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<html><body><p>Pour résoudre un problème où intervient une fonction logarithmique, il faut connaitre tous les rouages de cette fonction et les façons de résoudre une équation ou une inéquation hors contexte. Tu peux consulter la fiche suivante au besoin : <a href="/fr/eleves/bv/mathematiques/resoudre-une-equation-ou-une-inequation-logarit-m1150">Résoudre une équation ou une inéquation logarithmique</a>.</p>
</body></html>
Lorsque les athlètes commencent à s’entrainer, ils font habituellement rapidement des progrès. Après un certain temps, on entend souvent dire d'eux qu’ils « plafonnent ». En réalité, ils continuent de s’améliorer, mais leurs progrès sont de moins en moins notables. Pour cette raison, on peut comparer la courbe d’amélioration d’un athlète à une fonction logarithmique.
Le graphique suivant montre le temps nécessaire à un coureur amateur pour faire un demi-marathon selon le nombre de semaines d’entrainement assidu qu’il effectue.
a) Quel devrait être approximativement son temps de demi-marathon après 1 année complète d’entrainement?
b) S’il continue à suivre la même tendance, après combien de semaines d’entrainement peut-il espérer faire son demi-marathon en moins de 1 h 30?
1. Identifier les variables
|x| : Nombre de semaines d'entrainement
|f(x)| : Temps requis pour faire un demi-marathon (minutes)
2. Trouver la règle
On remarque d'abord qu'il y a une asymptote à |x=0.| Concrètement, cela signifie que l'athlète n'était pas en mesure de compléter un demi-marathon au moment où il a commencé à s'entrainer. Pour ce qui est de la règle, cela signifie que |h=0.|
On observe une courbe décroissante située à la droite de l'asymptote. Cela signifie que |a>0,| |b>0| et |0<c<1.|
On peut fixer la valeur de |a| à |1| et utiliser la règle |f(x)=\log_c b(x-h)| ou la règle |f(x)=\log_c (x-h)+k.| Les 2 règles sont équivalentes et permettraient d'obtenir les mêmes résultats aux questions a) et b). Dans cet exemple, on utilisera la règle |f(x)=\log_c b(x-h).| L'utilisation de la règle |f(x)=\log_c (x-h)+k| est présentée dans l'encadré « En savoir plus » qui suit cet exemple.
2.1. Remplacer |h| par la valeur de l'asymptote
||\begin{align} y &= \log_c b(x-\color{blue}{h}) \\y &= \log_c b(x-\color{blue}{-0}) \\y &= \log_c bx \\ \end{align}||
2.2. Substituer chacun des points pour créer un système d'équations
||\begin{align} 1^{\text{er}} &\text{ couple : }(\color{green}{9},\color{red}{145}) &&2^\text{e} \text{ couple : }(\color{green}{25},\color{red}{120}) \\\\ \color{red}{y} &= \log_c b\color{green}{x} && \color{red}{y} = \log_c b\color{green}{x} \\\\ \color{red}{145} &= \log_c \color{green}{9}b && \color{red}{120} = \log_c \color{green}{25}b && \text{Substituer }\color{green}{x} \text{ et } \color{red}{y} \\\\ c^{145} &=9b && c^{120} =25b && \text{Passer à la forme exponentielle } \\\\ \frac{c^{145}}{9} &= b && \frac{c^{120}}{25} = b && \text{Isoler }b\end{align}||
2.3. Déterminer la valeur du paramètre |c| à l'aide de la méthode de comparaison
||\begin{align} b & = b \\\\ \dfrac{c^{145}}{9} & = \dfrac{c^{120}}{25} \\\\ \dfrac{c^{145}}{c^{120}} & = \dfrac{9}{25} \\\\ c^{25} & = \dfrac{9}{25} && \text{Lois des exposants} \\\\ \sqrt[25]{c^{25}}& = \sqrt[25]{\dfrac{9}{25}} \\\\ c & \approx 0{,}96\end{align}||
2.4. Utiliser un des deux points fournis pour trouver la valeur du paramètre |b|
||\begin{align} b &= \dfrac{c^{145}}{9} = \dfrac{0{,}96^{145}}{9} \approx 0{,}000\ 3\\ b &= \dfrac{c^{120}}{25} = \dfrac{0{,}96^{120}}{25} \approx 0{,}000\ 3 \end{align}||
La règle est donc : ||f(x)=\log_{0{,}96}0{,}000\ 3x||
a) Quel devrait être approximativement son temps de demi-marathon après 1 année complète d’entrainement?
On demande de trouver la valeur de |f(52),| c'est-à-dire le temps pour faire un demi-marathon après 1 année d'entrainement, soit |52| semaines. ||\begin{align} f(x) &= \log_{0{,}96}0{,}000\ 3x\\ f(52) &= \log_{0{,}96}0{,}000\ 3(52)\\ &= \log_{0{,}96}0{,}015\ 6\\ &\approx 101{,}9\ \text{minutes}\end{align}||
Réponse : Au bout d'une année d'entrainement, cet athlète devrait faire son demi-marathon en environ 1 h 42.
b) S’il continue à suivre la même tendance, après combien de semaines d’entrainement peut-il espérer faire son demi-marathon en moins de 1 h 30?
