Le taux d'intérêt composé

​Un taux d'intérêt écrit en notation décimale, et noté |i|, est dit composé si l'intérêt est calculé en fonction du ​montant initial en plus des intérêts accumulés à la fin de chaque période de capitalisation.

​Si un montant de |1\ 000\ \$| est placé à un taux d'intérêt de |3\ \%| composé annuellement sur une durée de |5| ans, on obtiendra le rendement suivant.

Ainsi, le montant récolté après |5| années sera d'environ |1\ 159{,}28\ \$.|

Quelle est la représentation graphique d'un placement de |\color{#ec0000}{3\ 000 \ \$}| avec un taux d'intérêt composé de |3{,}25\ \%| sur une période de |2| ans?

1. Calculer le montant d'intérêt obtenu à chaque période d'intérêt

||\begin{align}\begin{gathered}\text{Temps écoulé}\\ \text{(années)}\end{gathered} &\ \begin{gathered}\text{Valeur du} \\ \ \ \text{ placement}\ (\$)\end{gathered} \\[5pt]0\qquad \ &\qquad\ \ \color{#ec0000}{3\ 000} \\&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! +3{,}25\ \%\ \text{de}\ 3\ 000=\color{#3b87cd}{97{,}50} \\1\qquad \ &\qquad\ \ 3\ 097{,}50 \\&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!+3{,}25\ \%\ \text{de}\ 3\ 097{,}50\approx\color{#3b87cd}{100{,}67} \\2\qquad \ &\qquad\ \ 3\ 198{,}17​\end{align}||​

2. Construire le graphique

||C_n=C_0 \ \left(1+i \right)^n||

où

|C_n :| Valeur future (Capital accumulé)
|C_0 :| Valeur actuelle (Capital initial)
|i :| Taux d'intérêt composé annuel en notation décimale
|n :| Nombre de périodes d'intérêt (Durée)

|\begin{align} 3\ 198{,}17 &= \underbrace{\color{#3b87cd}{3\ 000}}_{\text{Valeur actuelle}} + \underbrace{\color{#3b87cd}{3\ 000 \times 0{,}032\,5}}_{\text{Intérêts après 1 an}} + \underbrace{(3\ 000+3\ 000\times 0{,}032\,5)\times 0{,}032\,5}_{\text{Intérêts après 2 ans}} \\ &= \underbrace{\color{#3b87cd}{3\ 000 (1 + 0{,}032\,5)}}_{\text{Mise en évidence de 3 000}} + (3\ 000 + 3\ 000 \times 0{,}032\,5) \times 0{,}032\,5\\ &= \color{#3b87cd}{3\ 000 (1 + 0{,}032\,5)}+ \underbrace{(\color{#3b87cd}{3\ 000 (1 + 0{,}032\,5)})}_{\text{Mise en évidence de 3 000}} \times 0{,}032\,5 \\ &= \underbrace{\color{#3b87cd}{3\ 000 (1 + 0{,}032\,5)}}_{\text{Mise en évidence}}​ (1+0{,}032\,5)\\ 3\ 198{,}17&= 3\ 000\!\! \underbrace{(1 + 0{,}032\,5)​^2}_{\text{Définition de l'exposant}}\end{align}|

En généralisant, on obtient la règle.

|\qquad C_n = C_0 \ \left(1 + i \right)^n|

Quelle serait la valeur future d'un placement de |\color{#ec0000}{3\ 000 \ \$}| avec un taux d'intérêt annuel composé de |\color{#3b87cd}{3{,}25\ \%}| sur une période de |\color{#ff55c3}{10}| ans?

1. Trouver la règle||\begin{align}C_n​ &= \color{#ec0000}{C_0} \ \left(1 + \color{#3b87cd}{i} \right)^ \color{#ff55c3}{n} \\ &= \color{#ec0000}{3\ 000}  \ \left(1 + \color{#3b87cd}{0{,}032\,5} \right)^\color{#ff55c3}{n}\end{align}||

2. Calculer la valeur future selon la période donnée||\begin{align}C_n &= 3\ 000 \ \left(1 + 0{,}032\,5\right)^\color{#ff55c3}{n}\\ &= 3\ 000 \ \left(1{,}032\,5 \right)^\color{#ff55c3}{10} \\ &\approx 3\ 000 (1{,}376\ 89) \\ &\approx 4\ 130{,}68 ​\end{align}||​

3. Interpréter la réponse
   
   Après une période de |10| ans, la valeur actuelle |C_0 = 3\ 000\ \$| est devenue une valeur future |C_n\approx 4\ 130{,}68\ \$.|

Quelle serait la valeur future d'un placement de |\color{#ec0000}{5\ 000\ \$}| avec un taux d'intérêt composé trimestriel de |\color{#3b87cd}{1{,}5\ \%}| sur une période de |\color{#ff55c3}{5}| ans?

