Quand on écrit un nombre, chaque chiffre possède une place ou une position bien précise qui est reliée à une valeur. On appelle cette valeur la valeur de position. Comme on écrit les nombres en base |10,| chaque valeur associée aux positions est, en fait, une puissance de |10.|
Pour bien comprendre les positions et les valeurs des nombres naturels et entiers, voici un tableau représentant les principales valeurs associées à la position des chiffres.
| Nom de la position | Valeur | Ordre de grandeur |
|---|---|---|
| Centaine de milliard | |100\ 000\ 000\ 000| | Ordre des milliards |
| Dizaine de milliard | |10\ 000\ 000\ 000| | |
| Unité de milliard | |1\ 000\ 000\ 000| | |
| Centaine de million | |100\ 000\ 000| | Ordre des millions |
| Dizaine de million | |10\ 000\ 000| | |
| Unité de million | |1\ 000\ 000| | |
| Centaine de mille | |100\ 000| | Ordre des milliers |
| Dizaine de mille | |10\ 000| | |
| Unité de mille | |1\ 000| | |
| Centaine | |100| | Ordre des unités |
| Dizaine | |10| | |
| Unité | |1| |
Voici maintenant un exemple. Le tableau ci-dessous décrit les différentes positions et valeurs de position dans le nombre naturel suivant.||42\:567\:123||
| Chiffre | |4| | |2| | |5| | |6| | |7| | |1| | |2| | |3| |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Position | Dizaine de million | Unité de million | Centaine de mille | Dizaine de mille | Unité de mille | Centaine | Dizaine | Unité |
| Valeur de position | ||4 \times 10\:000\:000 \\ =\\ 40\:000\:000|| | ||2 \times 1\:000\:000 \\ =\\ 2\:000\:000|| | ||5 \times 100\:000\\ =\\ 500\:000|| | ||6 \times 10\:000 \\ =\\ 60\:000|| | ||7 \times 1\:000 \\ =\\ 7\:000|| | ||1 \times 100 \\ = \\ 100|| | ||2\times 10 \\ = \\ 20|| | ||3\times 1 \\ = \\ 3|| |
Dans le cas des nombres entiers et naturels, la plus petite valeur de position est toujours l'unité.
Chaque fois qu'on se déplace d’une position (case) vers la gauche, la valeur de position est |10| fois plus grande que la précédente. Donc, on multiplie la valeur de position par |10| à chaque bond vers la gauche.
À l'inverse, chaque déplacement d’une position (case) vers la droite fait en sorte que la valeur de position est |10| fois plus petite que la précédente. Ainsi, on divise la valeur de position par |10| à chaque bond vers la droite.
En appliquant une succession de multiplications par une même quantité, on peut utiliser la notation exponentielle pour simplifier l'écriture.
Dans le nombre |75 \: 489|, la valeur de position du chiffre 7 est : ||7 \times 10 \: 000 = 70 \: 000||
En utilisant la notation exponentielle, on obtient cette écriture équivalente :
||\begin{align} 70 \: 000 &= 7 \times 10 \: 000 \\
&= 7 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \\
&= 7 \times \underbrace{\color{blue}{10 \times 10 \times 10 \times 10}}_{\color{red}{4 \ \text{fois}}} \\
&= 7 \times \color{blue}{10}^\color{red}{4} \end{align}||
Ainsi, on peut utiliser la notation exponentielle pour n'importe quelle valeur de position.
Les positions et les valeurs dans les nombres décimaux sont très similaires à ceux des nombres entiers. La seule différence est l'ajout de positions à droite d'une virgule. La virgule vient ainsi séparer la partie entière et la partie décimale.
Le tableau suivant représente les principales valeurs associées aux positions des chiffres dans les nombres décimaux.
| Nom de la position | Valeur | Ordre de grandeur |
|---|---|---|
| Centaine de milliard | |100\ 000\ 000\ 000| | Ordre des milliards |
| Dizaine de milliard | |10\ 000\ 000\ 000| | |
| Unité de milliard | |1\ 000\ 000\ 000| | |
| Centaine de million | |100\ 000\ 000| | Ordre des millions |
| Dizaine de million | |10\ 000\ 000| | |
| Unité de million | |1\ 000\ 000| | |
| Centaine de mille | |100\ 000| | Ordre des milliers |
| Dizaine de mille | |10\ 000| | |
| Unité de mille | |1\ 000| | |
| Centaine | |100| | Ordre des unités |
| Dizaine | |10| | |
| Unité | |1| | |
| Virgule | |\Large ,| | Séparateur |
| Dixièmes | |0{,}1| ou |\dfrac{1}{10}| | Pour la partie décimale, chaque position correspond à un ordre. Ex. : ordre des dixièmes, ordre des centièmes, etc. |
| Centièmes | |0{,}01| ou |\dfrac{1}{100}| | |
| Millièmes | |0{,}001| ou |\dfrac{1}{1\,000}| | |
| Dix-millièmes | |0{,}000\,1| ou |\dfrac{1}{10\,000}| | |
| Cent-millièmes | |0{,}000\,01| ou |\dfrac{1}{100\,000}| | |
| Millionièmes | |0{,}000\,001| ou |\dfrac{1}{1\,000\,000}| |
Voici maintenant un exemple. Le tableau ci-dessous décrit les différentes positions et valeurs de position dans le nombre décimal suivant : ||54\:782,913||
| Chiffre | |5| | |4| | |7| | |8| | |2| | |\Large ,| | |9| | |1| | |3| |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Position | Dizaine de mille | Unité de mille | Centaine | Dizaine | Unité | Dixième | Centième | Millième | |
| Valeur de position | |\small 5 \times 10\:000 \\ \small = \\ \small 50\:000| | |\small 4\times 1\:000 \\ \small = \\ \small 4 \: 000| | |\small 7\times 100 \\ \small = \\ \small 700| | |\small 8\times 10 \\ \small = \\ \small 80| | |\small 2\times 1 \\ \small = \\ \small 2| | |\small 9\times 0{,}1 \\ \small = \\ \small 0{,}9| | |\small 1\times 0{,}01 \\ \small = \\ \small 0{,}01| | |\small 3\times 0{,}001 \\ \small = \\ \small 0{,}003| |
Comme il a été présenté au début de la section, chaque valeur de position décimale peut être associée à une fraction décimale.
Pour la position des centièmes, par exemple, la valeur associée correspond à un centième. ||0{,}01=\dfrac{1}{100}||
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/REC-html40/loose.dtd">
<html><body><p>Tout comme les nombres entiers et naturels, on peut également utiliser <a href="/fr/eleves/bv/mathematiques/l-exponentiation-m1497">la notation exponentielle</a> pour simplifier l'écriture de la valeur des positions de la portion décimale.</p>
</body></html>
Dans le nombre |75{,}489,| la valeur de position du chiffre |9| est : ||9 \times 0{,}001 = 0{,}009||
En utilisant la notation exponentielle, on obtient cette écriture équivalente : ||\begin{align} 0{,}009 &= 9 \times 0{,}001 \\
&=9 \times \frac{1}{1\:000} \\
&= 9 \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10}\\
&= 9 \times \underbrace{\color{blue}{\frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10}}}_{\color{red}{3 \ \text{fois}}} \\
&= 9 \times \frac{\color{blue}{1}}{\color{blue}{10}^\color{red}{3}} \\
&= 9 \times \color{blue}{10}^\color{red}{\text{-}3}\end{align}||
Ainsi, on peut utiliser la notation exponentielle pour n'importe quelle valeur de position.