Les rapports

Un rapport est une comparaison entre 2 quantités ou 2 grandeurs de même nature exprimées avec la même unité de mesure.

Un rapport fait intervenir la division et peut être noté sous la forme |\dfrac{a}{b}| ou |a:b.|

En général, un rapport n'a pas d'unités de mesure. Les unités étant les mêmes pour les 2 grandeurs comparées, elles s'annulent.

Martin a mangé trois clémentines pour sa collation, alors que sa petite soeur en a mangé deux.

Le rapport entre le nombre de clémentines mangées par Martin et celles mangées par sa soeur est |3:2|.

Lorsqu'on exprime ce rapport sous la forme d'une fraction, on remarque que les unités de mesure de chaque grandeur comparée se simplifient.
||\displaystyle \frac{3 \color{red}{\text{  clémentines}}}{2 \color{red}{\text{  clémentines}}}=\frac{3}{2}||

Une troupe de théatre comprend |7| filles et |9| garçons.

Le rapport entre le nombre de filles et le nombre de garçons est de |7| pour |9|.

Ce rapport peut être représenté sous la forme |\displaystyle\frac{7}{9}| ou |7:9|.

On pourrait être porté à croire que les unités de mesures ne sont pas les mêmes dans cet exemple, et qu'il ne s'agit pas d'un rapport. Cependant, les 2 quantités comparées sont de même nature, ce sont des êtres humains. De plus, même si on compare des filles et des garçons, on utilise la personne comme unité de mesure et non le sexe.

Les ailes d'un avion d'un modèle réduit mesurent |4\ \text{cm},| alors que celles de l'avion original mesure |5{,}4\ \text{m}.|

Le rapport entre la longueur des ailes du modèle réduit et celle de l'avion original est de |4\ \text{cm}| pour |540\ \text{cm}.|

Ce rapport peut être représenté sous la forme |\dfrac{4}{540}| ou |4:540.|

Nous verrons plus bas qu'il est possible d'exprimer ce rapport sous la forme d'un rapport réduit.

Avant de comparer les 2 grandeurs, il faut s'assurer que celles-ci sont exprimées à l'aide des mêmes unités de mesure. Dans cet exemple, l'une des grandeurs est en |\text{cm}|, alors que que l'autre est en |\text{m}|.

En convertissant la mesure de l'aile de l'avion original en centimètres, on a :
||5{,}4\ \text{m}\stackrel{\times 100}{\Rightarrow}540\ \text{cm}||

Un rapport réduit est un rapport dont les termes sont premiers entre eux.

En d'autres mots, un rapport réduit est représenté par une fraction irréductible de la forme |\dfrac{a}{b}.|

1. Exprimer le rapport sous la forme |\dfrac{a}{b}| s'il est donné sous la forme |a:b.|

2. Simplifier le rapport afin d'obtenir une fraction irréductible.

Pour obtenir un rapport réduit, on peut simplement diviser les termes du rapport par leur PGCD.

Simplifier le rapport |24:40| pour obtenir un rapport réduit.

1. Exprimer le rapport sous la forme |\dfrac{a}{b}| s'il est donné sous la forme |a:b| ||24:40=\dfrac{24}{40}||

2. Simplifier le rapport afin d'obtenir une fraction irréductible||\begin{align} \frac{24}{40}&\Rightarrow \frac{24\color{green}{\div 2}}{40\color{green}{\div 2}}=\frac{12}{20}\\\\&\Rightarrow \frac{12\color{green}{\div 4}}{20\color{green}{\div 4}}=\frac{3}{5}\end{align}||Le rapport réduit de |24:40| est donc |3:5|.
   On dira aussi de ces rapports qu'ils sont des rapports équivalents.

Des rapports équivalents sont des rapports ayant le même quotient. On dira alors que les rapports forment une proportion.

1. Obtenir le quotient de chaque rapport en divisant le numérateur par le dénominateur.

2. Comparer les quotients obtenus. Si les quotients sont égaux, les rapports sont équivalents.

On peut aussi déterminer si 2 rapports sont équivalents en les exprimant sous la forme de rapports réduits. Si les rapports réduits sont les mêmes, les rapports sont équivalents.

Les rapports |\dfrac{3}{12}| et |\dfrac{2}{8}| sont-ils équivalents?

1. Obtenir le quotient de chaque rapport en divisant le numérateur par le dénominateur.||\begin{align} \frac{3}{12}&=3\div12=0{,}25 & \frac{2}{8}&=2\div8=0{,}25\end{align}||

2. Comparer les quotients obtenus. Si les quotients sont égaux, les rapports sont équivalents.
   On remarque que les quotients sont égaux : |0{,}25=0{,}25|
   Les rapports sont donc équivalents.

Il aurait aussi été possible de réduire chaque rapport pour déterminer s'ils sont équivalents.
||\begin{align}\frac{3\color{green}{\div 3}}{12\color{green}{\div 3}}&=\frac{1}{4} &
\frac{2\color{green}{\div 2}}{8\color{green}{\div 2}}&=\frac{1}{4}\end{align}||On remarque qu'une fois réduits, ces rapports sont identiques. On peut donc déduire qu'ils sont équivalents.

Les rapports |15:8| et |16:10| sont-ils équivalents?