1. Trouver la règle||\begin{align}C_n​ &= \color{#ec0000}{C_0} \ \left(1 + \color{#3b87cd}{i} \right)^\color{#ff55c3}{n} \\ &= \color{#ec0000}{5\ 000} \ \left(1 + \color{#3b87cd}{0{,}015} \right)^\color{#ff55c3}{n}\end{align}||

2. Déterminer le nombre de périodes d'intérêt​||\begin{align} \begin{gathered}\text{trimestriel}\\ \text{pendant 5 ans}\end{gathered} &=\begin{gathered} \text{4 fois par année}\\ \text{pendant 5 ans}\end{gathered}\\[3pt] &= 4 \times 5 \\ &= 20\end{align}||

3. Calculer la valeur future selon la période donnée||\begin{align}C_n &= 5\ 000 \ \left(1 + 0{,}015 \right)^\color{#ff55c3}{n}\\ &= 5\ 000 \ \left(1 + 0{,}015 \right)^\color{#ff55c3}{20}\\ &= 5\ 000 \ \left (1{,}015 \right)^{20} \\ &\approx 6\ 734{,}28 ​\end{align}||​

4. Interpréter la réponse
   
   Après une période de |5| ans, la valeur actuelle |C_0 = 5\ 000\ \$| est devenue une valeur future |C_n\approx 6\ 734{,}28\ \$.|

Parfois, les taux d'intérêt en lien avec ces périodes sont calculés selon le taux annuel en vigueur. Même si la période d'intérêt est modifiée, la formule pour déterminer la valeur future ne subit qu'une légère modification.||C_n=C_0 \ \left(1+\frac{i}{k}\right)^n||

où

|C_n :| Valeur future (Capital accumulé)
|C_0 :| Valeur actuelle (Capital initial)
|i :| Taux d'intérêt composé annuel en notation décimale
|k :| Facteur en lien avec la période d'intérêt
|n :| Nombre de périodes d'intérêt (Durée)

Toujours en se référant au vocabulaire en lien avec les périodes d'intérêt, on s'aperçoit que cette dernière a un effet considérable sur la valeur future avec un intérêt composé.

Voici un exemple de l'application de cette formule.

Quelle serait la valeur future d'un placement de |\color{#ec0000}{3\ 000 \ \$}| avec un taux d'intérêt annuel composé de |\color{#3b87cd}{3{,}25\ \%}| sur une période de |\color{#ff55c3}{10}| ans avec une période d'intérêt mensuelle?

1. Trouver la règle||\begin{align} C_n​ &= \color{#ec0000}{C_0} \ \left(1 + \dfrac{\color{#3b87cd}{i}}{\color{#fa7921}{k}} \right)^\color{#ff55c3}{n} \\ &= \color{#ec0000}{3\ 000} \ \left(1 + \dfrac{\color{#3b87cd}{0{,}032\,5}}{\color{#fa7921}{12}} \right)^\color{#ff55c3}{n}\end{align}||

2. Déterminer le nombre de périodes d'intérêt||\begin{align} \begin{gathered}\text{mensuelle}\\ \text{pendant 10 ans}\end{gathered} &=\begin{gathered} \text{12 fois par année}\\ \text{pendant 10 ans}\end{gathered}\\[3pt] &= 12 \times 10 \\ &= 120\end{align}||

3. Calculer la valeur future selon la période donnée||\begin{align}C_n &= 3\ 000 \ \left(1 + \dfrac{0{,}032\,5}{12} \right)^\color{#ff55c3}{n}\\ &= 3\ 000 \ \left(1 + \dfrac{0{,}032\,5}{12} \right)^\color{#ff55c3}{120}\\ &\approx 3\ 000 \ \left (1{,}002\,7 \right)^{120} \\ &\approx 4\ 150{,}27 ​\end{align}||​

