La moyenne

La moyenne (Moy) est une mesure de tendance centrale qui représente le centre d’équilibre d’une distribution.

|\text{Moyenne} = \dfrac{\text{Somme de toutes les données}}{\text{Nombre de données}}|

Pour alléger la notation, on peut utiliser différents symboles. 

• Lorsqu'il est question de la moyenne d'un échantillon, on utilise le symbole |\overline x.|

• Lorsqu'on fait référence à la moyenne d'une population, on utilise la lettre grecque |\mu.|

Le calcul de la moyenne arithmétique est le même dans les 2 cas.

Voici le nombre de buts marqués par les Canadiens de Montréal lors de leurs |15| derniers matchs.

|0,| |1,| |3,| |2,| |3,| |1,| |3,| |4,| |5,| |2,| |5,| |1,| |3,| |4,| |2|

Quelle est la moyenne du nombre de buts marqués par les Canadiens lors de leurs |15| derniers matchs? 

||\begin{align}\text{Moyenne}&=\dfrac{\left(\begin{alignat}{30}&0&&+1&&+3&&+2&&+3&&+1&&+3&&+4 \\& &&+5&&+2&&+5&&+1&&+3&&+4&&+2\end{alignat}\right)}{15}\\&=\dfrac{39}{15}\\&=2{,}6\ \text{buts/match}\end{align}||

Réponse : Lors des |15| derniers matchs, les Canadiens ont marqué en moyenne |2{,}6| buts par match.

Pour son bulletin de la 3^e étape, Marie-Claude s'est fixé comme objectif d'avoir une moyenne de |85\ \%| en mathématiques. Jusqu'à maintenant, elle a obtenu les résultats suivants : |90\ \%,| |82\ \%| et |81\ \%.| 

En considérant que toutes les évaluations ont la même pondération, quel doit être le résultat de Marie-Claude à sa dernière évaluation pour qu'elle atteigne son objectif?

Comme la moyenne est la valeur qu’aurait chaque donnée si chacune avait la même valeur, on peut reformuler et dire que c’est comme si Marie-Claude souhaitait avoir |85\ \%| à chacune de ses |4| évaluations. Ainsi, en additionnant ce |85\ \%| à |4| reprises, on obtient |85\ \% \times 4 = 340\ \%.|

Elle doit donc cumuler un total de |340\ \%| à ses |4| évaluations pour atteindre son objectif. Or, elle a déja reçu |3| résultats : |90\ \%,| |82\ \%| et |81\ \%.| Ainsi, après |3| évaluations, elle a cumulé un total de |90\ \% + 82\ \% + 81\ \% = 253\ \%.| Donc, on peut trouver la valeur manquante en faisant |340\ \% - 253\ \% = 87\ \%.|

Réponse : Marie-Claude a besoin d'une note de |87\ %| pour avoir une moyenne de |85\ \%| à la 3^e étape.

On sait que la moyenne de |5| données est |35,| mais on ne connait que |4| des |5| données, soit |20,| |40,| |45| et |29.|

Quelle est la valeur de la donnée manquante?

On remplace cette donnée manquante par |x| et on utilise la formule de la moyenne arithmétique.||\begin{align} \text{Moyenne} &= \dfrac{\text{Somme de toutes les données}}{\text{Nombre de données}} \\ 35 &= \dfrac{20 + 40 + 45 + 29 + x}{5} \\ 35 &= \dfrac{134+x}{5} \end{align}||Ensuite, on isole |x.|||\begin{align}35\boldsymbol{\color{#ec0000}{\times5}}&=\dfrac{134+x}{5}\boldsymbol{\color{#ec0000}{\times5}}\\175&=134+x\\175\boldsymbol{\color{#ec0000}{- 134}}&=134+x\boldsymbol{\color{#ec0000}{- 134}}\\41&=x\end{align}||

Réponse : La donnée manquante vaut |41.|

|\text{Moyenne} = \dfrac{\text{Somme des produits de chaque valeur par leur effectif}}{\text{Nombre total de données}}|

L'âge de 30 athlètes faisant partie d’une équipe sportive est représenté dans le tableau suivant.

Quelle est la moyenne d'âge des joueurs de cette équipe?

On remarque que l'âge |7| revient à |13| reprises |(7 \times 13),| l'âge |8| revient à |9| reprises |(8 \times 9),| l'âge |9| est présent |6| fois |(9 \times 6)| et l'âge |10| est présent à |2| reprises |(10 \times 2).|||\begin{align}\text{Moyenne}&= \dfrac{7 \times 13 + 8 \times 9 + 9 \times 6 + 10 \times 2​}{13+9+6+2}\\ &= \dfrac{91+72+54+20}{30}\\&=\dfrac{237}{30}\\&= 7{,}9\ \text{ans}\end{align}||

Réponse : L'âge moyen des athlètes de cette équipe est de |7{,}9| ans.

|\text{Moyenne} \approx \dfrac{\text{Somme des produits des milieux de chaque classe par leur effectif}}{\text{Nombre total de données}}|

Voici la durée du trajet en autobus effectué par |337| élèves pour se rendre à leur école.

