Les quartiles

• Dans une distribution de données placées en ordre croissant, les quarts correspondent à |4| sous-groupes de la distribution qui contiennent le même nombre de données.

• Dans une distribution de données placées en ordre croissant, les quartiles correspondent aux |3| valeurs qui séparent la distribution en |4| quarts égaux.

• Le 1^er quartile, noté |\boldsymbol{Q_1},| est la valeur qui sépare le premier quart du reste de la distribution.

• Le 2^e quartile, noté |\boldsymbol{Q_2},| est la valeur qui sépare la distribution en |2| parties égales. Autrement dit, il s'agit de la médiane.

• Le 3^e quartile, noté |\boldsymbol{Q_3},| est la valeur qui sépare le dernier quart du reste de la distribution.

Chaque quart contient environ |25\ \%| des données de la distribution. Ainsi, |25\ \%| des données sont inférieures au 1^er quartile, |50\ \%| des données sont inférieures au 2^e quartile et |75\ \%| des données sont inférieures au 3^e quartile.

1. Placer les données en ordre croissant.

2. Séparer la distribution de données en |4| quarts égaux.

3. Déterminer la valeur des quartiles.

​​​​​Les quartiles ne sont pas nécessairement des valeurs qui font partie de la distribution. En effet, cela dépend du nombre total de données. Il y a |2| cas différents lorsque le nombre de données est pair et |2| cas différents lorsque le nombre de données est impair.

Nombre de données pair

Nombre de données impair

Il faut déterminer la valeur de la médiane |(Q_2)| avant de déterminer celle de |Q_1| et celle de |Q_3.|

Détermine la valeur des |3| quartiles de la distribution suivante.

|4,| |9,| |2,| |5,| |10,| |2,| |7,| |6,| |9,| |1,| |3,| |5,| |6|

1. Placer les données en ordre croissant

|1,| |2,| |2,| |3,| |4,| |5,| |5,| |6,| |6,| |7,| |9,| |9,| |10|

2. Séparer la distribution de données en |\boldsymbol{4}| quarts égaux

Cette distribution est constituée d’un nombre impair de données |(13).| Ainsi, |Q_2| est la donnée au centre de la distribution et la sépare en |2| sous-groupes de |6| données. |Q_1| et |Q_3| sont donc entre des données, de façon à créer |4| quarts qui contiennent |3| données chacun.||\begin{alignat}{20}&&&\!\!\boldsymbol{\color{#ec0000}{\underbrace{Q_2}}}\\1,2,2\ &\color{#3b87cd}{\Big\vert}\ 3,4,5\ &&\color{#ec0000}{\boxed{\boldsymbol{5}}}\ 6,6,7\ &&\color{#7cca51}{\Big\vert}\ 9,9,10\\&\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\overbrace{Q_1}}}&&&&\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#7cca51}{\overbrace{Q_3}}}\end{alignat}||

3. Déterminer la valeur des quartiles

On commence par déterminer la valeur de la médiane |(Q_2),| qui correspond à la 7^e donnée.||\boldsymbol{\color{#ec0000}{Q_2}}=\boldsymbol{\color{#ec0000}{5}}||Ensuite, on calcule le 1^er quartile |(Q_1),| qui correspond à la moyenne des 3^e et 4^e données.||\begin{alignat}{20}1,2,\boldsymbol{2}\ &\color{#3b87cd}{\Big\vert}\ \boldsymbol{3},4,5\ \color{#ec0000}{\boxed{\boldsymbol{5}}}\ 6,6,7\ \color{#7cca51}{\Big\vert}\ 9,9,10\\&\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\overbrace{Q_1}}}\end{alignat}||||\boldsymbol{\color{#3b87cd}{Q_1}}=\dfrac{2+3}{2}=\boldsymbol{\color{#3b87cd}{2{,}5}}||Finalement, on calcule le 3^e quartile |(Q_3),| qui correspond à la moyenne des 10^e et 11^e données.||\begin{alignat}{20}1,2,2\ \color{#3b87cd}{\Big\vert}\ 3,4,5\ \color{#ec0000}{\boxed{\boldsymbol{5}}}\ 6,6,\boldsymbol{7}\ &&&&&\color{#7cca51}{\Big\vert}\ \boldsymbol{9},9,10\\&&&&&\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#7cca51}{\overbrace{Q_3}}}\end{alignat}||||\boldsymbol{\color{#7cca51}{Q_3}}=\dfrac{7+9}{2}=\boldsymbol{\color{#7cca51}{8}}||Réponse : Le 1^er quartile de la distribution est |2{,}5,| le 2^e quartile est |5| et le 3^e quartile est |8.|||\begin{alignat}{20}&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#ec0000}{\underbrace{\phantom{|}Q_2=5\phantom{|}}}}\\1,2,2\ &\color{#3b87cd}{\Big\vert}\ 3,4,5\ &&\color{#ec0000}{\boxed{\boldsymbol{5}}}\ 6,6,7\ &&\color{#7cca51}{\Big\vert}\ 9,9,10\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\overbrace{Q_1=2{,}5}}}&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#7cca51}{\overbrace{\phantom{|}Q_3=8\phantom{|}}}}\end{alignat}||

