La valeur absolue d'un nombre est sa valeur numérique lorsqu’on ne tient pas compte de son signe.
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La valeur absolue de |125| est |125.|
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La valeur absolue de |-18| est |18.|
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La valeur absolue de |-\dfrac{3}{5}| est |\dfrac{3}{5}.|
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La valeur absolue de |-10{,}8| est |10{,}8.|
La valeur absolue d’un nombre est toujours positive.
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Si un nombre est positif, la valeur absolue de ce nombre est égale au nombre lui-même.
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Si un nombre est négatif, la valeur absolue de ce nombre est égale à son opposé.
Qu’en est-il lorsqu’on fait des opérations arithmétiques avec des valeurs absolues? C’est ce qu’on vérifie dans les 2 prochains exemples.
Est-ce que la valeur absolue de |-5+3| est égale à la somme des valeurs absolues de |-5| et de |3|?
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On effectue d’abord l’opération |-5+3| qui donne |-2.| On détermine ensuite que la valeur absolue de |-2| est |\boldsymbol{2}.|
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La valeur absolue de |-5| est |5| et celle de |3| est |3.| On effectue ensuite l’opération |5+3,| qui donne |\boldsymbol{8}.|
Réponse : La valeur absolue de |-5+3| n’est pas égale à la somme des valeurs absolues de |-5| et de |3.|
Donne l’opposé de la valeur absolue de |-2{,}5| et la valeur absolue de l’opposé de |-2{,}5.|
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La valeur absolue de |-2{,}5| est |2{,}5.| L’opposé de |2{,}5| est |\boldsymbol{-2{,}5}.|
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L’opposé de |-2{,}5| est |2{,}5.| La valeur absolue de |2{,}5| est |\boldsymbol{2{,}5}.|
Si on détermine la valeur absolue des nombres avant d’effectuer une opération mathématique, on n’obtient pas nécessairement le même résultat que si on la détermine après l’opération. En effet, la valeur absolue de la somme de 2 nombres n’est pas toujours égale à la somme de la valeur absolue des 2 nombres. C’est la même chose pour la soustraction et pour l’utilisation d’autres concepts comme celui de nombre opposé.
Il faut donc respecter la priorité des opérations lorsqu’on travaille avec des valeurs absolues. Celles-ci ont le même niveau de priorité que les parenthèses.
La valeur absolue d'un nombre permet de considérer ce nombre sans tenir compte de son signe.
Autrement dit, si un nombre |x| est positif, alors la valeur absolue de |x| est |x,| mais si |x| est négatif, alors la valeur absolue de |x| est son opposé, soit |-x.| Il s’agit en fait de la définition de la valeur absolue qu’on retrouve ci-dessous.
La valeur absolue d'un nombre réel |x,| notée |\vert x \vert,| est la suivante. ||\vert x \vert = \begin{cases}\ \ \ x &\text{si} &x \geq 0\\-x &\text{si} &x < 0\end{cases}||
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|\vert 125\vert = 125|
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|\vert\! -18\vert = 18|
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|\left\vert -\dfrac{3}{5}\right\vert = \dfrac{3}{5}|
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|-\vert\!-6\vert=-6|
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|\vert\! -2\times 45\vert = \vert\!-90\vert = 90|
On se sert de cette définition pour résoudre les équations contenant une valeur absolue. Par exemple, l’équation |\vert x\vert = y| signifie que |x=y| ou que |x=-y.| Autrement dit, il y a toujours 2 solutions à considérer lorsqu’on résout une telle équation.
En s'appuyant sur la définition de la valeur absolue, on peut déduire des propriétés qui sont importantes à connaitre lorsqu'on travaille avec la fonction valeur absolue.
| Propriété | Exemple |
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La restriction sur la valeur absolue||\vert x\vert \geq 0|| |
|\vert\! -1{,}3\vert =1{,}3| et |1{,}3\geq 0| |
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La valeur absolue de nombres opposés||\vert x\vert = \vert\! -x\vert|| |
||\begin{align}\vert 4{,}5\vert &= \vert\! -4{,}5\vert \\ 4{,}5&=4{,}5\end{align}|| |
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La valeur absolue d'un produit||\vert x\times y\vert = \vert x\vert \times \vert y\vert|| |
||\begin{align}\vert\! -2\times 6{,}4\vert &= \vert\! -2\vert \times \vert 6{,}4\vert \\ \vert\! -12{,}8\vert &= 2\times 6{,}4\\ 12{,}8 &= 12{,}8\end{align}|| |
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La valeur absolue d'un quotient |\left\vert \dfrac{x}{y}\right\vert =\dfrac{\vert x \vert}{\vert y\vert}| si |y\neq 0| |
||\begin{align}\left\vert\dfrac{-12{,}3}{2}\right\vert &= \dfrac{\vert\! -12{,}3\vert}{\vert 2\vert}\\ \vert\! -6{,}15\vert &= \dfrac{12{,}3}{2}\\ 6{,}15 &= 6{,}15\end{align}|| |
Les 2 dernières propriétés permettent de voir que la valeur absolue d’un produit (ou d’un quotient) de nombres est égale au produit (ou au quotient) des valeurs absolues de ces nombres. Toutefois, cela ne s’applique pas à l’addition ni à la soustraction. Voici quelques exemples.
