Cette mesure de dispersion donne une bonne idée de la dispersion de chacune des données en prenant la moyenne comme point de référence.
L’écart moyen, habituellement noté |EM,| est la moyenne des écarts à la moyenne des valeurs de la distribution.
Ainsi, plus l’écart moyen est grand, plus les données sont éloignées de la moyenne. Inversement, plus l’écart moyen est petit, plus les données sont concentrées autour de la moyenne.
Le calcul de l’écart moyen comporte plusieurs étapes qui sont résumées par la formule suivante.
|EM= \dfrac{\sum|x_{i}-\overline{x}|}{n}|
où
|\overline{x} :| moyenne de l’échantillon
|n :| taille de l’échantillon ou de la population
|\sum| signifie qu’il faut effectuer des sommes successives de plusieurs éléments.
|x_i| représente la |i^\text{e}| valeur de la distribution.
Remarques :
On utilise le symbole |\mu| au lieu de |\overline{x}| pour la moyenne d'une population.
Un écart doit toujours être positif. C'est pourquoi on utilise la valeur absolue.
Voici les étapes à suivre pour utiliser adéquatement la formule précédente.
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Déterminer la taille de la distribution.
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Calculer la moyenne de la distribution.
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Calculer l’écart à la moyenne de chaque donnée.
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Calculer l’écart moyen.
Voici les températures en degrés Celsius, placées en ordre croissant, enregistrées chaque heure durant une journée.
|-5,| |-4,| |-4,| |-3,| |-3,| |-2,| |-1,| |0,| |0,| |1,| |2,| |3,| |3,| |4,| |4,| |6,| |7,| |8,| |9,| |10,| |10,| |11,| |11,| |12|
Détermine l’écart moyen de cette distribution.
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Déterminer la taille de la distribution
Puisqu'il y a |24| heures dans une journée, cette distribution contient |24| données |(n=24).| -
Calculer la moyenne de la distribution
On calcule la moyenne arithmétique de toutes les données.||\begin{align}\overline{x}&=\dfrac{\left(\begin{alignat}{40}&-5&&-4&&-4&&-\ 3&&-\ 3&&-\ 2&&-\ 1&&+\ 0\\&+0&&+1&&+2&&+\ 3&&+\ 3&&+\ 4&&+\ 4&&+\ 6\\&+7&&+8&&+9&&+10&&+10&&+11&&+11&&+12\ \ \end{alignat}\right)}{24}\\&\approx3{,}29\end{align}|| -
Calculer l’écart à la moyenne de chaque donnée
On calcule les écarts à la moyenne de chaque donnée.
| Donnée |x_i| |
Écart à la moyenne |\vert x_{i}-\overline{x}\vert| |
Donnée |x_i| |
Écart à la moyenne |\vert x_{i}-\overline{x}\vert| |
|---|---|---|---|
| |-5| | |\vert -5-3{,}29\vert=8{,}29| | |3| | |\vert 3-3{,}29\vert=0{,}29| |
| |-4| | |\vert -4-3{,}29\vert=7{,}29| | |4| | |\vert 4-3{,}29\vert=0{,}71| |
| |-4| | |\vert -4-3{,}29\vert=7{,}29| | |4| | |\vert 4-3{,}29\vert=0{,}71| |
| |-3| | |\vert -3-3{,}29\vert=6{,}29| | |6| | |\vert 6-3{,}29\vert=2{,}71| |
| |-3| | |\vert -3-3{,}29\vert=6{,}29| | |7| | |\vert 7-3{,}29\vert=3{,}71| |
| |-2| | |\vert -2-3{,}29\vert=5{,}29| | |8| | |\vert 8-3{,}29\vert=4{,}71| |
| |-1| | |\vert -1-3{,}29\vert=4{,}29| | |9| | |\vert 9-3{,}29\vert=5{,}71| |
| |0| | |\vert 0-3{,}29\vert=3{,}29| | |10| | |\vert 10-3{,}29\vert=6{,}71| |
| |0| | |\vert 0-3{,}29\vert=3{,}29| | |10| | |\vert 10-3{,}29\vert=6{,}71| |
| |1| | |\vert 1-3{,}29\vert=2{,}29| | |11| | |\vert 11-3{,}29\vert=7{,}71| |
| |2| | |\vert 2-3{,}29\vert=1{,}29| | |11| | |\vert 11-3{,}29\vert=7{,}71| |
| |3| | |\vert 3-3{,}29\vert=0{,}29| | |12| | |\vert 12-3{,}29\vert=8{,}71| |
