Pour arriver à multiplier des fractions rationnelles, aussi appelées expressions rationnelles, il faut être à l’aise avec la multiplication de fractions ainsi qu’avec les différentes techniques de factorisation. On doit suivre la démarche suivante.
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Factoriser les polynômes au numérateur et au dénominateur de chacune des fractions, si possible.
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Poser toutes les restrictions (les dénominateurs doivent être différents de 0).
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Effectuer la multiplication des fractions.
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Simplifier les facteurs communs dans la fraction résultante, si possible.
Trouve le résultat de la multiplication suivante.||\dfrac{4-x^2}{x-2}\times \dfrac{-x}{2x+4}||
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Factoriser les polynômes au numérateur et au dénominateur de chacune des fractions
On peut factoriser le numérateur de la 1re fraction à l’aide d’une différence de carrés et le dénominateur de la 2e fraction à l’aide d’une mise en évidence simple.
||\begin{align}4-x^2&=-(x^2-4)\\&=-(x-2)(x+2)\end{align}||
||2x+4 = 2(x+2)||
On a maintenant la multiplication des 2 fractions suivantes.||\dfrac{-(x-2)(x+2)}{(x-2)}\times \dfrac{-x}{2(x+2)}||
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Poser toutes les restrictions
Il faut que chaque facteur au dénominateur soit différent de |0.|
||\dfrac{-(x-2)(x+2)}{\color{#3b87cd}{(x-2)}}\times \dfrac{-x}{2\color{#3a9a38}{(x+2)}}||
||\begin{align}\color{#3b87cd}{x-2}&\neq 0\\x&\neq2 \end{align}||
||\begin{align}\color{#3a9a38}{x+2}&\neq 0\\x&\neq-2 \end{align}||
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Effectuer la multiplication
||\begin{align}&\dfrac{-(x-2)(x+2)}{(x-2)}\times \dfrac{-x}{2(x+2)}\\\\=&\ \dfrac{-(-x)(x-2)(x+2)}{2(x-2)(x+2)}\end{align}||
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Simplifier les facteurs communs dans la fraction résultante
||\begin{align}&= \dfrac{-(-x)\cancel{(x-2)}\cancel{(x+2)}}{2\cancel{(x-2)}\cancel{(x+2)}}\\&= \dfrac{-(-x)}{2}\\&= \dfrac{x}{2}\end{align}||
Réponse : Le résultat de la multiplication |\dfrac{4-x^2}{x-2}\times \dfrac{-x}{2x+4}| est |\dfrac{x}{2}| où |x\neq2| et |x\neq-2.|
Trouve le résultat de la multiplication suivante.||\dfrac{x^2+3x+2}{2x^2+13x+20} \times \dfrac{x^2+7x+12}{2x^2+7x+6}||
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Factoriser les polynômes au numérateur et au dénominateur de chacune des fractions
Les 4 polynômes se factorisent par la technique du produit-somme.
||\begin{gather}x^2+3x+2\\\\
\begin{aligned}\text{Produit}&=1\times 2\\&=2\\ &=\color{#3b87cd}{1}\times \color{#3b87cd}{2}\end{aligned}\quad\begin{aligned}\text{Somme} &=3\\ &=\color{#3b87cd}{1}+\color{#3b87cd}{2}\\ \phantom{=} \end{aligned}\\\\
x^2+3x+2=(x+\color{#3b87cd}{1})(x+\color{#3b87cd}{2})\end{gather}||
||\begin{gather}x^2+7x+12\\\\