||\begin{align}\vert\!-5 + 2\vert &\overset{?}{=} \vert\!-5\vert + \vert 2\vert\\ \vert\!-3 \vert &\overset{?}{=} 5 + 2\\3&\color{#ec0000}{\boldsymbol\neq}7 \end{align}||
||\begin{align}\vert\!-4 + -6\vert &\overset{?}{=} \vert\!-4\vert + \vert\! -6\vert\\ \vert\!-10 \vert &\overset{?}{=} 4 + 6\\10&\color{#3a9a38}{\boldsymbol=}10 \end{align}||
||\begin{align}\vert\!-10 -6\vert &\overset{?}{=} \vert\!-10\vert - \vert6\vert\\ \vert\!-16 \vert &\overset{?}{=} 10 - 6\\16&\color{#ec0000}{\boldsymbol\neq}4 \end{align}||
En fait, la valeur absolue d’une somme de nombres est toujours plus petite ou égale à la somme des valeurs absolues de ces nombres. Cette propriété, qu’on appelle l’inégalité triangulaire, se traduit par l’inéquation suivante. ||\vert x + y\vert \leq \vert x\vert + \vert y\vert||Pour ce qui est de la soustraction, on a plutôt la propriété suivante. ||\vert x - y\vert \geq \big\vert\vert x\vert - \vert y\vert\big\vert||
La première propriété, soit la restriction sur la valeur absolue, est utilisée pour vérifier si une équation contenant une valeur absolue a une solution valide ou non.
Par exemple, |\vert x \vert=-6| est une équation qui n’a aucune solution, car elle ne respecte pas la restriction |\vert x\vert \geq 0.| En effet, la valeur absolue de n’importe quel nombre réel |x| ne peut jamais être égale à un nombre négatif.
Les exemples qui suivent montrent l'application des propriétés de la valeur absolue dans des expressions algébriques.
Remarque : Il est important de respecter les priorités des opérations. À ce propos, l’application de la valeur absolue se fait au même niveau de priorité que les parenthèses. Aussi, il est permis d’additionner, de soustraire ou de simplifier des valeurs absolues seulement si elles sont identiques.
Exemple 1
Dans cet exemple, on applique la propriété de la valeur absolue d’un produit pour simplifier l’expression.
||\begin{align}3\vert\!\color{#3b87cd}{-5}\color{#3a9a38}{(x-4)}\vert&=3\times\color{#3b87cd}{\vert\!-5\vert}\times\color{#3a9a38}{\vert x-4\vert}\\&=3\times5\times\vert x-4\vert\\&=15\vert x-4\vert\end{align}||
Exemple 2
Ici, on applique la propriété de la valeur absolue d’un produit, puis on additionne les termes semblables pour simplifier l’expression.
||\begin{align}\vert-2x+10\vert-6\vert x-5\vert&=\vert\color{#3b87cd}{-2}\color{#3a9a38}{(x-5)}\vert-6\vert x-5\vert\\&=\vert\color{#3b87cd}{-2}\vert\times\vert\color{#3a9a38}{x-5}\vert-6\vert x-5\vert\\&=2\color{#fa7921}{\vert x-5\vert}-6\color{#fa7921}{\vert x-5\vert}\\&=-4\vert x-5\vert\end{align}||
Exemple 3
On applique encore la propriété de la valeur absolue d’un produit. Ensuite, on effectue la division en la transformant en multiplication. Finalement, on simplifie les facteurs communs.
||\begin{align}\dfrac{\vert\! -5x+25\vert}{\vert 6x-21\vert}\div\dfrac{\vert x-5\vert}{\vert 2x-7\vert} &=\dfrac{\vert\! -5(x-5)\vert}{\vert 3(2x-7)\vert}\times\dfrac{\vert 2x-7\vert}{\vert x-5\vert}\\ &=\dfrac{\vert\! -5\vert\times\cancel{\vert x-5\vert}\times\cancel{\vert 2x-7\vert}}{\vert3\vert\times\cancel{\vert 2x-7\vert}\times\cancel{\vert x-5\vert}}\\ &=\dfrac{5}{3} \end{align}||
Exemple 4
Dans ce dernier exemple, on applique encore la propriété de la valeur absolue d’un produit, puis celle de la valeur absolue d’un quotient. Finalement, on simplifie les facteurs communs.
||\begin{align}\dfrac{\vert 12 -3x\vert}{\vert 5x-20\vert}&=\dfrac{\vert -3x+12\vert}{\vert5x-20\vert}\\ &=\dfrac{\boldsymbol\vert -3(x-4)\boldsymbol\vert}{\boldsymbol\vert5(x-4)\boldsymbol\vert}\\ &=\left\vert\dfrac{ -3\cancel{(x-4)}}{5\cancel{(x-4)}}\right\vert\\ &=\left\vert\dfrac{ -3}{5}\right\vert\\ &=\dfrac{3}{5} \end{align}||