Cette MiniRécup porte sur les problèmes d’optimisation. Ses vidéos interactives, son résumé et son exercice récapitulatif te permettront de faire une courte révision à ce sujet.
Avant de regarder les vidéos de cette MiniRécup, assure-toi de savoir comment faire la traduction d’un énoncé en une inéquation. Tu dois aussi être capable de représenter des inéquations dans un plan cartésien et de connaitre les concepts de droite frontière et de polygone de contraintes. Il faut aussi que tu maitrises la résolution algébrique d’une inéquation et la résolution d’un système d’équations. Ces différentes notions te seront essentielles dans les problèmes d’optimisation.
Voici les étapes à suivre pour résoudre un problème d’optimisation.
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Identifier les variables.
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Traduire les contraintes par un système d’inéquations.
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Établir la règle de la fonction à optimiser |(z).|
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Tracer le polygone de contraintes.
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Déterminer les sommets du polygone de contraintes.
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Trouver le sommet optimal (avec un tableau ou une droite baladeuse).
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Donner une réponse complète.
Pour traduire une contrainte en une inéquation, il faut bien interpréter les mots-clés qui représentent des inégalités.
| Symbole | Mots-clés |
|---|---|
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|x<y| |
|x| est plus petit que |y,| |x| est inférieur à |y,| |x| vaut (strictement) moins que |y,| etc. |
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|x\leq y| |
|x| est plus petit ou égal à |y,| |x| est inférieur ou égal à |y,| |x| ne doit pas dépasser |y,| |x| est au maximum égal à |y,| |x| vaut au plus autant que |y,| etc. |
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|x>y| |
|x| est plus grand que |y,| |x| est supérieur à |y,| |x| doit dépasser |y,| |x| vaut (strictement) plus que |y,| etc. |
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|x\geq y| |
|x| est plus grand ou égal à |y,| |x| est supérieur ou égal à |y,| |x| est au minimum égal à |y,| |x| vaut au moins autant que |y,| etc. |
Trucs et conseils
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Chaque contrainte donne une seule droite frontière.
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Il est préférable de toujours poser les contraintes de positivité, même si parfois elles ne sont pas nécessaires.
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Si le signe d’inégalité d’une contrainte est |<| ou |>,| alors la droite frontière est une ligne pointillée.
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Pour représenter les ensembles-solutions des inéquations, tu peux utiliser des flèches.
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S’il est impossible de déterminer avec précision les coordonnées des sommets du polygone de contraintes à partir du graphique, il faut les calculer à l’aide de la comparaison, de la substitution ou de la réduction.
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La solution optimale correspond toujours à l’un des sommets du polygone de contraintes sauf si le sommet est sur une ligne pointillée ou si les variables doivent être des nombres entiers, mais que le sommet n’a pas des coordonnées entières.
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Lorsque tu établis la règle de la fonction à optimiser, tu dois préciser s’il faut minimiser ou maximiser |z.|
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Lorsque tu donnes la réponse finale, tu dois composer une phrase complète qui tient compte du contexte. Dans cette réponse, on retrouve les valeurs de |x| et |y| qui optimisent la fonction et la valeur maximale ou minimale obtenue pour la variable |z.|