Les fonctions périodiques

On appelle cycle d'une fonction la partie d'un graphique qui correspond à la plus petite portion d'un motif qui se répète.

On appelle période l'écart entre deux abscisses situées aux extrémités d'un même cycle.
 

1. Trouver le cycle et déterminer la période.

2. Utiliser la période pour rapporter le point donné au cycle connu.

3. Trouver l'équation de la droite associée au point donné (si nécessaire)

4. Déterminer la coordonnée manquante.

Lors d'une course en vélo de montagne, les participants doivent effectuer la même boucle à plusieurs reprises. Voici un graphique qui illustre la hauteur en altitude (en mètres) par rapport au temps écoulé depuis le départ d'un des compétiteurs.

À l'aide de ces données, détermine l'altitude de ce cycliste à la 54^e minute, puis à la 84^e minute.

Solution pour la 54^e minute :

1) Trouver le cycle et déterminer la période.
Pour y arriver, le tout passe par l'analyse du graphique. En d'autres mots, il s'agit de trouver la portion de celui-ci qui se répète.

En analysant attentivement le graphique, on en déduit que le cycle commence à la coordonnée |(0,50)| et se termine à |(17,50)|. Ainsi, il y a un écart de 17 minutes entre ces deux coordonnées |(17 - 0 = 17)|.

2) Utiliser la période pour rapporter le point donné au cycle connu.
Par définition de la période, on peut rapporter le point situé à 54 minutes sur le cycle identifié à l'étape précédente. En soustrayant la période à plusieurs reprises, on obtient :
 ||\begin{align}
\text{Nombre de périodes complètes}\ & = \ \ 54 \div 17 \\
& \approx \ \ 3{,}18 \\
& \approx \ \ 3 \end{align}||
Ainsi, on en déduit que l'on doit « reculer » de 3 périodes, soit de |3 \times 17 = 51| minutes. Au final, |54 - 51 = 3| minutes.

3) Trouver l'équation de la droite associée au point donné (si nécessaire).
Comme nous avons «atterri» directement sur un point remarquable du premier cycle, nous n'avons pas besoin de trouver l'équation de la droite. 

4) Déterminer la coordonnée manquante.
Puisqu'on cherche la valeur en |x = 3|, l'observation du graphique nous donne directement la réponse : |y=80|. Finalement, on peut déduire qu'à la 54^e minute, le cycliste se trouve à une altitude de |80| mètres.


Solution pour la 84^e minute :

1) Trouver le cycle et déterminer la période.
Puisque c'est la même mise en situation, la période est toujours de 17 minutes.

2) Utiliser la période pour rapporter le point donné au cycle connu.
Par définition de la période, on peut rapporter le point situé à 84 minutes sur le cycle identifié à l'étape précédente. En soustrayant la période à plusieurs reprises, on obtient :
 ||\begin{align}
\text{Nombre de périodes complètes} & = \ \ 84  \div 17 \\
& \approx \ \ 4{,}94 \\
& \approx \ \ 4 \end{align}||
Ainsi, on en déduit que l'on doit « reculer » de 4 périodes, soit de |4 \times 17 = 68| minutes. Au final, |84 - 68 = 16| minutes.

3) Trouver l'équation de la droite associée au point donné.
Puisque cette section est représentée par une droite, on peut trouver son équation sous la forme |y=ax+b| en utilisant les points remarquables |(10,15)| et |(17,50)|.
||\begin{align} a & =\ \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & =\ \frac{50 - 15}{17 - 10} \\ & =\ 5 \\ \\ \Rightarrow\ \  y  & =  5x + b \\ 15 & =  5 (10) + b \\ 15 & =  50 + b \\ -35 & =  b \\ \\ \Rightarrow\ \  y & =  5x - 35 \end{align}||
4) Déterminer la coordonnée manquante.
Puisqu'on cherche la valeur en |x = 16|, on peut utiliser l'équation de la droite trouvée à l'étape précédente pour déterminer la valeur en |y:| ||\begin{align} y\ \  & =\ \   5x - 35 \\ \Rightarrow \ \ y\ \  & =\ \   5 (16) - 35 \\ & =\ \   80 - 35 \\ & =\ \   45 \end{align}||Finalement, on peut déduire qu'à la 84^e minute, le cycliste se trouve à une altitude de |45| mètres.