Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique (aussi appelé le cercle unité) est le cercle dont le centre correspond à l’origine du plan cartésien |(0,0)| et dont le rayon mesure |1| unité :

L'équation de ce cercle en coordonnées cartésiennes est |x^2+y^2=1|.

• Chacun de ces points est appelé point trigonométrique |P(\theta)| où |\theta| est la mesure d'un angle en radians. En bref, un point trigonométrique est un point situé sur le cercle trigonométrique.

• Les coordonnées |(x,y)| de chacun de ces points représentent respectivement |\cos \theta| et |\sin \theta|. ||P(\theta)=(x,y)= (\cos \theta,\sin \theta)||

• L'équation du cercle trigonométrique |x^2+y^2=1| devient donc : ||\cos^2 \theta + \sin^2 \theta=1||

Lorsqu'on travaille avec le cercle trigonométrique, on utilise généralement les radians plutôt que les degrés.

Lorsqu'on connait les coordonnées cartésiennes du point, il faut vérifier si la relation |x^2+y^2=1| est respectée. Si ce n'est pas le cas, le point donné n'est pas sur le cercle trigonométrique. 

Le point |(0{,}6\ ;\ 0{,}8)| est-il sur le cercle trigonométrique?

On remplace |x| et |y| dans |x^2+y^2=1| par les valeurs du point donné. ||0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1||

On peut donc affirmer que le point |(0{,}6\ ;\ 0{,}8)| est sur le cercle trigonométrique.

Le point |\left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{2}{3}\right)| est-il sur le cercle trigonométrique?

On remplace |x| et |y| dans |x^2+y^2=1| par les valeurs du point donné. ||\left(\dfrac{1}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{73}{144} \neq 1||

Ainsi, le point |\left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{2}{3}\right)| n'est pas sur le cercle trigonométrique.

On appelle fonction d'enroulement une fonction qui, à tout nombre réel |\theta| de la droite réelle, associe un point |P(\theta)| sur le cercle trigonométrique centré en |(0,0)|. C'est donc une fonction |f| telle que |\begin{eqnarray*}f: \mathbb{R} &\to& [-1,1] \times [-1,1] \\ \theta &\mapsto & (\cos \theta, \sin \theta) \end{eqnarray*}.|

On appelle période le plus petit nombre réel positif |p| tel que |P(\theta + p) = P(\theta).|

Dans le cas des points trigonométriques, la période est de |2\pi| radians.

Il est possible d'établir différentes formules, en voici deux :

|\cos(\theta + 2\pi n) = \cos \theta|

|\sin(\theta + 2\pi n) = \sin \theta|

Ces deux formules sont valides peu importe la valeur de |\theta.| De plus, les valeurs de |n| doivent être entières.

Soit le point trigonométrique |P(\theta) = \left(\dfrac{5}{13},\dfrac{12}{13}\right).|

On veut savoir la valeur du point lorsque l'angle est plutôt |\theta + 8 \pi| radians.

On remarque que |8\pi| est un multiple de |2\pi|. En effet, |4 \times 2\pi = 8\pi.| Donc, |n=4.|

On peut donc appliquer les deux formules vues plus haut :

• |\cos(\theta + 8\pi) = \cos \theta = \dfrac{5}{13}|

• |\sin(\theta + 8\pi) = \sin \theta = \dfrac{12}{13}|

On obtient le même point |P(\theta + 8\pi) = \left(\dfrac{5}{13},\dfrac{12}{13}\right).|

Voici plus en détail les étapes à suivre :

1. Calculer le nombre de rotations |N| à retrancher de l’angle donné |t| en divisant cette mesure d’angle par |2\pi| et en conservant la partie entière du résultat obtenu :

   |\displaystyle N=\left[\frac{t}{2\pi}\right]|

2. Soustraire de l’angle donné l’angle formé par le nombre de rotations précédemment calculées (dont la mesure est donc de |2\pi N|) : |t'=t-2\pi N|

3. Situer le résultat de la soustraction précédente, qui est un nombre compris entre |0| et |2\pi,| sur le cercle trigonométrique et indiquer ses coordonnées.

ATTENTION : Lorsque l’angle aura une valeur négative, la valeur de |N| sera elle aussi négative. Donc, il faudra soustraire un multiple négatif de |2\pi|, ce qui reviendra à additionner des rotations pour trouver le résultat dans l’intervalle |[0,2\pi].|

Déterminer la position, sur le cercle trigonométrique, du point |P\left(\dfrac{31\pi}{6}\right)| et indiquer ses coordonnées.

