La division de fractions rationnelles

1. Factoriser les polynômes au numérateur et au dénominateur de chacune des fractions, si possible.

2. Poser toutes les restrictions (les dénominateurs et le numérateur du diviseur doivent être différents de 0).

3. Effectuer la division en la transformant en multiplication.

4. Simplifier les facteurs communs dans la fraction résultante, si possible.

Pourquoi cherche-t-on les restrictions au numérateur du diviseur?

Dans une expression rationnelle, on doit poser une restriction à tous les polynômes qui se retrouvent au dénominateur.||\dfrac{a}{\color{#ec0000}b}\div\dfrac{c}{\color{#ec0000}d}\ \Rightarrow\ \color{#ec0000}b\ne 0\ \text{et}\ \color{#ec0000}d\ne 0||Lorsqu’on transforme la division en multiplication par l’inverse du diviseur, le numérateur du diviseur se retrouve au dénominateur. C’est pourquoi on doit s’assurer d’exclure les valeurs pour lesquelles ce dernier est nul.||\dfrac{a}{\color{#ec0000}b}\times\dfrac{\color{#ec0000}d}{\color{#fa7921}c}\ \Rightarrow\ \color{#ec0000}b\ne 0,\ \color{#ec0000}d\ne 0\ \underline{\text{et}\ \color{#fa7921}c\ne0}||

Trouve le résultat de la division suivante.||\dfrac{c^3-9c}{c^3} \div \dfrac{c+3}{c}||

1. Factoriser les polynômes au numérateur et au dénominateur de chacune des fractions
   On peut factoriser le numérateur de la 1^re fraction à l’aide d’une mise en évidence simple, puis d’une différence de carrés.||\begin{align}c^3-9c&=c\,(c^2-9)\\&=c\,(c-3)(c+3)\end{align}||On a maintenant la division des 2 fractions suivantes.||\dfrac{c\, (c-3) (c+3)}{c^3} \div \dfrac{c+3}{c}||

2. Poser toutes les restrictions
   Il faut que les 2 dénominateurs ainsi que le numérateur de la 2^e fraction soient différents de |0.|||\dfrac{c\, (c-3) (c+3)}{\color{#3b87cd}{c^3}} \div \dfrac{\color{#ec0000}{c+3}}{\color{#3a9a38}c}||

3. Effectuer la division en la transformant en multiplication
   ||\begin{align}&\dfrac{c\, (c-3) (c+3)}{c^3} \div \dfrac{c+3}{c}\\\\=&\ \dfrac{c\, (c-3) (c+3)}{c^3} \times \dfrac{c}{c+3}\\\\=&\ \dfrac{c^2\, (c-3) (c+3)}{c^3(c+3)}\end{align}||

4. Simplifier les facteurs communs dans la fraction résultante
   ||\begin{align}&=\dfrac{\cancel{c^2}(c-3)\cancel{(c+3)}}{\cancel{c^2}(c)\cancel{(c+3)}}\\\\ &=\dfrac{c-3}{c}\end{align}||

Réponse : Le résultat de la division |\dfrac{c^3-9c}{c^3} \div \dfrac{c+3}{c}| est |\dfrac{c-3}{c},| où |c\neq0| et |c\neq-3.|

Trouve le résultat de la division suivante.||\dfrac{x^2+8x+16}{2x^3+8x^2-3x-12} \div \dfrac{x+4}{2}||

1. Factoriser les polynômes au numérateur et au dénominateur de chacune des fractions
   On peut factoriser le numérateur de la 1^re fraction, puisqu’il s’agit d’un trinôme carré parfait. Le dénominateur de la 1^re fraction se factorise à l’aide d’une mise en évidence double.

On a maintenant la division des 2 fractions suivantes.||\dfrac{(x+4)(x+4)}{(x+4)(2x^2-3)} \div \dfrac{x+4}{2}||

2. Poser toutes les restrictions
   Il faut que les 2 dénominateurs ainsi que le numérateur de la 2^e fraction soient différents de |0.|||\dfrac{(x+4)(x+4)}{\color{#3b87cd}{(x+4)}\color{#ec0000}{(2x^2-3)}} \div \dfrac{\color{#3b87cd}{x+4}}{2}||

3. Effectuer la division en la transformant en multiplication
   ||\begin{align}&\dfrac{(x+4)(x+4)}{(x+4)(2x^2-3)} \div \dfrac{x+4}{2}\\\\=&\ \dfrac{(x+4)(x+4)}{(x+4)(2x^2-3)} \times \dfrac{2}{x+4}\\\\=&\ \dfrac{2(x+4)(x+4)}{(x+4)(2x^2-3)(x+4)} \end{align}||

4. Simplifier les facteurs communs dans la fraction résultante
   ||\begin{align}&=\dfrac{2\cancel{(x+4)}\cancel{(x+4)}}{\cancel{(x+4)}(2x^2-3)\cancel{(x+4)}}\\\\&= \dfrac{2}{2x^2-3}\end{align}||

Réponse : Le résultat de la division |\dfrac{x^2+8x+16}{2x^3+8x^2-3x-12} \div \dfrac{x+4}{2}| est |\dfrac{2}{2x^2-3},| où |x\neq-4| et |x\neq\pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}.|