Les formes d'équation d'une droite

La forme canonique (fonctionnelle) d’une droite est : |y=mx + b|, où |m| est la pente de la droite et |b| est son ordonnée à l’origine (valeur initiale).

Les droites ci-dessous sont exprimées sous la forme canonique (fonctionnelle).

• |y = 2x + 3|, où |m = 2| et |b = 3|

• |y = -3x - 6|, où |m = -3| et |b = -6|

• |y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{4}|, où |m = \dfrac{1}{2}| et |b = \dfrac{3}{4}|

La forme canonique (fonctionnelle) permet d'exprimer toutes les droites à l'exception des droites verticales de forme |x =\text{constante}.| Dans cette forme, la pente |m| n'est pas définie puisqu'il est impossible de diviser par |0,| ce qui serait le cas dans le calcul de la pente d'une droite verticale.

La forme générale d’une droite est :

|Ax + By + C = 0|

où

|A| et |B| ne doivent pas être égaux à |0| en même temps.
En général, |A,| |B| et |C| sont des nombres entiers et |A| est positif.

La forme générale de l'équation d'une droite permet d'exprimer tous les types de droites, qu'elles soient verticales, horizontales, croissantes ou décroissantes.

Les droites ci-dessous sont sous la forme générale.

• |2x - 3y + 7 = 0 \Rightarrow| Droite croissante

• |x + 6y - 9 = 0\Rightarrow| Droite décroissante

• |-3x + 4 = 0 \Rightarrow| Droite verticale

• |6y - 3 = 0 \Rightarrow| Droite horizontale

La droite ci-dessous est exprimée sous la forme générale, mais le coefficient de la variable |x| n'est pas un entier et il n'est pas positif.||\dfrac{-x}{2} + 3y - 7 = 0||Il est possible de multiplier tous les termes par |-2| pour éliminer la fraction et le signe négatif du paramètre |A.| ||-2\times \left(\dfrac{-x}{2} + 3y - 7 = 0 \right)||Cela donne l'équation suivante.||x - 6y + 14 = 0||

La forme symétrique d’une droite est :

|\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1|

où
|a| est l’abscisse à l’origine (le zéro)
|b| est l’ordonnée à l’origine (la valeur initiale)

Le |x| et le |y| doivent être les seuls éléments présents au numérateur de leur fraction respective.

Il est aussi important que |a\neq 0| et que |b\neq 0| puisqu’une division par |0| est indéterminée.

La pente peut se calculer avec la formule : |m=\dfrac{-b}{a}.|

La droite ci-dessous est de la forme symétrique. ||\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=1||

La droite ci-dessous n'est pas exprimée sous la forme symétrique.||\dfrac{2x}{3}-\dfrac{7y}{4}=1||

Cependant, il est possible de l'exprimer sous la forme symétrique en inversant les coefficients de |x| et |y| et en les plaçant au dénominateur. ||\dfrac{x}{\left(\dfrac{3}{2}\right)}+ \dfrac{y}{\left(\dfrac{-​4}{7}\right)}=1||

La forme symétrique permet d'exprimer l'équation de la majorité des droites sauf pour 3 exceptions :

• On ne peut pas exprimer une droite verticale (il n'y aurait pas d'ordonnée à l'origine |b|).

• On ne peut pas exprimer une droite horizontale (il n'y aurait pas d'abscisse à l'origine |a|).

• On ne peut pas exprimer une droite passant par l'origine |(0,0)| (il est impossible de diviser par |0|).

Pour passer à la forme générale à partir de la forme canonique (fonctionnelle) de l'équation |y = \dfrac{4}{5}x - 4,| il faut rendre l'équation égale à |0| et faire en sorte que les coefficients soient des nombres entiers.

1. On multiplie les 2 côtés de l'égalité par |5| pour ne plus avoir de fractions, mais bien des coefficients entiers, et pour que le |A| soit positif.||\begin{align}5\ (y) &=5\ \left(\dfrac{4}{5}x-4 \right)\\5y &=4x-20 \end{align}||

2. On déplace le |5y| de l'autre côté du égal pour mettre le tout égal à zéro.||0 = 4x – 5y – 20||

Pour passer à la forme symétrique à partir de la forme générale |0 = 4x – 5y – 20,| il faut transformer l'équation pour qu'elle soit égale à |1.|

1. On déplace le |20| de l'autre côté de l'égalité.||20 = 4x -5y||

2. Il faut que l’égalité soit égale à |1.| On divise donc tous les termes par |20|. ||\dfrac{20}{20} = \dfrac{4}{20}x - \dfrac{5}{20}y||

3. Quand on simplifie, on obtient : ||1 =\dfrac{x}{5} - \dfrac{y}{4}||

On apprend ainsi que l’abscisse à l’origine de la droite est |5| et que son ordonnée à l’origine est |\text{-}4.|

Pour passer à la forme symétrique à partir de la forme canonique (fonctionnelle) |y = \dfrac{4}{5}x - 4,| il faut placer les variables du même côté de l'égalité et faire en sorte que l'équation soit égale à |1.|

1. On déplace le |\dfrac{4}{5}x| de l'autre côté de l'égalité. ||-\dfrac{4}{5}x+y = -4||

2. Il faut que l’égalité soit égale à |1.| On divise donc tous les termes par |\text{-}4.| ||\dfrac{\frac{-4}{5}x}{-4} + \dfrac{y}{-4} = \dfrac{-4}{-4}||

3. Quand on simplifie, on obtient : ||\dfrac{x}{5} - \dfrac{y}{4}=1||

Pour passer à la forme générale à partir de la forme symétrique |\dfrac{x}{5} - \dfrac{y}{4}=1,| il faut ramener tous les termes du même côté de l'égalité et faire en sorte qu'il n'y ait plus de fractions.

1. On déplace le |1| de l'autre côté de l'égalité. ||\dfrac{x}{5} - \dfrac{y}{4}-1=0||

2. On multiplie tous les termes par le |\text{PPCM}| de |a| et de |b:| |\text{PPCM}(5,4)=20| ||\begin{align}20\left(\dfrac{x}{5}\right) + 20 \left(-\dfrac{y}{4}\right)+20(-1)&=20(0)\\ 4x \phantom{)+20(}-5y\phantom{+20}-20\phantom{())}&=\phantom{()}0 \end{align}||

Pour retrouver la forme canonique (fonctionnelle) à partir de la forme générale |0 = 4x – 5y – 20,| il faut isoler la variable |y.|

1. On déplace le |4x| et le |20| de l'autre côté de l'égalité.||-5y=-4x+20||

2. On divise tous les termes par le coefficient de |y.| ||\dfrac{-5y}{-5}=\dfrac{-4x}{-5}+\dfrac{20}{-5}||

3. Quand on simplifie, on obtient : ||y=\dfrac{4}{5}x-4||

Pour retrouver la forme canonique (fonctionnelle) à partir de la forme symétrique |\dfrac{x}{5} - \dfrac{y}{4}=1,| il faut isoler la variable |y.|

1. On déplace le |\dfrac{x}{5}| de l'autre côté de l'égalité.||-\dfrac{y}{4}=-\dfrac{x}{5}+1||

2. On multiplie par |-4| (les 2 côtés de l'égalité) pour isoler |y.| ||\begin{align}-4\left(- \dfrac{y}{4}\right)&=-4\left(-\dfrac{x}{5}+1\right)\\y\ \ \ \ &=\ \ \ \ \dfrac{4}{5}x\ \ -\ \ 4 \end{align}||