Le plus grand commun diviseur (PGCD)

Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) entre deux nombres ou plus est le plus grand entier naturel qui divise simultanément tous ces nombres.

Lorsque 2 nombres ou plus ont un PGCD égal à |1,| on dira de ces nombres qu'ils sont premiers entre eux ou copremiers.

1. Dresser la liste des diviseurs de chacun des nombres.

2. Repérer les diviseurs communs.

3. Choisir le plus grand de ces diviseurs.

Détermine le PGCD de |30| et |45.|

1. Dresser la liste des diviseurs de chacun des nombres ||\begin{align}30&:\left\{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\right\}\\45&:\left\{1, 3, 5, 9, 15, 45\right\}\end{align}||

2. Repérer les diviseurs communs ||\begin{align}30&:\left\{\color{#3a9a38}{1}, 2, \color{#3a9a38}{3}, \color{#3a9a38}{5}, 6, 10, \color{#3a9a38}{15}, 30\right\}\\45&:\left\{\color{#3a9a38}{1}, \color{#3a9a38}{3}, \color{#3a9a38}{5}, 9, \color{#3a9a38}{15}, 45\right\}\end{align}||

3. Choisir le plus grand de ces diviseurs
   
   On remarque que |\color{#3a9a38}{15}| est le plus grand diviseur commun.

Réponse : |PGCD(30,45)=15|

Détermine le PGCD de |15| et |26.|

1. Dresser la liste des diviseurs de chacun des nombres ||\begin{align}15&:\left\{1, 3, 5, 15\right\}\\26&:\left\{1, 2, 13, 26\right\}\end{align}||

2. Repérer les diviseurs communs ||\begin{align}15&:\left\{\color{#3a9a38}{1}, 3, 5, 15\right\}\\26&:\left\{\color{#3a9a38}{1}, 2, 13, 26\right\}\end{align}||

3. Choisir le plus grand de ces diviseurs
   
   On remarque que |\color{#3a9a38}{1}| est le plus grand diviseur commun.

Réponse : |PGCD(15,26)=1|

Remarque : On dit de |15| et de |26| qu'ils sont premiers entre eux ou copremiers.

Détermine le PGCD de |12,| |36| et |60.|

1. Dresser la liste des diviseurs de chacun des nombres ||\begin{align}12&:\left\{1, 2, 3, 4, 6, 12\right\}\\36&:\left\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\right\}\\60&:\left\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \right\}\end{align}||

2. Repérer les diviseurs communs ||\begin{align}12&:\left\{\color{#3a9a38}{1}, \color{#3a9a38}{2}, \color{#3a9a38}{3}, \color{#3a9a38}{4}, \color{#3a9a38}{6}, \color{#3a9a38}{12}\right\}\\36&:\left\{\color{#3a9a38}{1}, \color{#3a9a38}{2}, \color{#3a9a38}{3}, \color{#3a9a38}{4}, \color{#3a9a38}{6}, 9, \color{#3a9a38}{12}, 18, 36\right\}\\60&:\left\{\color{#3a9a38}{1}, \color{#3a9a38}{2}, \color{#3a9a38}{3}, \color{#3a9a38}{4}, 5, \color{#3a9a38}{6}, 10, \color{#3a9a38}{12}, 15, 20, 30, 60\right\}\end{align}||

3. Choisir le plus grand de ces diviseurs
   
   On remarque que |\color{green}{12}| est le plus grand diviseur commun.

Réponse : |PGCD(12,36,60)=12|

1. Tracer un tableau dont le titre de la première colonne sera Diviseurs premiers. Les titres des autres colonnes seront les nombres étudiés.

2. Tenter de diviser simultanément les nombres étudiés par des diviseurs premiers. On peut commencer par |2|, puis par |3|, |5|, |7| et ainsi de suite. On poursuit la division jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de diviseurs communs.

3. Calculer le PGCD en multipliant les diviseurs premiers de la première colonne.

Calcule le PGCD de |36| et |90|.

1. Tracer un tableau dont le titre de la première colonne sera Diviseurs premiers. Les titres des autres colonnes seront les nombres étudiés.

2. Tenter de diviser simultanément les nombres étudiés par des diviseurs premiers. On poursuit la division jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de diviseurs communs.

3. Calculer le PGCD en multipliant les diviseurs premiers de la première colonne. ||\begin{align}PGCD(36,90)&=\color{#3b87cd}{2}\times \color{#3b87cd}{3}\times ​\color{#3b87cd}{3}\\ &=18\end{align}||

1. Décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers.

2. Repérer les facteurs communs.

3. Écrire le PGCD comme un produit de ces facteurs communs.

Les facteurs communs doivent être communs à tous les nombres dont on cherche le PGCD. Prenons, par exemple, la recherche du PGCD de |60,\ 84| et |140.|

La factorisation première de ces nombres est donnée ci-dessous.
    |\begin{align}60&=2\times 2\times 3\times 5\\
84&=2\times 2\times 3\times 7\\
140&=2\times 2\times 5\times 7\end{align}|

Ici, le |3|, le |5| et le |7| ne sont pas des facteurs communs, car ils n'apparaissent que dans deux des trois nombres.

De plus, si un facteur commun revient plus d'une fois, on doit l'inclure le même nombre de fois dans le PGCD. Comme le facteur |2| est commun à tous les nombres deux fois, il doit être inclus deux fois dans le PGCD.

Nous aurons donc que |PGCD(60,84,140)=2\times 2=4|.