​​​​Détermine la valeur des |3| quartiles de la distribution suivante.

|60,| |32,| |87,| |98,| |56,| |75,| |35,| |68,| |86,| |90,| |75,| |59,| |61,| |84,| |64,| |48|

1. Placer les données en ordre croissant

|32,| |35,| |48,| |56,| |59,| |60,| |61,| |64,| |68,| |75,| |75,| |84,| |86,| |87,| |90,| |98|

2. Séparer la distribution de données en |\boldsymbol{4}| quarts égaux

Cette distribution est constituée d’un nombre pair de données |(16).| Ainsi, |Q_2| est entre les |2| données au centre de la distribution et la sépare en |2| sous-groupes de |8| données. |Q_1| et |Q_3| sont donc entre des données, de façon à créer |4| quarts qui contiennent |4| données.||\begin{alignat}{20}&&&\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#ec0000}{\underbrace{Q_2}}}\\32,35,48,56\ &\color{#3b87cd}{\Big\vert}\ 59,60,61,64\ &&\color{#ec0000}{\Big\vert}\ 68,75,75,84\ &&\color{#7cca51}{\Big\vert}\ 86,87,90,98\\&\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\overbrace{Q_1}}}&&&&\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#7cca51}{\overbrace{Q_3}}}\end{alignat}||

3. Déterminer la valeur des quartiles

On commence par déterminer la valeur de la médiane |(Q_2),| qui correspond à la moyenne des 8^e et 9^e données.||\begin{alignat}{20}&\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#ec0000}{\underbrace{Q_2}}}\\32,35,48,56\ \color{#3b87cd}{\Big\vert}\ 59,60,61,\boldsymbol{64}\ &\color{#ec0000}{\Big\vert}\ \boldsymbol{68},75,75,84\ \color{#7cca51}{\Big\vert}\ 86,87,90,98\\\phantom{\boldsymbol{\overbrace{Q_1}}}\end{alignat}||||\boldsymbol{\color{#ec0000}{Q_2}}=\dfrac{64+68}{2}=\boldsymbol{\color{#ec0000}{66}}||Ensuite, on calcule le 1^er quartile |(Q_1),| qui correspond à la moyenne des 4^e et 5^e données.||\begin{alignat}{20}32,35,48,\boldsymbol{56}\ &\color{#3b87cd}{\Big\vert}\ \boldsymbol{59},60,61,64\ \color{#ec0000}{\Big\vert}\ 68,75,75,84\ \color{#7cca51}{\Big\vert}\ 86,87,90,98\\&\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\overbrace{Q_1}}}\end{alignat}||||\boldsymbol{\color{#3b87cd}{Q_1}}=\dfrac{56+59}{2}=\boldsymbol{\color{#3b87cd}{57{,}5}}||Finalement, on calcule le 3^e quartile |(Q_3),| qui correspond à la moyenne des 12^e et 13^e données.||\begin{alignat}{20}32,35,48,56\ \color{#3b87cd}{\Big\vert}\ 59,60,61,64\ \color{#ec0000}{\Big\vert}\ 68,75,75,\boldsymbol{84}\ &&&&&\color{#7cca51}{\Big\vert}\ \boldsymbol{86},87,90,98\\&&&&&\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#7cca51}{\overbrace{Q_3}}}\end{alignat}||||\boldsymbol{\color{#7cca51}{Q_3}}=\dfrac{84+86}{2}=\boldsymbol{\color{#7cca51}{85}}||Réponse : Le 1^er quartile de la distribution est |57{,}5,| le 2^e quartile est |66| et le 3^e quartile est |85.|||\begin{alignat}{20}&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#ec0000}{\underbrace{Q_2=66}}}\\32,35,48,56\ &\color{#3b87cd}{\Big\vert}\ 59,60,61,64\ &&\color{#ec0000}{\Big\vert}\ 68,75,75,84\ &&\color{#7cca51}{\Big\vert}\ 86,87,90,98\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\overbrace{Q_1=57{,}5}}}&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#7cca51}{\overbrace{Q_3=85}}}\end{alignat}||