Quelle est la durée moyenne du trajet en autobus de ces élèves?

Il faut d’abord déterminer le milieu de chaque intervalle. C'est avec ces valeurs médianes qu'on calcule la moyenne.

On considère que la valeur |12{,}5| est présente |44| fois |(12{,}5 \times 44),| que |17{,}5| apparait |58| fois dans la distribution |(17{,}5 \times 58)| et ainsi de suite. On obtient l'équation suivante.||\begin{align}\text{Moyenne}&\approx\dfrac{\left(\begin{alignat}{30}&12{,}5\times44&&+17{,}5\times58&&+22{,}5\times70\\+\ &27{,}5\times81&&+32{,}5\times54&&+37{,}5\times30 \end{alignat}\right)}{44+58+70+81+54+30}\\ &\approx\dfrac{\left(\begin{alignat}{32}&\ \ \ 550&&+1\ 015&&+1\ 575\\+\ &2\ 227{,}5&&+1\ 755&&+1\ 125 \end{alignat}\right)}{337}\\&\approx\dfrac{8\ 247{,}5}{337}\\&\approx 24{,}47\ \text{minutes/élève}\end{align}||

Réponse : En moyenne, chaque élève effectue un trajet d'autobus qui dure environ |24{,}47| minutes.

On observe la circulation automobile sur la rue Notre-Dame à Québec entre 12 h 00 et 13 h 00. |21| voitures ont circulé sur la rue le lundi, |34| voitures le mardi, |46| voitures ont circulé le mercredi, |19| voitures le jeudi et |225| voitures le vendredi.

Toutes les données sont relativement proches, sauf la valeur |225| qui est très éloignée des autres. Il s’agit d’une donnée aberrante. Voici les moyennes obtenues avec et sans la donnée aberrante.

On remarque que la moyenne avec la donnée aberrante est beaucoup plus élevée que celle qui n’en tient pas compte. Elle ne représente pas l’ensemble des données, puisque |4| données sur les |5| sont nettement inférieures à cette moyenne. La médiane, quant à elle, n’est pas influencée par les données aberrantes. On peut donc la déterminer afin de la comparer à la moyenne. Dans cet exemple, la médiane est de |34.| La moyenne calculée sans la donnée aberrante est donc plus représentative de l’ensemble de la distribution.

|\text{Moyenne pondérée} = \text{Somme des produits des valeurs par leur pondération}|

Dans le calcul d’une moyenne pondérée, chaque donnée est associée à un poids qui lui donne une importance particulière par rapport aux autres données. La somme de tous les poids, c’est-à-dire de tous les coefficients, doit donner |100\ \%.|

Voici un tableau qui présente les résultats d'Alexandre lors de ses derniers examens ainsi que leur pondération respective.

Quel est le résultat final d’Alexandre?

Pour faciliter les calculs, il est préférable d'écrire chacun des pourcentages en nombre décimal.||\begin{align}20\ \%&= 0{,}20\\35\ \%&=0{,}35\\45\ \%&=0{,}45\end{align}||On peut maintenant déterminer la moyenne pondérée.||\begin{align}\text{Moyenne pondérée}&= 82 \times 0{,}20 + 75 \times 0{,}35 + 86 \times 0{,}45\\&= 16{,}4 + 26{,}25 + 38{,}7\\&= 81{,}35\end{align}||

Réponse : Le résultat final d'Alexandre est de |81{,}35\ \%.|​

Malgré toutes les bonnes intentions de Julien, il a peur d'échouer à son cours d'histoire. Afin de bien comprendre sa situation, il a fait le tableau suivant.

Quel est le résultat minimal que Julien doit avoir à sa dernière évaluation afin d’obtenir la note de passage de |60\ \%| dans son cours?

On utilise |x| pour représenter la note manquante dans la formule de la moyenne pondérée.||\begin{align}60&=54\times0{,}10+58\times0{,}10+62\times0{,}30+50\times0{,}10+x\times0{,}40\\60&=5{,}4+5{,}8+18{,}6+5+0{,}4x\\60&=34{,}8+0{,}4x\\60\boldsymbol{\color{#ec0000}{-34{,}8}}&=34{,}8\boldsymbol{\color{#ec0000}{-34{,}8}}+0{,}4x\\25{,}2&=0{,}4x\\\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{25{,}2}}{\boldsymbol{0{,}4}}}&=\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{0{,}4x}}{\boldsymbol{0{,}4}}}\\63&=x\end{align}||

Réponse : Julien doit obtenir un minimum de |63\ \%| à son évaluation finale pour réussir son cours d’histoire.​