Détermine le PGCD de |24| et |84.|

1. Décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers

On obtient ceci. ||\begin{align}24&=2\times 2\times 2\times 3 \\84&=2\times 2\times 3\times 7 \end{align}||

2. Repérer les facteurs communs ||\begin{align}24&=\color{#3a9a38}{2}\times \color{#3b87cd}{2}\times 2\times \color{#560fa5}{3} \\84&=\color{#3a9a38}{2}\times \color{#3b87cd}{2}\times \color{#560fa5}{3}\times 7 \end{align}||

3. Écrire le PGCD comme un produit de ces facteurs communs ||\begin{align}PGCD(24,84)&=\color{#3a9a38}{2}\times\color{#3b87cd}{2}\times\color{#560fa5}{3}\\ &=12\end{align}||

Détermine le PGCD de |40,| |60| et |75.|

1. Décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers

On obtient ceci. ||\begin{align}40&=2\times 2\times 2\times 5 \\60&=2\times 2\times 3\times 5\\75&=3\times 5\times 5\end{align}||

2. Repérer les facteurs communs ||\begin{align}40&=2\times 2\times 2\times \color{#3a9a38}{5} \\60&=2\times 2\times 3\times \color{#3a9a38}{5}\\75&=3\times \color{#3a9a38}{5}\times 5\end{align}||

3. Écrire le PGCD comme un produit de ces facteurs communs ||PGCD(40,60,75)=\color{#3a9a38}{5}||

1. Lire attentivement le problème et déceler si on doit utiliser la recherche d'un PGCD.

2. Repérer les différents nombres dont on cherche le PGCD.

3. Calculer le PGCD de ces nombres.

4. Interpréter le résultat.

Dans un restaurant, on a 2 réservations de groupes pour la soirée : un groupe de |60| personnes et un groupe de |90| personnes. On souhaite les répartir à des tables où pourront s’asseoir le plus de personnes possible ensemble, mais on veut qu’il y ait le même nombre de personnes à chaque table. Combien y aura-t-il de personnes assises à chaque table?

1. Lire attentivement le problème et déceler si on doit utiliser la recherche d'un PGCD
   
   Comme nous pouvons le voir, on demande de trouver le plus grand nombre de personnes il est possible d'asseoir à des tables comprenant le même nombre de personne. On devra utiliser la recherche d'un PGCD.

2. Repérer les différents nombres dont on cherche le PGCD
   
   On devra trouver le plus grand commun diviseur entre |60| et |90.|

3. Calculer le PGCD de ces nombres
   
   Pour cette étape, on peut utiliser la méthode de son choix. Utilisons la méthode des diviseurs. ||\begin{align}60&:\left\{\color{#3a9a38}{1}, \color{#3a9a38}{2}, \color{#3a9a38}{3}, 4, \color{#3a9a38}{5}, \color{#3a9a38}{6}, \color{#3a9a38}{10}, 12, \color{#3a9a38}{15}, 20, \underline{\color{#3a9a38}{30}}, 60\right\}\\90&:\left\{\color{#3a9a38}{1}, \color{#3a9a38}{2}, \color{#3a9a38}{3}, \color{#3a9a38}{5}, \color{#3a9a38}{6}, 9, \color{#3a9a38}{10}, \color{#3a9a38}{15}, 18, \underline{\color{#3a9a38}{30}}, 45, 90\right\}\end{align}||On remarque que |PGCD(60,90)=\color{#3a9a38}{30}.|

4. Interpréter le résultat
   
   |30| est le plus grand nombre de personnes qu'il est possible d'asseoir à des tables ayant le même nombre de personnes si on a un groupe de |60| et un groupe de |90.|

Pour l'halloween, Jocelyne a acheté |36| caramels, |48| suçons et |72| petites barres de chocolat. Elle veut faire le plus de sacs de bonbons possibles tout en ayant le même nombre de friandises de chaque sorte dans les sacs.

a) Combien de sacs Jocelyne pourra-t-elle faire?

b) Combien de friandises de chaque sorte y aura-t-il dans un sac?

1. Lire attentivement le problème et déceler si on doit utiliser la recherche d'un PGCD
   
   On veut créer le plus de sacs de bonbons possibles tout en ayant le même nombre de friandises de chaque sorte dans les sacs. On devra utiliser la recherche d'un PGCD.

2. Repérer les différents nombres dont on cherche le PGCD
   
   On devra trouver le plus grand commun diviseur entre |36,| |48| et |72.| Le PGCD représentera le nombre de sacs.

3. Calculer le PGCD de ces nombres
   
   Pour cette étape, on peut utiliser la méthode de son choix. Utilisons la méthode des facteurs premiers.

On obtient ceci. ||\begin{align}36&=\color{#3b87cd}{2}\times \color{#3a9a38}{2}\times \color{#560fa5}{3}\times 3\\ 48&=\color{#3b87cd}{2}\times \color{#3a9a38}{2}\times 2\times 2\times \color{#560fa5}{3}\\ 72&=\color{#3b87cd}{2}\times \color{#3a9a38}{2}\times 2\times \color{#560fa5}{3}\times 3\end{align}||On remarque que |PGCD(36,48,72)=\color{#3b87cd}{2}\times \color{#3a9a38}{2} \times \color{#560fa5}{3}=12.|

4. Interpréter le résultat

a) Jocelyne pourra faire |12| sacs.

b) Dans un sac, on retrouvera :

• |36\div 12=3| caramels,

• |48\div 12=4| suçons,

• |72\div 12=6| petites barres de chocolat.