​​​​​Il est possible de convertir des quartiles en centiles et vice versa.

L’étendue interquartile, notée |\boldsymbol{EI},| correspond à l’étendue entre le 1^er quartile |(Q_1)| et le 3^e quartile |(Q_3).|

​​​​​||EI=Q_3-Q_1||

où

|EI:| étendue interquartile
|Q_1:| valeur du 1^er quartile
|Q_3:| valeur du 3^e quartile

​​​​​Détermine l’étendue interquartile de la distribution suivante.||\begin{alignat}{20}&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#ec0000}{\underbrace{Q_2=66}}}\\32,35,48,56\ &\color{#3b87cd}{\Big\vert}\ 59,60,61,64\ &&\color{#ec0000}{\Big\vert}\ 68,75,75,84\ &&\color{#7cca51}{\Big\vert}\ 86,87,90,98\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\overbrace{Q_1=57{,}5}}}&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#7cca51}{\overbrace{Q_3=85}}}\end{alignat}||

Selon la formule, on effectue le calcul suivant.||\begin{align}EI&=Q_3-Q_1\\&=85-57{,}5\\&=27{,}5\end{align}||Autrement dit, |50\ \%| des données qui sont autour de la médiane |(Q_2)| sont regroupées à l’intérieur d’un intervalle de |27{,}5| unités.

L’étendue d’un quart, notée |\boldsymbol{EQ},| correspond à l’étendue entre les valeurs aux extrémités d’un quart d’une distribution de données.

​​​​​||\begin{align}EQ_1&=Q_1-x_\text{min}\\EQ_2&=Q_2-Q_1\\EQ_3&=Q_3-Q_2\\EQ_4&=x_\text{max}-Q_3\end{align}||

où

|EQ:| étendue d’un quart
|x_\text{min}:| valeur minimale de la distribution
|Q_1:| valeur du 1^er quartile
|Q_2:| valeur du 2^e quartile
|Q_3:| valeur du 3^e quartile
|x_\text{max}:| valeur maximale de la distribution

Il faut analyser la distribution pour détecter s’il y a des données éloignées (aberrantes) avant de déterminer |x_\text{min}| et |x_\text{max}.|

​Déterminer l’étendue des quarts de la distribution suivante.||\begin{alignat}{20}&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#ec0000}{\underbrace{Q_2=66}}}\\32,35,48,56\ &\color{#3b87cd}{\Big\vert}\ 59,60,61,64\ &&\color{#ec0000}{\Big\vert}\ 68,75,75,84\ &&\color{#7cca51}{\Big\vert}\ 86,87,90,98\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\overbrace{Q_1=57{,}5}}}&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#7cca51}{\overbrace{Q_3=85}}}\end{alignat}||

Selon les formules, on effectue les calculs suivants.​​​​​||\begin{align}EQ_1&=Q_1-x_\text{min}\\&=57{,}5-32\\&=25{,}5\\\\EQ_2&=Q_2-Q_1\\&=66-57{,}5\\&=8{,}5\\\\EQ_3&=Q_3-Q_2\\&=85-66\\&=19\\\\EQ_4&=x_\text{max}-Q_3\\&=98-85\\&=13\end{align}||​Ainsi, on peut déterminer que le 2^e quart contient les données les plus concentrées |(EQ_2=8{,}5)| et que le 1^er quart contient les données les plus dispersées |(EQ_1=25{,}5).|