6) + b \\ -28 &= -21 + b \\ -28 + 21 &=b \\ -7 &= b  \end{align}||

Étape 4: On écrit l'équation sous sa forme fonctionnelle avec les paramètres |m=3,5| et |b=-7.| ||y = 3{,}5 x - 7||

1. Déterminer la valeur de la pente à l'aide de la formule suivante : ||m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}||

2. Dans l'équation |y=mx+b,| remplacer le paramètre |m| par la pente déterminée à l'étape 1.

3. Dans cette même équation, remplacer |x| et |y| par les coordonnées |(x,y)| d'un des deux points donnés (au choix).

4. Isoler le paramètre |b| afin de trouver la valeur de l'ordonnée à l'origine.

5. Écrire l'équation de la droite sous la forme |y=mx+b| avec les valeurs des paramètres |m| et |b.|

Quelle est l’équation de la droite qui passe par les points suivants : |(3,-8)| et |(5,10)| ?

Étape 1 : Il faut d'abord déterminer la valeur de la pente. ||\text{Pente}=\dfrac{10-(-8)}{5-3}=\dfrac{18}{2}=9||

Étape 2 : On écrit l’équation de la droite en remplaçant le paramètre |m| par |9.| ||y = 9x + b||

Étape 3 : À l’aide d’un point connu (on choisit le point |(5,10),| on remplace |y| par |10| et |x| par |5.| ||\begin{align} y &= 9x + b \\ 10 &= 9(5) + b  \end{align}||

Étape 4 : On isole |b.| ||\begin{align} 10 &= 9(5) + b \\ 10 &= 45 + b \\10 - 45 &= b \\ -35 &= b \end{align}||

Étape 5 : On écrit l'équation sous sa forme fonctionnelle avec les paramètres |m=9| et |b=-35.| ||y = 9x -35||

Lorsqu’on connait l’abscisse et l’ordonnée à l’origine, on peut se servir de la forme symétrique pour trouver l'équation d’une droite. On peut suivre les étapes suivantes :

1. Remplacer le paramètre |a| par l'abscisse à l'origine.

2. Remplacer le paramètre |b| par l'ordonnée à l'origine.

3. On peut par la suite (ce n'est pas toujours nécessaire) transformer l'équation ainsi obtenue en équation de forme fonctionnelle ou générale.

Quelle est l’équation de la droite dont l’abscisse à l’origine est |5| et dont l’ordonnée à l’origine est |- 4|?

Étapes 1 et 2 : On remplace le paramètre |a| par |5| et le paramètre |b| par |-4.| ||\dfrac{x}{5} - \dfrac{y}{4}=1||

Étape 3 : On peut transformer cette équation pour qu'elle soit sous la forme générale ou sous la forme fonctionnelle.

1. On cherche le dénominateur commun entre 5 et 4, donc 20. Pour arriver à 20, on multiplie la première fraction par 4 et la deuxième par -5 : ||\begin{align} \dfrac{x\color{blue}{\times 4}}{5\color{blue}{\times 4}}+\dfrac{\ \ \ y\color{blue}{\times -5}}{-4\color{blue}{\times -5}} &= 1 \\ \dfrac{4x}{20}-\dfrac{5y}{20} &= \dfrac{20}{20} \end{align}||

2. Puisqu'on a le même dénominateur partout, on peut le simplifier (en multipliant l'équation par 20). Ce qui nous donne : ||4x -5y = 20||

3. On peut transformer l'équation obtenue précédemment sous la forme générale en ramenant l'équation égale à zéro ou en forme fonctionnelle en isolant |y:| ||\begin{align} 4x -5y -20 &= 0\ \ \Longrightarrow\ \text{Forme générale} \\\\ 4x - 20 &= 5y \\\\ \dfrac{4x}{5}-\dfrac{20}{5} &= \dfrac{5y}{5} \\\\ \dfrac{4x}{5}-4 &= y\ \ \Longrightarrow\ \text{Forme fonctionnelle} \end{align}||