Dans l'animation suivante, tu peux modifier les paramètres |a,| |b,| |h| et |k| et observer leurs effets sur les propriétés de la fonction tangente. Après cette exploration, tu pourras poursuivre la lecture de la fiche pour avoir toutes les précisions concernant les propriétés de cette fonction.
Déterminez les propriétés de la fonction |f(x)=-\tan\left(\frac{1}{2}(x-1)\right)+\sqrt{2}|.
Il peut être utile de tracer un graphique de la fonction.
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Les coordonnées du point d'inflexion sont |(h,k)=(1,\sqrt{2})|.
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La période de la fonction est :||\displaystyle p = \frac{\pi}{\mid b \mid} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi.||
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L'équation des asymptotes est :||\begin{align} x &= \left(h + \frac{p}{2}\right) + n p\\ &= \left(1+\frac{2\pi}{2}\right) +n (2\pi)\\ &= (1+\pi) + 2\pi n \end{align}||où |n \in \mathbb{Z}| et |p| est la période.
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Le domaine de la fonction est : |\mathbb{R} \backslash \lbrace (1+\pi) + 2 \pi n \rbrace| où |n \in \mathbb{Z}| et |p| est la période.
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L'image de la fonction est l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire |\mathbb{R}.|
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La variation : en considérant les valeurs de |a| et |b,| on peut conclure que la fonction est décroissante. En effet, le produit |a b| est négatif |\left(-1 \times \frac{1}{2} <0\right)|. Le graphique confirme le tout.
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Les zéros de la fonction se calculent en remplaçant |f(x)| par |0.| ||\begin{align}0 &= -\tan\left(\frac{1}{2}(x-1)\right)+\sqrt{2}\\-\sqrt{2} &= - \tan\left(\frac{1}{2}(x-1)\right)\\ \sqrt{2} &= \tan\left(\frac{1}{2}(x-1)\right)\end{align}||À cette étape, il faut vérifier à quel angle la tangente vaut |\sqrt{2}.| On doit regarder l'angle dans l'intervalle |[0,\pi].| On obtient comme valeur |0{,}955.|
Ainsi, l'intérieur de la fonction tangente est égal à |0{,}955.| ||\begin{align}0{,}955 &= \frac{1}{2}(x-1)\\1{,}91 &= x-1\\2{,}91 &= x\end{align}||Le zéro de la fonction dans le cycle avec lequel on travaille est |2{,}91.|
L'expression générale des zéros de la fonction est donc |x=2{,}91 + 2\pi n| où |n \in \mathbb{Z}.| -
Les signes : la fonction est positive sur les intervalles de la forme |]1-\pi + 2\pi n,\ 2{,}91 + 2 \pi n]| et négative sur les intervalles de la forme |[2{,}91 + 2 \pi n,\ 1+ \pi + 2 \pi n[| où |n \in \mathbb{Z}|.
Il faut faire attention de ne pas inclure les asymptotes. -
La fonction ne possède aucun extrémum.