Tout comme les autres opérations, l'exponentiation peut être utilisée avec des nombres de différentes natures. Par contre, la nature de ces nombres a une influence sur les propriétés de la notation exponentielle en question.
Avant de calculer les puissances des différentes notations exponentielles, il est important de maitriser sa définition ainsi que le sens de ses composantes.
||a^n = \underbrace{a \times a \times a \times ... \times a}_{n \ \text{fois}}||
La valeur de l'exposant représente le nombre de fois que la base est présente dans sa décomposition multiplicative.
||\begin{align} 6^4 &= \underbrace{6 \times 6 \times 6 \times 6}_{4 \ \text{fois}} \\ &=1296 \end{align}||
Par contre, il existe deux valeurs d'exposants qui possèdent des caractéristiques plus particulières.
Exposant 0
Toute base affectée d'un exposant |0| vaut |1.|
|
||2^0=1|| |
||\left(\dfrac{1}{5}\right)^0=1|| |
||a^0=1|| |
Exposant 1
Toute base affectée d'un exposant |1| reste inchangée.
|
||2^1=2|| |
||\left(\frac{1}{5}\right)^1 =\frac{1}{5}|| |
||a^1=a|| |
Lorsqu'on maitrise le concept de l'exponentiation, on se rend compte qu'une telle notation peut avoir un impact différent selon l'ensemble de nombres avec lequel on travaille. Dans le cas des nombres réels, on utilise généralement deux formes d'écriture pour les représenter : la notation décimale et la notation fractionnaire. De plus, cette notation peut être utile lorsqu'on travaille avec les nombres carrés et cubiques et lorsqu'on utilise les lois des exposants.
||a^n = \underbrace{a \times a \times a \times ... \times a}_{n \ \text{fois}}|| ||\text{où }\ a \in \mathbb{R}\quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||
Ainsi, l'exposant fait référence au nombre de fois que l'on doit multiplier la base par elle-même.
Exemple 1
Quelle est la puissance de |7^5|? ||\begin{align} \color{red}{7}^\color{blue}{5} &= \underbrace{\color{red}{7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7}}_{\color{blue}{5 \ \text{fois}}}\\\\ &=16 \ 807 \end{align}||
Exemple 2
Quelle est la puissance de |\text{-}1{,}5^4|? ||\begin{align} \text{-}\color{red}{1{,}5}^\color{blue}{4}&= \text{-}(\color{red}{1{,}5})^4 \\ &= \text{-}(\underbrace{\color{red}{1{,}5 \times 1{,}5 \times 1{,}5\times 1{,}5}}_{\color{blue}{4 \ \text{fois}}})\\ &=\text{-}(5{,}062 \ 5) \\ &= \text{-} 5{,}062 \ 5\end{align}||
Exemple 3
Quelle est la puissance de |(\text{-}1{,}5)^4|? ||\begin{align} (\color{red}{\text{-}1{,}5})^\color{blue}{4} &= \underbrace{\color{red}{(\text{-}1{,}5) \times (\text{-}1{,}5) \times (\text{-}1{,}5) \times (\text{-}1{,}5)}}_{\color{blue}{4 \ \text{fois}}}\\ &=5{,}062 \ 5\end{align}||
Dans l'encadré ci-haut, on remarque que la base de l'exemple 2 est |1{,}5| alors que celle de l'exemple 3 est |\text{-}1{,}5|. On remarque que le résultat est sensiblement le même; seul le signe change. Pour bien faire la différence entre ces deux exemples, il est important de se fier aux parenthèses et au nombre de fois où la base est multipliée par elle-même. L'astuce ci-dessous permet ainsi d'anticiper le signe d'une puissance.
Lorsqu'une base est négative
Exemple : |(\text{-}9)^n|
-
Lorsque l'exposant |n| est un nombre pair, il y a donc un nombre pair de multiplication de nombres négatifs. Ainsi, la puissance sera positive.
