Trouver la règle d'une fonction exponentielle

Lorsqu'on cherche la règle d'une fonction exponentielle à l'aide d'un graphique ou d'une table de valeurs, on peut laisser tomber la forme |y=a_1(c_1)^{b(x-h)}| puisque la forme |y=a_2(c_2)^x| lui est équivalente.

Par contre, le rôle du paramètre |b| dans la forme |y=a(c)^{bx}| prend tout son sens lorsqu'on décrit une situation réelle étant donné qu'il fait référence à la fréquence à laquelle le pourcentage de variation est calculé. 

Voici la preuve algébrique que les équations |y=a_1(c_1)^{b(x-h)}| et |y=a_2(c_2)^x| sont parfaitement équivalentes : ||\begin{align}
y &= a_1(c_1)^{b(x-h)}\\
&= a_1\left(\color{blue}{(c_1)^{b}}\right)^{x-h} &&\text{car } a^{mn} = (a^m)^{^{\Large n}}\\
&= a_1\, \large{(\color{blue}{c_2})}\normalsize^{x-h} &&\text{en substituant }\color{blue}{(c_1)^{b}} \ \text{par une nouvelle variable : }\large\color{blue}{c_2}\\
&= a_1 \dfrac{(c_2)^{x}}{(c_2)^h} &&\text{car } a^{m-n}=\dfrac{a^m}{a^n}\\
&= \color{red}{\dfrac{a_1}{(c_2)^h}}(c_2)^{x} &&\text{par associativité : }a\times \frac{b}{c}=\dfrac{a}{c} \times b\\
&= \ \ \large \color{red}{a_2}(c_2)^x &&\text{en substituant }\color{red}{\dfrac{a_1}{(c_2)^h}} \ \text{par une nouvelle variable : }\large\color{red}{a_2}
\end{align}||

Par exemple, les fonctions |y=24(2)^{3(x-1)}| et |y=3(8)^x| sont parfaitement équivalentes. Voici la preuve : ||\begin{align}
y &= 24(2)^{3(x-1)}\\
&= 24\left(2^3\right)^{x-1} &&\text{car } a^{mn} = (a^m)^{^{\Large n}}\\
&= 24(8)^{x-1} &&\text{car } 2^3=8\\
&= 24\dfrac{(8)^x}{(8)^1}&&\text{car } a^{m-n}=\dfrac{a^m}{a^n}\\
&= \dfrac{24}{8}(8)^x &&\text{car }8^1=8\\
&= 3(8)^x &&\text{car } \dfrac{24}{8}=3
\end{align}||

En conclusion, si on a le graphique de cette fonction, il est beaucoup plus simple de trouver la règle |y=3(8)^x| que l’autre. En effet, de cette façon, il n’y a que 2 paramètres à déterminer |(a=3| et |c=8)| au lieu de 4, soit deux fois moins de travail!

1. Trouver la valeur du paramètre |a| en substituant les coordonnées de l'ordonnée à l'origine dans l'équation de base |y=a(c)^x|.

2. Trouver la valeur de la base |c| en utilisant les coordonnées de l'autre point.

Quelle est l'équation de la courbe illustrée ci-dessous?

1. Substituer chacun des points pour créer un système d'équations.

2. Déterminer la valeur de la base |c| par la méthode de résolution par comparaison.

3. Utiliser un des deux points fournis pour trouver la valeur du paramètre |a.|

Détermine l'équation de la courbe passant par les points |\left(2,\dfrac{-9}{2}\right)| et |\left(-2,\dfrac{-8}{9}\right).|

Il est plus pratique d'utiliser la forme réduite |(y=a(c)^x+k)| que d'utiliser la forme canonique |(y=a(c)^{b(x-h)}+k).| Cette forme s'obtient grâce aux lois des exposants.

Remarque : Toutefois, la valeur du paramètre |a| de la forme réduite n'est pas égale à celle de la forme canonique. Il en va de même pour la valeur de la base |c|.

1. Remplacer |k| par la valeur de l'asymptote.

2. Substituer chacun des points pour créer un système d'équations.

3. Déterminer la valeur de la base |c| à l'aide de la méthode de comparaison.

4. Utiliser un des deux points fournis pour trouver la valeur du paramètre |a.|

Dans le dernier exemple, on peut appliquer une autre technique de résolution de système d'équations que la méthode de comparaison. Il s'agit d'une méthode de réduction à l'aide de la division. Voici comment il faut procéder :

Lorsqu'on a obtenu les 2 équations |7{,}5=a(c)^{-1}| et |0{,}06=a(c)^2,| on peut simplement les diviser comme suit : ||\begin{align} \frac{7{,}5}{0{,}06} &= \frac{a(c)^{-1}}{a(c)^2} \\ 125 &= a^{1-1}(c)^{-1-2}\end{align}||Comme |a^{1-1}=a^0=1,| |a| disparait. ||\begin{align}125 &=\frac{1}{(c)^3}\\ (c)^3 &= \frac{1}{125}\\ \sqrt[3]{(c)^3} &= \sqrt[3]{\frac{1}{125}} \\ c &= \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5} = 0{,}2 \end{align}||On obtient évidemment le même résultat avec cette stratégie.