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Calculer l’écart moyen
Pour calculer l’écart moyen, il ne reste qu’à faire la somme de tous les écarts et de diviser cette somme par le nombre total de données. Bref, on doit calculer la moyenne des écarts à la moyenne.||\begin{align}EM&= \dfrac{\sum\vert x_{i}-\overline{x}\vert}{n}\\&=\dfrac{\left(\begin{alignat}{40}&\ \ \ \ \ 8{,}29&&+ 7{,}29&&+ 7{,}29&&+ 6{,}29&&+ 6{,}29&&+ 5{,}29&&+ 4{,}29&&+ 3{,}29\\&+3{,}29&&+2{,}29&&+1{,}29&&+ 0{,}29&&+0{,}29&&+0{,}71&&+0{,}71&&+2{,}71\\&+3{,}71&&+4{,}71&&+5{,}71&&+6{,}71&&+6{,}71&&+7{,}71&&+7{,}71&&+8{,}71\ \ \end{alignat}\right)}{24}\\&\approx 4{,}65\end{align}||
Réponse : L'écart moyen de cette distribution est d'environ |4{,}65\ ^\circ \text{C}.|
Lorsqu’on a plus d’une distribution de données, on peut comparer leur écart moyen afin de déterminer laquelle contient des données plus dispersées ou plus concentrées autour de la moyenne.
On compare les résultats, en pourcentage, de |3| élèves à leurs |5| derniers examens de sciences.
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Victor : |95,| |83,| |71,| |91| et |85|
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Éliane : |75,| |65,| |67,| |84| et |89|
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Maxime : |62,| |70,| |54,| |58| et |66|
Quel élève est le plus constant dans ses résultats? Lequel est le moins constant?
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Déterminer la taille des distributions
Les 3 distributions comportent |5| données. -
Calculer la moyenne des distributions
Victor||\begin{align}\overline{x}_V&=\dfrac{95+83+71+91+85}{5}\\&=\dfrac{425}{5}\\&=85\ \%\end{align}||
Éliane||\begin{align}\overline{x}_E&=\dfrac{75+65+67+84+89}{5}\\&=\dfrac{380}{5}\\&=76\ \%\end{align}||
Maxime||\begin{align}\overline{x}_M&=\dfrac{62+70+54+58+66}{5}\\&=\dfrac{310}{5}\\&=62\ \%\end{align}||
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Calculer l’écart à la moyenne de chaque donnée
Victor||\begin{align}\vert95-85\vert&=10\\\vert83-85\vert&=2\\\vert71-85\vert&=14\\\vert91-85\vert&=6\\\vert85-85\vert&=0\end{align}||
Éliane||\begin{align}\vert75-76\vert&=1\\\vert65-76\vert&=11\\\vert67-76\vert&=9\\\vert84-76\vert&=8\\\vert89-76\vert&=13\end{align}||
Maxime||\begin{align}\vert62-62\vert&=0\\\vert70-62\vert&=8\\\vert54-62\vert&=8\\\vert58-62\vert&=4\\\vert66-62\vert&=4\end{align}||
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Calculer l’écart moyen de chaque distribution
Victor||\begin{align}EM_V&= \dfrac{\sum\vert x_{i}-\overline{x}\vert}{n}\\&=\dfrac{10+2+14+6+0}{5}\\&= 6{,}4\end{align}||
Éliane||\begin{align}EM_E&= \dfrac{\sum\vert x_{i}-\overline{x}\vert}{n}\\&=\dfrac{1+11+9+8+13}{5}\\&= 8{,}4\end{align}||
Maxime||\begin{align}EM_M&= \dfrac{\sum\vert x_{i}-\overline{x}\vert}{n}\\&=\dfrac{0+8+8+4+4}{5}\\&= 4{,}8\end{align}||
Réponse : Maxime est l’élève le plus constant, puisque c’est lui qui a l’écart moyen le plus petit |(4{,}8).| Ses notes sont plus concentrées autour de sa moyenne de |62\ \%.| Au contraire, les notes d'Éliane sont les plus dispersées, c’est donc l’élève la moins constante.
Lorsque les données sont représentées différemment, la démarche pour déterminer l’écart moyen est similaire, à l’exception du calcul de la moyenne. En effet, selon le cas, on calcule plutôt la moyenne de données condensées ou la moyenne de données groupées en classes.