-
Lorsque l'exposant |n| est un nombre impair, il y a donc un nombre impair de multiplication de nombres négatifs. Ainsi, la puissance sera négative.
Lorsqu'une base est positive
Exemple : |\text{-}(\text{9}^n)|
-
Peu importe la parité de l'exposant, la réponse sera négative.
De plus, on peut remarquer qu'avec la notation décimale, la multiplication fait en sorte que la réponse finale possède généralement plus de décimales que la base de la notation exponentielle de départ. Pour éviter de perdre de la précision, il est préférable, lorsque possible, de transformer la notation décimale en notation fractionnaire pour ensuite effectuer les calculs nécessaires.
Par ailleurs, la notation exponentielle peut également être utilisée avec les expressions algébriques.
L'exponentiation d'expressions algébriques implique les notions d'algèbre et d'exponentiation. Ainsi, lorsqu'on effectue une addition ou une soustraction dans une telle notation, il est encore plus important de s'en remettre à la définition même de l'exponentiation : ||\begin{align} \color{red}{(x-3)}^\color{blue}{2} &= \underbrace{\color{red}{(x-3) \times (x-3)}}_{\color{blue}{2 \ \text{fois}}}&&\text{développement selon la définition}\\\\ &= x^2-3x - 3x + 9&& \text{double distributivité}\\ &=x^2-6x+9 &&\text{regroupement des termes semblables}\end{align}||
Peu importe la nature de la base, l'exposant négatif aura toujours le même impact sur cette dernière : il faudra déterminer son inverse. Par la suite, il suffit de porter une attention particulière au signe de la base et au nombre de fois qu'elle est multipliée par elle-même.
Nombre naturel en écriture fractionnaire || a = \frac{a}{1}|| ||\text{où}\ a \in \mathbb{N}^*||
Définition ||\begin{align} a^{\text{-}n} &= \left(\frac{a}{1}\right)^{\text{-}n}\\\\ &= \left(\frac{1}{a}\right)^n\end{align}|| ||\text{où }\ a \in \mathbb{R}^* \quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||
Dans le cas où la base est un nombre réel à notation décimale, il faudra faire attention pour respecter les conventions d'écriture d'une fraction.
Exemple 1
Quelle est la puissance de |3^{\text{-}3}|?
\begin{align} \color{red}{3}^\color{blue}{\text{-}3} &=\left(\frac{1}{\color{red}{3}}\right)^{\color{blue}{3}} && \text{définition de l'exposant négatif} \\\\ &= \underbrace{\frac{1}{\color{red}{3}} \times \frac{1}{\color{red}{3}}\times \frac{1}{\color{red}{3}}}_{\color{blue}{3 \ \text{fois}}}&& \text{définition de l'exponentiation}\\\\ &=\frac{1}{3 \times 3 \times 3}\\\\ &= \frac{1}{27}\end{align}
Exemple 2
Quelle est la puissance de |(\text{-}5)^{\text{-}4}|?
\begin{align} (\color{red}{\text{-}5})^\color{blue}{\text{-}4} &=\left(\frac{1}{\color{red}{\text{-}5}}\right)^{\color{blue}{4}} && \text{définition de l'exposant négatif} \\\\ &= \underbrace{\frac{1}{\color{red}{\text{-}5}} \times \frac{1}{\color{red}{\text{-}5}}\times \frac{1}{\color{red}{\text{-}5}} \times \frac{1}{\color{red}{\text{-}5}}}_{\color{blue}{4 \ \text{fois}}}&& \text{définition de l'exponentiation}\\\\ &=\frac{1}{\text{-}5 \times \text{-}5 \times \text{-}5 \times \text{-}5}\\\\ &= \frac{1}{625}\end{align}
Exemple 3
Quelle est la puissance de |0{,}3^{\text{-}3}|?
