Dans l'animation suivante, tu peux modifier les paramètres |a,| |b,| |h| et |k| de la fonction racine carrée et observer leurs effets sur les propriétés de la fonction. Après cette exploration, tu pourras poursuivre la lecture de la fiche pour avoir toutes les précisions concernant les propriétés de la fonction.
De façon algébrique, on peut généraliser ses différentes propriétés selon le tableau suivant.
| Si... | |a>0| et |b>0| | |a>0| et |b<0| | |a<0| et |b>0| | |a<0| et |b<0| |
|---|---|---|---|---|
| Domaine et image | |dom\ f= [h,+\infty[| |ima\ f = [k,+\infty[| |
|dom\ f = ]-\infty,h]| |ima\ f = [k,+\infty[| |
|dom\ f = [h,+\infty[| |ima\ f =]-\infty,k]| |
|dom\ f = ]-\infty,h]| |ima\ f =]-\infty,k]| |
| Croissance et décroissance | croissante sur |[h,+\infty[| |
décroissante sur |]-\infty,h]| |
décroissante sur |[h,+\infty[| |
croissante sur |]-\infty,h]| |
| Minimum | |min\ f = k| | pas de minimum |
||
| Maximum | pas de maximum |
|max\ f = k| | ||
| Abscisse à l'origine (zéro de la fonction) | |x_1,| solution de :||0=a\sqrt{b(x-h)}+k|| | |||
| Ordonnée à l'origine (valeur initiale) | Si elle existe, ce sera la valeur de |f(0).| | |||
| Signe | |f| est positive sur |[x_1,+\infty[| et est négative sur |[h,x_1]| | |f| est positive sur |]-\infty,x_1]| et est négative sur |[x_1,h]| | |f| est positive sur |[h,x_1]| et est négative sur |[x_1,+\infty[| | |f| est positive sur |[x_1,h]| et est négative sur |]-\infty,x_1]| |
Trouvez la liste des propriétés de la fonction suivante : ||f(x)=-2\sqrt{1{,}2(x+1)}-2||
Pour réussir à trouver les différentes propriétés, il est utile de tracer une ébauche graphique.
Il est maintenant plus facile de déterminer les différentes propriétés du tableau précédent, le sommet de la fonction étant |(-1,-2).|
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Le domaine de la fonction est |[-1,+\infty[| et son image est |]-\infty,-2].|
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La variation : la fonction est décroissante sur son domaine, c'est-à-dire sur |[-1,+\infty[.|
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Les extrémums : comme |f(x)=-2\sqrt{1{,}2(x+1)}-2| est décroissante, elle ne possède qu'un maximum qui est donné par le paramètre |k,| donc par |-2.|
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De plus, avec le graphique il est simple de s'apercevoir que la fonction n'a pas d'abscisse à l'origine. Toutefois, il peut être pratique de faire le calcul pour voir ce qui se produit. On doit donc remplacer |f(x)| par |0| et isoler |x.| ||\begin{align} 0 &= -2\sqrt{1{,}2(x+1)}-2 \\ 2 &= -2\sqrt{1{,}2(x+1)} \\ -1 &= \sqrt{1{,}2(x+1)} \end{align}||Il faut arrêter ici, car il n'y a pas de solution.
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On peut calculer l'ordonnée à l'origine en remplaçant |x| par 0 dans l'équation. ||\begin{align} f(0) &= -2\sqrt{1{,}2(0+1)}-2 \\ f(0) &= -2\sqrt{1{,}2}-2 \\ f(0) &= -4{,}19 \end{align}||Ainsi, la valeur de l'ordonnée à l'origine est donc de |-4{,}19.|
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Le signe : comme il n'y a pas d'abscisse à l'origine et que la fonction est en-dessous de l'axe des |x,| elle est donc négative sur tout son domaine, soit sur |[-1,+\infty[.|
Quelles sont les différentes propriétés de la fonction |f(x)=\dfrac{4}{3}\sqrt{x-1}-4| ?
Pour s'aider à trouver les propriétés, il est fortement suggéré de faire un graphique. Il est très important d'identifier le sommet dont les coordonnées sont |(1,-4).|
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Le domaine de la fonction est |[1,+\infty[| et son image est |[-4,+\infty[.|
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La variation : la fonction est croissante sur tout son domaine donc sur |[1,+\infty[.|
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Les extrémums : comme la fonction est croissante, elle ne possède qu'un minimum qui correspond au paramètre |k|, c'est-à-dire qu'il vaut |-4.|
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On calcule l'abscisse à l'origine en remplaçant |f(x)| par |0| et en isolant |x|. ||\begin{align} 0 &= \frac{4}{3}\sqrt{x-1}-4 \\ 4 &= \frac{4}{3}\sqrt{x-1} \\ 4 \times \frac{3}{4} &= \sqrt{x-1} \\ 3 &= \sqrt{x-1} \end{align}||Rendu ici, on élève les deux côtés de l'égalité au carré. ||\begin{align} 9 &= x-1 \\ 10 &= x \end{align}||Donc, on peut conclure que l'abscisse à l'origine est |10.|
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Pour l'ordonnée à l'origine, il est inutile de faire un calcul puisque son domaine nous indique clairement qu'elle ne passera pas en |x=0|.
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Pour les signes, en utilisant l'abscisse à l'origine, on peut conclure que la fonction est positive sur |[10,+\infty[| et qu'elle est négative sur |[1,10].|