La priorité des opérations est une convention qui établit un ordre à respecter pour effectuer les calculs dans une chaine d'opérations.
Lorsque plusieurs opérations sont présentes dans un calcul, on parle alors de chaine d'opérations. Cette chaine correspond à une suite d'opérations mathématiques qui doivent être effectuées dans un ordre précis qui suit la priorité des opérations.
Voici l'ordre de priorité des opérations qu'il faut respecter :
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Les Parenthèses
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Les Exposants
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Les Multiplications et les Divisions (de la gauche vers la droite)
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Les Additions et les Soustractions (de la gauche vers la droite)
Pour se souvenir de l'ordre, on peut prendre les premières lettres de chacune des étapes et former un mot : PEMDAS.
Voici deux exemples pour comprendre les étapes à suivre pour la priorité des opérations :
Exemple sans exposant
On commence par les parenthèses. Dans chaque parenthèse, on doit débuter par l'opération la plus importante.
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Dans la parenthèse de gauche, on commence par la multiplication.
|(8+\color{red}{2\times 2})\div(12\div4+3)| -
Dans la parenthèse de droite, on fait la division.
|(8+4)\div(\color{red}{12\div4}+3)| -
Dans chaque parenthèse, on termine par l'addition.
|(\color{red}{8+4})\div(\color{red}{3+3})| -
Il ne reste plus qu'à faire la division.
|\color{red}{12\div6}|
|2|
Exemple avec exposant
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Les parenthèses
|(10+\color{red}{2\times(-1)})\times2^{3}-4\times(2\times2)\div8|
|(10+-2)\times2^{3}-4\times(\color{red}{2\times2})\div8|
|(\color{red}{10+-2})\times2^{3}-4\times(4)\div8|
|8\times2^{3}-4\times4\div8| -
Les exposants
|8\times\color{red}{2^{3}}-4\times4\div8|
|8\times(2\times2\times2)-4\times4\div8|
|8\times8-4\times4\div8| -
Les multiplications et les divisions (de la gauche vers la droite)
|\color{red}{8\times8}-\color{red}{4\times4}\div8|
|64-\color{red}{16\div8}|
|64-2| -
Les additions et les soustractions (de la gauche vers la droite)
|\color{red}{64-2}|
|62|
Il peut parfois y avoir plusieurs niveaux de parenthèses. Il faut alors effectuer les opérations entre parenthèses qui sont à l'intérieur d'autres parenthèses.
|9^2 \div (21-18) + 7 \times \big(16 - (9 + 5)\big)^2|
-
Les parenthèses
|9^2 \div (21-18) + 7 \times \big(16 - (\color{red}{9 + 5})\big)^2|
|9^2 \div (\color{red}{21-18}) + 7 \times (\color{red}{16 - 14})^2|
|9^2 \div 3 + 7 \times 2^2| -
Les exposants
|\color{red}{9^2} \div 3 + 7 \times \color{red}{2^2}|
|81 \div 3 + 7 \times 4| -
Les multiplications et les divisions (de gauche à droite)
|\color{red}{81 \div 3} + 7 \times 4|
|27 + \color{red}{7 \times 4}|
|27 + 28| -
Les additions et les soustractions (de gauche à droite)
|\color{red}{27 + 28}|
|55|
La priorité des opérations sur les fractions est la même que pour les nombres entiers. Cependant, il faut connaître la démarche spécifique à suivre pour chaque opération (la multiplication, la division, l'addition et la soustraction).
Chacun des liens suivants mène à la bonne démarche à suivre pour effectuer chacune des opérations.
||\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\div\dfrac{1}{4}\right)+ \left(\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{2}\right)||
-
On commence par les opérations dans les parenthèses. Ici, on doit commencer par la division dans la parenthèse de gauche.
|\left(\dfrac{1}{2}+\color{red}{\dfrac{1}{3}\div\dfrac{1}{4}}\right)+\left(\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{2}\right)|
|\left(\dfrac{1}{2}+\color{red}{\dfrac{1}{3}\times\dfrac{4}{1}}\right)+\left(\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{2}\right)|
|\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{3}\right)+\left(\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{2}\right)| -
On fait la multiplication dans la parenthèse de droite.
|\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{3}\right)+\left(\color{red}{\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{2}}\right)|
|\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{3}\right)+\dfrac{3}{8}| -
On fait l'addition dans la parenthèse de gauche.
|\left(\color{red}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{3}}\right)+\dfrac{3}{8}|
|\left(\color{red}{\dfrac{3}{6}+\dfrac{8}{6}}\right)+\dfrac{3}{8}|
|\dfrac{11}{6}+\dfrac{3}{8}| -
On termine par l'addition.
|\color{red}{\dfrac{11}{6}+\dfrac{3}{8}}|
|\color{red}{\dfrac{44}{24}+\dfrac{9}{24}}|
|\dfrac{53}{24}|