\begin{align}\color{red}{0{,}3}^\color{blue}{\text{-}3} &=\left(\frac{1}{\color{red}{0{,}3}}\right)^{\color{blue}{3}} && \text{définition de l'exposant négatif} \\\\ &=\left(\frac{10}{\color{red}{3}}\right)^{\color{blue}{3}} && \text{convention d'écriture d'une fraction}\\\\ &=\underbrace{\left(\frac{10}{\color{red}{3}} \times \frac{10}{\color{red}{3}}\times \frac{10}{\color{red}{3}}\right)}_{\color{blue}{3 \ \text{fois}}}&& \text{définition de l'exponentiation}\\\\ &=\left(\frac{10 \times 10 \times 10}{3 \times 3 \times 3}\right)\\\\ &=\frac{1\ 000}{27}\end{align}
Exemple 4
Quelle est la puissance de |\text{-}(1{,}5)^{\text{-}4}|?
\begin{align} \text{-}(\color{red}{1{,}5})^\color{blue}{\text{-}4} &=\text{-}\left(\frac{1}{\color{red}{1{,}5}}\right)^{\color{blue}{4}} && \text{définition de l'exposant négatif} \\\\ &=\text{-}\left(\frac{10}{\color{red}{15}}\right)^{\color{blue}{4}} && \text{convention d'écriture d'une fraction}\\\\ &=\text{-}\ \underbrace{\left(\frac{10}{\color{red}{15}} \times \frac{10}{\color{red}{15}}\times \frac{10}{\color{red}{15}} \times \frac{10}{\color{red}{15}}\right)}_{\color{blue}{4 \ \text{fois}}}&& \text{définition de l'exponentiation}\\\\ &=\text{-}\left(\frac{10\times 10 \times 10 \times 10}{15 \times 15 \times 15 \times 15}\right)\\\\ &=\text{-}\frac{10 \ 000}{50\ 625}\\\\ &=\text{-}\frac{16}{81} &&\text{réduction d'une fraction} \end{align}
Pour bien comprendre la raison pour laquelle on doit inverser la valeur de la base lorsqu'elle est affectée par un exposant négatif, on peut se fier à la démarche suivante :
Chaque fois que l'exposant diminue de |1,| on doit diviser le résultat par la valeur de la base, soit |4.| Ainsi, lorsqu'on passe de |0| à |-1.| on doit diviser |1| par |4| ce qui donne |\dfrac{1}{4}.|
En mettant cette puissance en relation avec la valeur de la base, on peut déduire que |4| et |\dfrac{1}{4}| sont l'inverse l'un de l'autre.
En ce qui concerne l'écriture en notation exponentielle, il existe une notation plus particulière lorsque la base |10| est utilisée.
Plus précisément, l'écriture en base |10| d'un nombre fait référence à son écriture en notation scientifique.
Dans cette section, l'exponentiation à l'aide d'un nombre fractionnaire se transformera en écriture à l'aide d'une racine.
||a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}|| ||\text{où }\ a \in \mathbb{R},\quad m \in \mathbb{Z}\quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||
Bien entendu, on peut avoir un exposant qui possède plus d'une caractéristique.