4. Interpréter la réponse
   
   Après une période de |10| ans, la valeur actuelle |C_0 = 3\ 000\ \$| est devenue une valeur future |C_n\approx 4\ 150{,}27\ \$.|

Avec la naissance de son 3^e enfant, Vincent tient à mettre de l'argent de côté afin de payer les frais de scolarité de son garçon. Selon les informations disponibles, le cout moyen associé ​à des études universitaires est de |\color{#ec0000}{60 \ 000\ \$}.|

En prenant pour acquis que cette somme devra être disponible dans |\color{#ff55c3}{23}| ans, quel montant Vincent devrait-il placer​ si le plan qu'il utilise est basé sur un taux d'intérêt composé mensuel de |\color{#3b87cd}{0{,}2\ \%}|?

1. Trouver la règle||\begin{align} \color{#ec0000}{C_n} &= C_0 \ \left(1+{\color{#3b87cd}{i}} \right)^{\color{#ff55c3}{n}} \\ \color{#ec0000}{60 \ 000} &= C_0 \ \left(1+{\color{#3b87cd}{0{,}002}} \right)^{\color{#ff55c3}{12 \times 23}}​ \\ \color{#ec0000}{60 \ 000} &= C_0 \ \left(1+{\color{#3b87cd}{0{,}002}} \right)^{\color{#ff55c3}{276}}​\end{align}||

2. Isoler la valeur actuelle (capital initial)||\begin{align} \color{#ec0000}{60\ 000} &= C_0 \ \left(1+{\color{#3b87cd}{0{,}002}} \right)^{\color{#ff55c3}{276}}​ \\ \color{#ec0000}{60\ 000} &= C_0 \ \left(1{,}002 \right)^{\color{#ff55c3}{276}}​ \\ \dfrac{\color{#ec0000}{60\ 000}}{\color{#3a9a38}{1{,}735\,8}} &\approx \dfrac{C_0 \left(1{,}735\,8 \right)}{\color{#3a9a38}{1{,}735\,8}} \\ 34 \ 566{,}87 &\approx C_0 \end{align}||

3. Donner la réponse dans une phrase
   
   Ainsi, la valeur actuelle du placement de Vincent devrait être d'environ |34\ 566{,}87\ \$.|

||C_0 = C_n \ \left(1+{i} \right)^{-n}||

où

|C_0 :| Valeur actuelle (Capital initial)
|C_n :| Valeur future (Capital accumulé)
|i :| Taux d'intérêt composé annuel en notation décimale
|n :| Nombre de périodes d'intérêt (Durée)

Avec tous ses placements, Gitane a oublié le montant actuel d'un d'entre eux. Par contre, elle dispose des informations suivantes.

• placement selon un taux d'intérêt composé hebdomadaire de |0{,}04\ \%|

• placement d'une durée totale de |5| ans

• valeur future (capital accumulé) obtenue : |4\ 660{,}23\ \$.|

Quel est la valeur actuelle (capital initial) de ce placement?

1. Identifier les différentes données||\begin{align} \color{#ec0000}{C_n} &= \color{#ec0000}{4\ 660{,}23} \\ \color{#3b87cd}{i} &= \color{#3b87cd}{0{,}04 \ \%} = \color{#3b87cd}{0{,}000\,4} \\ \color{#ff55c3}{n} &= \color{#ff55c3}{5 \times 52 = 260}\end{align}||

2. Appliquer la formule||\begin{align} C_0 &= {\color{#ec0000}{C_n}}{\left(1+{\color{#3b87cd}{i}}\right)^\color{#ff55c3}{-n}} \\ &= {\color{#ec0000}{4\ 660{,}23}}{\left(1+{\color{#3b87cd}{0{,}000\,4}}\right)^\color{#ff55c3}{-260}} \\ &\approx 4\ 200{,}00 \end{align}||

3. Donner la réponse dans une phrase
   
   La valeur actuelle du placement de Gitane est d'environ |4\ 200{,}00\ \$.|

Comme pour la modélisation, l'actualisation peut être faite à partir de la formule suivante.

||C_n=C_0 \ \left(1+\dfrac{i}{k}\right)^n||

où

|C_n :| Valeur future (Capital accumulé)
|C_0 :| Valeur actuelle (Capital initial)
|i :| Taux d'intérêt composé annuel en notation décimale
|k :| Facteur en lien avec la période d'intérêt
|n :| Nombre de périodes d'intérêt (Durée)