\begin{aligned}\text{Produit}&=1\times12\\&=12\\ &=\color{#3b87cd}{3}\times \color{#3b87cd}{4}\end{aligned}\quad\begin{aligned}\text{Somme} &=7\\ &=\color{#3b87cd}{3}+\color{#3b87cd}{4}\\ \phantom{=} \end{aligned}\\\\
x^2+7x+12=(x+\color{#3b87cd}{3})(x+\color{#3b87cd}{4})\end{gather}||
||\begin{gather}2x^2+13x+20\\\\
\begin{aligned}\text{Produit}&=2\times 20\\&=40\\ &=\color{#3b87cd}{5}\times \color{#3b87cd}{8}\end{aligned}\qquad\begin{aligned}\text{Somme} &=13\\ &=\color{#3b87cd}{5}+\color{#3b87cd}{8}\\ \phantom{=} \end{aligned}\\\\
\begin{aligned}2x^2+13x+20&=2x^2+\color{#3b87cd}{5}x+\color{#3b87cd}{8}x+20\\&=x(2x+5)+4(2x+5)\\&=(x+4)(2x+5)\end{aligned}\end{gather}||
||\begin{gather}2x^2+7x+6\\\\
\begin{aligned}\text{Produit}&=2\times 6\\&=12\\ &=\color{#3b87cd}{3}\times \color{#3b87cd}{4}\end{aligned}\qquad\begin{aligned}\text{Somme} &=7\\ &=\color{#3b87cd}{3}+\color{#3b87cd}{4}\\ \phantom{=} \end{aligned}\\\\
\begin{aligned}2x^2+7x+6&=2x^2+\color{#3b87cd}{3}x+\color{#3b87cd}{4}x+6\\&=x(2x+3)+2(2x+3)\\&=(x+2)(2x+3)\end{aligned}\end{gather}||
On a maintenant la multiplication des 2 fractions suivantes.||\dfrac{(x+1)(x+2)}{(2x+5)(x+4)} \times \dfrac{(x+3)(x+4)}{(2x+3)(x+2)}||
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Poser toutes les restrictions
Il faut que chaque facteur au dénominateur soit différent de |0.|
||\dfrac{(x+1)(x+2)}{\color{#3b87cd}{(2x+5)}\color{#3a9a38}{(x+4)}} \times \dfrac{(x+3)(x+4)}{\color{#fa7921}{(2x+3)}\color{#ec0000}{(x+2)}}||
||\begin{align}\color{#3b87cd}{2x+5} &\neq 0\\ x&\neq -\dfrac{5}{2}\end{align}||
||\begin{align}\color{#3a9a38}{x+4} &\neq\ 0\\ x &\neq -4\end{align}||
||\begin{align}\color{#fa7921}{2x+3} &\neq 0\\ x &\neq -\dfrac{3}{2}\end{align}||
||\begin{align}\color{#ec0000}{x+2} &\neq 0\\ x &\neq -2\end{align}||
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Effectuer la multiplication
||\begin{align}&\dfrac{(x+1)(x+2)}{(2x+5)(x+4)}\times \dfrac{(x+3)(x+4)}{(2x+3)(x+2)}\\\\=&\ \dfrac{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}{(2x+5)(x+4)(2x+3)(x+2)}\end{align}||
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Simplifier les facteurs communs dans la fraction résultante
||\begin{align}&=\dfrac{(x+1)\cancel{(x+2)}(x+3)\cancel{(x+4)}}{(2x+5)\cancel{(x+4)}(2x+3)\cancel{(x+2)}}\\\\ &=\dfrac{(x+1)(x+3)}{(2x+5)(2x+3)}\end{align}||
Réponse : Le résultat de la multiplication |\dfrac{x^2+3x+2}{2x^2+13x+20} \times \dfrac{x^2+7x+12}{2x^2+7x+6}| est |\dfrac{(x+1)(x+3)}{(2x+5)(2x+3)}| où |x\neq -\dfrac{5}{2},| |x\neq -4,| |x\neq -\dfrac{3}{2}| et |x\neq -2.|
Il est parfois demandé de donner la réponse de la multiplication sous la forme d’une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Il faut alors multiplier, si possible, les facteurs. La réponse de l’exemple précédent serait donc la suivante.||\begin{align}\dfrac{(x+1)(x+3)}{(2x+5)(2x+3)}&=\dfrac{x^2+3x+x+3}{4x^2+6x+10x+15}\\&=\dfrac{x^2+4x+3}{4x^2+16x+15}\end{align}||
Lorsqu’il y a beaucoup de restrictions, il est possible d’utiliser la notation |\notin.| Les restrictions du calcul de l’exemple précédent pourraient s’écrire de la façon suivante.||x\notin\left\{-4, -\dfrac{5}{2},-2,-\dfrac{3}{2}\right\}||