1. Calculer le nombre de rotations ||\begin{align} N&= \left[t\div2\pi\right]\\ &=\left[\dfrac{31\pi}{6}\div2\pi \right]\\ &=[2{,}583...]\\&=2\end{align}||

2. Soustraire le nombre de rotations ||\begin{align} t'&=t-N\times2\pi\\&=\dfrac{31\pi}{6}-2\times2\pi\\&=\dfrac{31\pi}{6} -\dfrac{24\pi}{6}\\&=\frac{7\pi}{6}\end{align}||

3. Localiser le point
   Le point coïncide avec le point |P\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac{1}{2}\right)| de sorte que ses coordonnées sont : ||P\left(\dfrac{31\pi}{6}\right)=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac{1}{2}\right)||

Déterminer la position, sur le cercle trigonométrique, du point |P\left(\dfrac{-26\pi}{3}\right)| et indiquer ses coordonnées.

1. Calculer le nombre de rotations ||\begin{align}N&=[t\div2\pi]\\&= \left[\dfrac{-26\pi}{3}\div2\pi \right]\\&=[-4{,}33...]\\&=-5\end{align}||

2. Soustraire le nombre de rotations ||\begin{align}t'&=t-N\times2\pi\\&=\dfrac{-26\pi}{3}-(-5)\times2\pi\\&=\dfrac{-26\pi}{3} -(-10\pi)\\&=\dfrac{4\pi}{3}\end{align}||

3. Localiser le point
   Le point coïncide avec le point |P\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)=\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)| de sorte que ses coordonnées sont : ||P\left(\dfrac{-26\pi}{3}\right)=\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)||

Voici plus en détail les étapes à suivre :
 

1. Localiser, sur le cercle trigonométrique, le point dont on connait les coordonnées et trouver la valeur de |t’| associée à ce point dans l’intervalle |[0,2\pi].|

2. Calculer le nombre de rotations à ajouter à |t’| à l’aide de la formule |\displaystyle N=\left[\frac{b-t'}{2\pi}\right]| où les crochets désignent la partie entière et où |b| représente la seconde borne de l’intervalle demandé.

3. Additionner à |t’| le nombre de rotations calculé précédemment à l’aide de la formule: |t=t' + 2\pi N|

Déterminer la valeur de l'angle |t| en radians si |P(t) = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)| et si |t \in [9\pi,11\pi].|

1. Localisation du point sur le cercle trigonométrique
   Entre |0| et |2\pi,| l’angle au centre correspondant au point de coordonnées |\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)| est de |\dfrac{7\pi}{4}.|
   On notera ce point |t’.|

2. Calcul du nombre de rotations ||\begin{align}N&=\left[\dfrac{b-t'}{2\pi}\right]\\ &=\left[\dfrac{11\pi-\frac{7\pi}{4}}{2\pi}\right]\\ &=\left[\dfrac{\frac{37\pi}{4}}{2\pi}\right]\\ &=\left[\dfrac{37}{8}\right]\\&=[4{,}625]\\&=4\end{align}||

3. Additionner le nombre de rotations ||\begin{align}t&=t'+N\times2\pi\\&=\dfrac{7\pi}{4}+4\times2\pi\\ &=\dfrac{7\pi}{4}+8\pi\\ &=\dfrac{39\pi}{4}\end{align}||Dans l’intervalle |[9\pi,11\pi],| c’est le point |P\left(\dfrac{39\pi}{4}\right)| qui possède les coordonnées |\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).|

Déterminer la valeur de l'angle |t| en radians si |P(t)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)| et si |t \in [-6\pi,-4\pi].|

1. Localisation du point sur le cercle trigonométrique
   Entre |0| et |2\pi,| l’angle au centre correspondant au point de coordonnées |\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)| est de |\dfrac{\pi}{6}.| On notera ce point |t'.|

2. Calcul du nombre de rotations ||\begin{align}N&=\left[\dfrac{b-t'}{2\pi}\right]\\ &=\left[\dfrac{-4\pi-\frac{\pi}{6}}{2\pi} \right]\\ &=\left[\dfrac{\frac{-25\pi}{6}}{2\pi}\right]\\ &=\left[\dfrac{-25}{12} \right]\\&=[-2{,}083...]\\&=-3\end{align}||

3. Additionner le nombre de rotations ||\begin{align}t&=t'+N\times2\pi\\&=\dfrac{\pi}{6}+-3\times2\pi\\ &=\dfrac{\pi}{6}-6\pi\\&=\dfrac{-35\pi}{6}\end{align}||Dans l’intervalle |[-6\pi,-4\pi],| c’est le point |P\left(\dfrac{-35\pi}{6}\right)| qui possède les coordonnées |\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right).|