La résolution de problèmes impliquant les vecteurs

Lorsque plusieurs forces agissent sur un même objet, il est possible de remplacer toutes ces forces par une seule; la force résultante (|F_R|).

1) Trouver les composantes de chacun des vecteurs

En utilisant les rapports trigonométriques dans les triangles rectangles, on peut déduire les composantes suivantes : ||\begin{align} \color{blue}{F_1 (x,y)} & \\
\Rightarrow \color{blue}{x} &= 2 \ 300 \cos 110^\circ \\
&= - 787\ \text{N} \\
\Rightarrow \color{blue}{y} &= 2 \ 300 \sin 110^\circ \\
&= 2 \ 161\ \text{N}\\
\color{red}{F_2 (x,y)} &\\
\Rightarrow \color{red}{x} &= 2 \ 500 \cos 60^\circ \\
&= 1 \ 250\ \text{N}\\
\Rightarrow \color{red}{y} &= 2 \ 500\sin 60^\circ \\
&= 2 \ 165\ \text{N}\\
\color{green}{F_3 (x,y)} &\\
\Rightarrow \color{green}{x} &= 3 \ 000 \cos 10^\circ \\
&= 2 \ 954\ \text{N}\\
\Rightarrow \color{gree}{y} &= 3 \ 000\sin 10^\circ \\
&= 521\ \text{N}\end{align}||

2) Additionner les composantes pour obtenir celles de |F_R|

3) Calculer |\mid \mid F_R \mid \mid|

||\begin{align}\mid \mid F_R \mid \mid &= \sqrt{3 \ 417^2 + 4 \ 847^2} \\
&\approx 5 \ 930\ \text{N} \end{align}||

4) Déterminer l'orientation de |F_R|

En représentant |F_R| dans un plan cartésien, on peut former un triangle rectangle. Cela permet l'utilisation des rapports trigonométriques.
||\begin{align}\tan \theta &= \displaystyle \frac{4 \ 847}{3 \ 417}\\
&\approx 55^\circ \end{align}||

5) Interpréter la réponse

Ainsi, l'arbre devrait tomber en formant un angle de |55^\circ| avec l'axe des |x| positif.

La force équilibrante, parfois notée (|F_É|), est la force qu’il faut ajouter à un système de forces pour que la somme des forces (incluant la force équilibrante) soit égale à zéro. On pourra donc dire que la force équilibrante est égale à la force résultante dont on a changé le sens.

• Si le vecteur est présenté avec sa norme et son orientation, il faudra ajouter |180^\circ| à l’orientation (ou soustraire |180^\circ| si l’orientation est de |180^\circ|​ ou plus) et la norme restera la même.

• Si le vecteur est présenté avec ses composantes, on devra changer le signe de chacune des composantes.

Pour éviter que l'arbre ne tombe tout de suite, on veut appliquer une forme suffisante sur celui-ci. Quelles devraient être les composantes de cette force équilibrante?

1) Trouver les composantes de la force résultante
Comme calculé dans l'exemple plus haut,
||F_R = (3 \ 417, 4 \ 847)||
2) Déduire les composantes de la force équilibrante.
||\begin{align} F_R &= (3 \ 417 , 4 \ 847) \\
\Rightarrow F_É &= (-3 \ 417, -4 \ 847)\end{align}||

Le vecteur déplacement correspond à la différence entre deux vecteurs position: |\overrightarrow{r_f}| est la position finale et |\overrightarrow{r_i}| est la position initiale.
On note |\Delta \overrightarrow{r}| le vecteur déplacement.

Soit le schéma suivant:

Le vecteur déplacement correspond à
||\Delta \overrightarrow{r} = \overrightarrow{r_f}-\overrightarrow{r_i}|| 

Le vecteur vitesse correspond au rapport entre le vecteur déplacement et le temps écoulé. Un tel vecteur a une composante horizontale (vitesse horizontale) et une composante verticale (vitesse verticale).

||W= F \times \Delta x||
où |W| est le travail effectué (en J), |F| est la force appliquée (en N) et |\Delta x| est la grandeur du déplacement (en m).​

||W = F \cos \theta \times \Delta x||
où |W| est le travail effectué (en J), |F \cos \theta| est la composante de la force parallèle au déplacement (en N), |\theta| est l'angle entre le vecteur force et le vecteur déplacement et |\Delta x| est le déplacement (en m). ​

Avec la date fatidique du 1^er juillet qui approche, Bill doit déménager tous ses meubles dans son nouvel appartement. Puisque sa laveuse est beaucoup trop lourde pour être soulevée, il décide d'y attacher une corde et de la tirer.

Ainsi, quel travail devra effectuer Bill pour la déplacer sur une distance de 1​5 m s'il déploie une force de |130 \ N| et que la corde qu'il utilise forme un angle de |35^\circ| par rapport à l'horizontal en négligeant la force de frottement?​​​

1) Analyser la situation
Dans le cas présent, le travail effectué n'est pas parallèle au vecteur de déplacement. Ainsi, on utilisera la formule
||W = F \cos \theta \times \Delta x||
2) Appliquer la formule appropriée ​
Puisque la mesure de l'angle donnée est celle composée par le vecteur force et le vecteur déplacement,on utilise la formule suivante:
||\begin{align} W &= \color{red}{F} \cos \color{blue}{\theta} \times \color{green}{\Delta x}\\
&= \color{red}{130} \cos \color{blue}{35^\circ} \times \color{green}{15}\\
&\approx 1\ 597 \ \text{J} \end{align}||
3) Interpréter la réponse
Bill devra effectuer un travail de |1\ 597| joules pour déménager sa laveuse.

Une fois rendu à son escalier, Bill décide d'y installer une planche d'une longueur de 15 m afin de créer un plan incliné. De cette façon, la force de gravité (environ |9{,}8\ \text{N}|) apportera la laveuse saine et sauve au bas des marches. En négligeant la force de frottement, quel sera le réel travail effectué par la force gravitationnelle si le plan est incliné à |40^\circ|?

1) Analyser la situation
Dû à la présence de triangles semblables, on peut déduire la mesure de l'angle de |40^\circ| à deux endroits. Pour appliquer la formule, on doit obtenir la valeur de |\color{blue}{\theta}|. Puisque la somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à |180^\circ|, on déduit que
 ||\begin{align} \color{blue}{\theta} &= 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ \\
&= 50^\circ \end{align}||
2) Appliquer la formule appropriée
 ||\begin{align}W &= \color{red}{F} \cos \color{blue}{\theta} \times \color{green}{\Delta x}\\
&= \color{red}{9{,}8} \cos \color{blue}{50^\circ} \times \color{green}{15}\\
& \approx 104\ J \end{align}||
3)Interpréter la réponse
La force gravitationnelle exercera un travail d'environ 104 joules pour faire descendre la laveuse de Bill.​