Exemple 1
Quelle est la puissance de |16^{\frac{1}{2}}| ? ||\begin{align} \color{red}{16}^{\frac{\color{magenta}{1}}{\color{blue}{2}}} &=\sqrt[\color{blue}{2}]{\color{red}{16}^\color{magenta}{1}} && \text{définition de l'exposant fractionnaire} \\ &= \sqrt{16} && \\ &= \pm 4\end{align}||
Exemple 2
Quelle est la puissance de |(\text{-}16)^{\frac{1}{2}}| ? ||\begin{align} (\color{red}{\text{-}16})^{\frac{\color{magenta}{1}}{\color{blue}{2}}} &=\sqrt[\color{blue}{2}]{\color{red}{(\text{-}16})^\color{magenta}{1}} && \text{définition de l'exposant fractonnaire} \\ &= \sqrt{\text{-}16} && \\ &= \emptyset \end{align}||
Exemple 3
Quelle est la puissance de |8^{\frac{\text{-}2}{3}}| ? ||\begin{align} \color{red}{8}^{\frac{\color{magenta}{\text{-}2}}{\color{blue}{3}}} &= \left(\frac{1}{\color{red}{8}}\right)^{\frac{\color{magenta}{2}}{\color{blue}{3}}}&& \text{définition de l'exposant négatif}\\\\ &=\sqrt[\color{blue}{3}]{\left(\frac{1}{\color{red}{8}}\right)^\color{magenta}{2}} && \text{définition de l'exposant fractionnaire} \\\\ &=\sqrt[\color{blue}{3}]{\frac{1}{8}\times \frac{1}{8}} && \text{définition de l'exposant 2} \\\\
&= \sqrt[3]{\frac{1}{64}} && \\\\ &= \frac{1}{4}\end{align}||
Exemple 4
Quelle est la puissance de |\text{-}3{,}28^{\frac{2}{3}}| ? ||\begin{align} \text{-}\color{red}{3{,}28}^{\frac{\color{magenta}{2}}{\color{blue}{3}}} &= \text{-}\sqrt[\color{blue}{3}]{\color{red}{3{,}28}^\color{magenta}{2}} && \text{définition de l'exposant fractionnaire} \\\\ &=\text{-}\sqrt[\color{blue}{3}]{3{,}28\times 3{,}28} && \text{définition de l'exposant 2} \\\\ &\approx \text{-}\sqrt[3]{10{,}758} && \\\\ &\approx\text{-} 2{,}21\end{align}||
Comme le présente l'exemple 2, il existe des nombres qui font partie des |\mathbb{Z}| pour lesquels il est impossible de calculer la racine.
Par définition de la racine carrée, la réponse obtenue, lorsqu'elle existe, peut être positive ou négative.
|\sqrt{25}| veut dire « quel nombre qui, multiplié par lui-même, va donner |25|? »
Ainsi, on obtient deux résultats : ||\begin{align}5 \times 5 &= 25\\\\ \text{ou}\\\\ (\text{-}5) \times (\text{-}5) &= 25\end{align}||Alors, ||\sqrt{25}= \pm 5||
Par contre, lorsqu'on travaille avec un contexte, on néglige souvent la réponse négative puisqu'on ne peut l'utiliser pour définir une longueur ou un temps par exemple.
Le seul inconvénient pour les calculs d'exposants fractionnaires avec des nombres décimaux est la perte de précision. Pour l'éviter, on peut d'abord passer de la notation décimale à la notation fractionnaire pour ensuite faire les calculs appropriés. Pour ce faire, on peut se baser sur la section suivante.
||\begin{align}\left(\frac{a}{b}\right)^n &= \underbrace{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times ... \times \frac{a}{b}}_{n \ \text{fois}}\\ &= \frac{a^n}{b^n}\end{align}|| ||\text{où }\ {a,\ b} \in \mathbb{R}^* \quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||
Par ailleurs, les parenthèses ont également leur importance dans la notation exponentielle dont la base est sous forme fractionnaire.
|\dfrac{a}{b}^n = \dfrac{(a^n)}{b}\quad| alors que |\quad\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}|
En utilisant les définitions et les propriétés des exposants, l'exponentiation d'une fraction est en fait la division de deux notations exponentielles puisqu'on peut distribuer l'exposant sur chacun des éléments de la fraction.