Avec la fonction exponentielle, il y a un facteur multiplicatif entre les variations de la variable dépendante lorsque la variable indépendante augmente de 1. Ce facteur multiplicatif correspond à la base de la fonction.

Voici la table de valeurs de la fonction |y=2(3)^x-1|.

On remarque que le facteur multiplicatif est 3 et ceci correspond à la base |c| de la fonction exponentielle.

1. Déterminer les variations de la variable dépendante (il faut que celles de la variable indépendante soient de 1) pour déduire le facteur multiplicatif |(c).|

2. Utiliser deux couples |(x,y)| qu'on remplace dans l'équation |y=a(c)^x+k.|

3. Isoler |k| dans les deux équations.

4. Résoudre le système d'équations algébriquement pour trouver la valeur du paramètre |a.|

5. Remplacer |a| dans l'une ou l'autre des deux équations afin de trouver la valeur du paramètre |k.|

6. Écrire l'équation de la fonction exponentielle.

Quelle est l'équation de la fonction exponentielle sous la forme |y=a(c)^x+k| représentée par la table de valeurs suivante :

Pourquoi la méthode présentée dans la recherche de la règle d'une fonction exponentielle sous la forme |y=a(c)^x+k| fonctionne-t-elle?

Voici une preuve intuitive :

Sans perte de généralité, prendre trois couples de points dont les abscisses sont consécutives, tels |(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)|, suffit.

Ainsi : ||\begin{align} y_1 &= a(c)^{x_1}+k \\ y_2 &= a(c)^{x_2}+k \\ y_3 &= a(c)^{x_3}+k \end{align}||

Il faut calculer les variations de la variable indépendante. ||\begin{align} y_2-y_1 &= \big(a(c)^{x_2}+k\big)-\big(a(c)^{x_1}+k\big) \\ \Rightarrow\ y_2-y_1 &=a(c)^{x_2}-a(c)^{x_1} \\\\ y_3-y_2 &= \big(a(c)^{x_3}+k\big) - \big(a(c)^{x_2}+k\big) \\ \Rightarrow\ y_3-y_2 &= a(c)^{x_3}-a(c)^{x_2} \end{align}||

À cette étape, il faut faire une mise en évidence simple dans chaque variation. ||\begin{align} y_2-y_1 &= a\big((c)^{x_2}-(c)^{x_1}\big) \\ y_3-y_2 &= a\big((c)^{x_3}-(c)^{x_2}\big) \end{align}||

Maintenant, il faut remarquer que |x_2=x_1+1| et que |x_3=x_2+1|.

Il faut substituer dans les deux variations calculées. ||\begin{align} y_2-y_1 &= a\big((c)^{x_1+1}-(c)^{x_1}\big) \\ y_3-y_2 &= a\big((c)^{x_2+1}-(c)^{x_2}\big) \end{align}||

Encore une fois, il faut faire une mise en évidence simple dans chaque variation. ||\begin{align} y_2-y_1 &= a(c)^{x_1}\big(c-1\big) \\ y_3-y_2 &= a(c)^{x_2}\big(c-1\big) \end{align}||

Il ne reste qu'à diviser les deux variations. ||\displaystyle \frac{y_3-y_2}{y_2-y_1} = \frac{a(c)^{x_2}(c-1)}{a(c)^{x_1}(c-1)}||

Comme |c \neq 1| et que |a \neq 0|, alors : ||\displaystyle \frac{y_3-y_2}{y_2-y_1} = \frac{(c)^{x_2}}{(c)^{x_1}} = \frac{(c)^{x_1+1}}{(c)^{x_1}}||

Or, |\displaystyle \frac{(c)^{x_1+1}}{(c)^{x_1}} = \frac{c}{1}.|

Par conséquent : ||\displaystyle \frac{y_3-y_2}{y_2-y_1} = c||

C'est ce qui explique pourquoi la variation des valeurs de la variable dépendante, lorsque les abscisses sont consécutives, permet de trouver la base |c| de la fonction exponentielle sous la forme |y=a(c)^x+k|.