Cette fois, on demande de trouver le temps nécessaire pour arriver à faire un demi-marathon en moins de 1 h 30, soit |90| minutes. Donc, le logarithme doit être plus petit que |90|, c'est-à-dire que |90| doit être plus grand |(>)| que le logarithme. On obtient l'inéquation suivante : ||90>\log_{0{,}96}0{,}000\ 3x||
On change le signe d'inégalité pour le signe d'égalité. ||90=\log_{0{,}96}0{,}000\ 3x||
On peut passer à la forme exponentielle. ||90 = \log_{0{,}96}0{,}000\ 3x \ \Longleftrightarrow \ 0{,}96^{90}=0{,}000\ 3x||
On résout l'équation. ||\begin{align} 0{,}96^{90} &= 0{,}000\ 3x \\ \frac{0{,}96^{90}}{0{,}000\ 3} &= \frac{0{,}000\ 3x}{0{,}000\ 3}\\ 84{,}58 &\approx x \end{align}||
En observant le graphique, on peut interpréter notre solution correctement.
Réponse : Après |84{,}58| semaines d'entrainement, il pourra normalement faire son épreuve en 1 h 30. Sachant que plus il s'entraine, plus son temps de course diminue, on en conclut qu'il devra s'entrainer |85| semaines et plus pour courir le demi-marathon en moins de 1 h 30, ce qui représente environ 1 an et 8 mois d'entrainement.
Pour répondre aux questions de l'exemple précédent, on peut utiliser la formule |f(x)=\log_c (x-h)+k| pour trouver la règle. Voici comment faire :
1. Remplacer |h| par la valeur de l'asymptote
||\begin{align} f(x) &= \log_c (x-\color{blue}{h})+k \\f(x) &= \log_c (x-\color{blue}{-0})+k \\f(x) &= \log_c x+k \\ \end{align}||
2. Substituer chacun des points pour créer un système d'équations
||\begin{align} 1^{\text{er}} &\text{ couple : }(\color{green}{9},\color{red}{145}) &&2^\text{e} \text{ couple : }(\color{green}{25},\color{red}{120}) \\\\ \color{red}{f(x)} &= \log_c b\color{green}{x} && \color{red}{f(x)} = \log_c b\color{green}{x} \\\\ \color{red}{145} &= \log_c \color{green}{9}+k && \color{red}{120} = \log_c \color{green}{25}+k && \text{Substituer }\color{green}{x} \text{ et } \color{red}{y} \\\\ 145&-\log_c 9 = k && 120-\log_c 25 = k && \text{Isoler }k\end{align}||
3. Déterminer la valeur du paramètre |c| à l'aide de la méthode de comparaison
||\begin{align} k & = k \\\\ 145-\log_c9 &= 120-\log_c 25 \\\\ 25 & = \log_c 9 - \log_c25 \\\\ 25 &= \log_c \left(\dfrac{9}{25}\right) && \text{Lois des logarithmes}\\\\ c^{25} &= \dfrac{9}{25} && \text{Passer à la forme exponentielle} \\\\ \sqrt[25]{c^{25}}& = \sqrt[25]{\frac{9}{25}} && \text{Isoler c} \\\\ c & \approx 0{,}96 \end{align}||
4. Utiliser un des deux points fournis pour trouver la valeur du paramètre |k|
||k = 145-\log_{0{,}96} 9 \approx 198{,}8||
La règle est donc : ||f(x)=\log_{0{,}96}x+198{,}8||
Cette règle est équivalente à celle qui avait été trouvée précédemment. Pour le prouver, on l'emploiera pour répondre aux questions a) et b).
a)
||\begin{align} f(x) &= \log_{0{,}96}x + 198{,}8 \\ f(52) &= \log_{0{,}96}(52) + 198{,}8 \\ &\approx 102\ \text{minutes} \end{align}||
En tenant compte des arrondissements, cette solution est équivalente à celle qui avait été trouvée.
b)
On a l'inéquation suivante : ||90 > \log_{0{,}96}x+198{,}8||
On change le signe d'inégalité pour le signe d'égalité. || 90 = \log_{0{,}96}x + 198{,}8||
On isole le logarithme. ||-108{,}8 = \log_{0{,}96}x||
On passe à la forme exponentielle et on calcule |x.| ||\begin{align} -108{,}8 = \log_{0{,}96}x \ \Longleftrightarrow \ 0{,}96^{-108{,}8} &= x \\ 84{,}9 &\approx x \end{align}||
Encore une fois, après arrondissement, cette réponse est équivalente à celle qu'on avait obtenue à l'aide de l'autre formule.
Pour valider ta compréhension à propos de la résolution de problèmes impliquant la fonction logarithmique de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante.