Exemple 1
Quelle est la puissance de |\left(\dfrac{2}{3}\right)^3| ? ||\begin{align} \left(\color{red}{\frac{2}{3}}\right)^\color{blue}{3} &= \frac{2^3}{3^3}\\\\ &= \frac{8}{27}\end{align}||
Exemple 2
Quelle est la puissance de |\text{-}\left(\dfrac{5}{4}\right)^4| ? ||\begin{align} \text{-}\left(\color{red}{\frac{5}{4}}\right)^\color{blue}{4} &= \text{-}\left(\frac{5^4}{4^4}\right)\\\\&=\text{-}\left(\frac{625}{256}\right) \\\\ &=\text{-} \frac{625}{256}\end{align}||
Exemple 3
Quelle est la puissance de |\left(\text{-}\dfrac{\sqrt{2}}{3}\right)^2| ? ||\begin{align} \left(\color{red}{\text{-}\frac{\sqrt{2}}{3}}\right)^\color{blue}{2} &=\frac{(\text{-}\sqrt{2})^2}{3^2}\\\\&=\frac{2}{9}\end{align}||
||\begin{align}\left(\frac{\color{red}{a}}{\color{magenta}{b}}\right)^{\text{-}n} &= \left(\frac{\color{magenta}{b}}{\color{red}{a}}\right)^n\\\\ &= \frac{\color{magenta}{b}^n}{\color{red}{a}^n}\end{align}|| ||\text{où }\ {\color{red}{a},\color{magenta}{b}} \in \mathbb{R}^* \quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||
Une fois de plus, les définitions et les propriétés des exposants allègent la démarche et les calculs.
Exemple 1
Quelle est la puissance de |\text{-}\left(\dfrac{\color{red}{6}}{\color{magenta}{5}}\right)^{\text{-}2}|? ||\begin{align} \text{-}\left(\frac{\color{red}{6}}{\color{magenta}{5}}\right)^\color{blue}{\text{-}2} &=\text{-}\left(\frac{\color{magenta}{5}}{\color{red}{6}}\right)^{\color{blue}{2}} && \text{définition de l'exposant négatif} \\\\ &=\text{-}\left(\frac{\color{magenta}{5}^\color{blue}{2}}{\color{red}{6}^\color{blue}{2}}\right)&&\text{définition de l'exponentiation}\\\\ &= \text{-}\left(\frac{25}{36}\right) \\\\ &= \frac{\text{-}25}{36}\end{align}||
Exemple 2
Quelle est la puissance de |\left(\text{-}\dfrac{\color{red}{3}}{\color{magenta}{7}}\right)^{\text{-}3}|? ||\begin{align} \left(\text{-}\frac{\color{red}{3}}{\color{magenta}{7}}\right)^\color{blue}{\text{-}3} &=\left(\text{-}\frac{\color{magenta}{7}}{\color{red}{3}}\right)^{\color{blue}{3}} && \text{définition de l'exposant négatif} \\\\ &=\frac{(\text{-}\color{magenta}{7})^\color{blue}{3}}{\color{red}{3}^\color{blue}{3}}&&\text{définition de l'exponentiation}\\\\ &= \frac{\text{-}343}{27}\end{align}||
||\begin{align}\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{m}{n}} &= \sqrt[n]{\left(\frac{a}{b}\right)^m}\\\\ &= \frac{\sqrt[n]{a^m}}{\sqrt[n]{b^m}}\end{align}|| ||\text{où }\ {a,\ b}\in \mathbb{R}^*,\quad m \in \mathbb{Z}\quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||
Exemple 1
Quelle est la puissance de |\left(\text{-}\dfrac{1}{27}\right)^{\frac{1}{3}}|? ||\begin{align} \left( \color{red}{\text{-}\frac{1}{27}}\right)^{\frac{\color{magenta}{1}}{\color{blue}{3}}} &=\sqrt[\color{blue}{3}]{\color{red}{\left(\text{-}\frac{1}{27}\right)}^\color{magenta}{1}} && \text{définition de l'exposant fractionnaire} \\\\ &= \frac{\sqrt[\color{blue}{3}]{(\text{-}1)^\color{magenta}{1}}}{\sqrt[\color{blue}{3}]{27^\color{magenta}{1}}} && \text{propriétés des racines}\\\\ &= \frac{\text{-}1}{3} \end{align}||
Pour valider ta compréhension à propos de l'exponentiation et des lois des exposants de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante :
