Dans l'animation suivante, tu peux modifier les paramètres |a,| |b,| |c,| |h| et |k| de la fonction logarithmique et observer leurs effets sur les propriétés de la fonction. Après cette exploration, tu pourras poursuivre la lecture de la fiche pour connaitre toutes les précisions concernant les propriétés de la fonction.
Propriétés | Fonction logarithmique de base ||f(x)=\log_c x||où |c>0| et |c \neq 1| | Fonction log en forme canonique ||f(x)=a\log_c \big(b(x-h)\big)+k||où |c>0|, |c \neq 1| et |a| et |b| sont non nuls |
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Domaine |
Le domaine est |]0,\infty[.| |
Si |b>0|, le domaine est |]h,\infty[.| Si |b<0|, le domaine est |]-\infty,h[.| |
Image |
L'image est |\mathbb{R}.| |
L'image est |\mathbb{R}.| |
Zéro de la fonction |
C'est |x=1.| |
C'est la valeur de |x| pour laquelle |f(x)=0.| |
Ordonnée à l'origine de la fonction |
Aucune ordonnée à l'origine |
Si elle existe, c'est la valeur de |f(0).| |
Signe de la fonction |
Si |0<c<1|, la fonction est positive sur |]0,1]| et négative sur le reste de son domaine. Si |c>1|, la fonction est négative sur |]0,1]| et positive sur le reste de son domaine. |
Selon l'équation de la fonction. |
Croissance |
Si |c>1.| |
Si |c>1|, |a| et |b| de même signe. Si |0<c<1|, |a| et |b| sont de signes contraires. |
Décroissance |
Si |0<c<1.| |
Si |c>1|, |a| et |b| sont de signes contraires. Si |0<c<1|, |a| et |b| sont de même signe. |
Asymptote |
|x=0| |
|x=h| |
Extrémums |
Aucun ou selon le contexte. |
Aucun ou selon le contexte. |
Déterminez les propriétés de la fonction logarithmique : ||f(x)=-\log_{1/2}(2(x+1))+3||
Il peut être utile de tracer une esquisse graphique.
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L'équation de l'asymptote de cette fonction est |x=-1.|
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Le domaine de la fonction est |]-1, + \infty[.|
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L'image de la fonction est |\mathbb{R}.|
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Pour calculer le zéro de la fonction, il faut remplacer |f(x)| par |0| et isoler |x.| ||\begin{align} 0 &= - \log_{1/2} (2(x+1)) +3\\-3 &= - \log_{1/2} (2(x+1))\\3 &= \log_{1/2} (2(x+1))\end{align}|| On passe maintenant à la forme exponentielle. ||\begin{align} \displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^3 &= 2(x+1)\\ \displaystyle \frac{1}{8} &= 2(x+1)\\ \displaystyle \frac{1}{16} &= x+1\\ \displaystyle \frac{1}{16}-1&=x\\ \displaystyle -\frac{15}{16}&=x \end{align}||
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Pour calculer l'ordonnée à l'origine, il faut remplacer |x| par |0.| ||\begin{align}f(0) &= - \log_{1/2} (2(0+1)) +3\\ f(0) &= - \log_{1/2} (2) + 3\\ f(0) &= -1(-1) + 3\\ f(0) &= 4\end{align}||
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Les signes : la fonction est négative sur | ]-1, -\frac{15}{16}]| et elle est positive sur |[-\frac{15}{16},+\infty[.|
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La variation : la fonction est croissante sur tout son domaine.
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La fonction ne possède aucun extrémum.