1. Obtenir le quotient de chaque rapport en divisant le numérateur par le dénominateur.||\begin{align} \dfrac{15}{8}&=15\div8=1{,}875\\\\ \dfrac{16}{9}&=16\div9=1{,}\overline{7}\end{align}||

2. Comparer les quotients obtenus. Si les quotients sont égaux, les rapports sont équivalents.
   On remarque que les quotients ne sont pas égaux.||1{,}875\color{red}{\neq}1{,}\overline{7}||Les rapports ne sont pas équivalents.

1. Exprimer le rapport sous la forme |\dfrac{a}{b}| s'il est donné sous la forme |a:b.|

2. Exprimer la fraction |\dfrac{a}{b}| en pourcentage.

Exprime le rapport |3:50| en pourcentage.

1. Exprimer le rapport sous la forme |\dfrac{a}{b}| s'il est donné sous la forme |a:b|||3:50=\displaystyle \frac{3}{50}||

2. Exprimer la fraction |\dfrac{a}{b}| en pourcentage
   
   Plusieurs méthodes peuvent être utilisées. Pour en savoir plus, clique ici.||\dfrac{3\color{#3a9a38}{\times 2}}{50\color{#3a9a38}{\times 2}}=\dfrac{6}{100}=6\ \%||Le rapport |3:50| correspond donc à |6\ \%.|

1. Exprimer chaque rapport en notation décimale en calculant le quotient.

2. Comparer les nombres en notation décimale et choisir le bon rapport selon la situation.

On peut aussi comparer des rapports en les exprimant sous la forme |\displaystyle \frac{a}{b}| et en les mettant sur le même dénominateur. Une fois sur le même dénominateur, il suffit de comparer les numérateurs et de faire un choix selon le contexte.

Dans une recette de potage de brocoli, on demande d’ajouter 250 mL de crème pour 1 000 mL de soupe. Pour le potage de carottes, on suggère d’ajouter 700 mL de crème pour 2 500 mL. Quel potage est le plus riche en crème?

1. Exprimer chaque rapport en notation décimale en calculant le quotient
   
   Dans cette situation, nous avons 2 rapports : |250:1\ 000| et |700:2\ 500.|
   
   En calculant les quotients, on obtient ceci.
   
   |\bullet| Potage de brocoli : |250\div 1\ 000=0{,}25|
   |\bullet| Potage de carottes : |700\div 2\ 500=0{,}28|
    

2. Comparer les nombres en notation décimale et choisir le bon rapport selon la situation
   
   On cherche le potage qui sera le plus riche en crème. En d'autre mots, celui donc le rapport crème/soupe est le plus élevé.
   
   Comme |0{,}28>0{,}25,| le potage de carottes est le plus riche en crème.

Remarque : Il aurait aussi été possible de mettre les 2 rapports sur le même dénominateur et de comparer les numérateurs ensemble.||\begin{align}\dfrac{250\color{#3a9a38}{\times 5}}{1\ 000\color{#3a9a38}{\times 5}}&=\dfrac{1\ 250}{5\ 000}\\\\ \dfrac{700\color{#3a9a38}{\times 2}}{2\ 500\color{#3a9a38}{\times 2}}&=\dfrac{1\ 400}{5\ 000}\end{align}||On remarque que |1\ 400>1\ 250|. De cette façon, on obtient le même résultat : le potage de carottes est plus riche en crème.

Soit un rapport |a:b| ou |\dfrac{a}{b}.|

Pour augmenter la valeur du rapport, on peut :

• augmenter la valeur du terme |a| (numérateur);

• diminuer la valeur du terme |b| (dénominateur).

Pour diminuer la valeur du rapport, on peut :

• diminuer la valeur du terme |a| (numérateur);

• augmenter la valeur du terme |b| (dénominateur).

Un fermier possède |45| moutons pour |65| chevaux.

Le rapport représentant cette situation est |\dfrac{45}{65}.|

a) Donne 2 façons pour le fermier d'augmenter la valeur de son rapport moutons/chevaux.

1^re façon : Se procurer davantage de moutons.

S'il se procure |\color{#3a9a38}{5}| moutons de plus, par exemple, on obtient ceci.||\dfrac{45\color{#3a9a38}{+5}}{65}=\dfrac{50}{65}\ \Rightarrow\ \dfrac{50}{65}\color{#ec0000}{>} \dfrac{45}{65}||

2^e façon : Vendre quelques chevaux.

S'il vend |\color{#3a9a38}{10}| chevaux, par exemple, on obtient ceci.||\dfrac{45}{65\color{#3a9a38}{-10}}=\dfrac{45}{55}\ \Rightarrow\ \dfrac{45}{55}\color{#ec0000}{>} \dfrac{45}{65}||Remarque : Pour s'en convaincre, on pourrait calculer le quotient de chaque rapport.

b) Donne 2 façons pour le fermier de diminuer la valeur de son rapport moutons/chevaux.

1^re façon : Vendre quelques moutons.

S'il vend |\color{#3a9a38}{2}| moutons, par exemple, on obtient ceci.||\dfrac{45\color{#3a9a38}{-2}}{60}=\dfrac{43}{60}\ \Rightarrow\ \dfrac{43}{60}\color{#ec0000}{<} \dfrac{45}{60}||

2^e façon : Se procurer davantage de chevaux.

S'il se procure |\color{#3a9a38}{7}| chevaux, par exemple, on obtient ceci.||\dfrac{45}{65\color{#3a9a38}{+7}}=\dfrac{45}{72}\ \Rightarrow\ \dfrac{45}{72}\color{#ec0000}{<} \dfrac{45}{65}||Remarque : Pour s'en convaincre, on pourrait calculer le quotient de chaque rapport.