Lorsqu’on ajoute les paramètres |a,| |b,| |h| et |k| à la forme de base |f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}|, on obtient ce qu'on appelle la forme canonique (aussi appelée forme transformée) de la fonction rationnelle.
La forme canonique de la fonction rationnelle est ||f(x) = \displaystyle \frac{a}{b(x-h)}+k|| où |a,| |b,| |h| et |k| sont des nombres réels jouant le rôle de paramètres.
Remarque : Les paramètres |a| et |b| doivent être différents de |0.|
On peut exprimer la règle d’une fonction rationnelle transformée avec seulement trois paramètres. En effet, on peut transformer la règle de la fonction rationnelle de la façon suivante : ||\begin{align}f(x) &= \dfrac{\color{red}{a}}{\color{orange}{b}(x-\color{blue}{h})}+\color{green}{k}\\\\f(x) &= \dfrac{\dfrac{\color{red}{a}}{\color{orange}{b}}}{(x-\color{blue}{h})}+\color{green}{k}\\\\f(x) &= \dfrac{\color{salmon}{A}}{(x-\color{blue}{h})}+\color{green}{k}\\\\ \end{align}||
Tu peux modifier les paramètres |a,| |b,| |h| et |k| dans l'animation interactive qui suit pour voir leurs effets sur la fonction valeur absolue. Observe bien les modifications qui s'opèrent sur la courbe transformée (en noir) par rapport à la fonction de base (en bleu). Tu peux en profiter pour observer l'effet de la modification des paramètres sur les propriétés de la fonction. Par la suite, tu pourras poursuivre la lecture de la fiche pour avoir toutes les précisions sur chacun des paramètres.
Lorsque |{\mid}a{\mid} >1:|
Plus la valeur absolue du paramètre |a| est grande, plus la courbe de la fonction rationnelle s’éloigne de ses asymptotes.
Lorsque |0< {\mid}a{\mid} <1:|
Plus la valeur absolue du paramètre |a| est petite (près de 0), plus la courbe de la fonction rationnelle se rapproche de ses asymptotes.
Lorsque |{\mid}b{\mid} >1:|
Plus la valeur absolue du paramètre |b| est grande, plus la courbe se rapproche de ses asymptotes.
Lorsque |0< {\mid}b{\mid} <1:|
Plus la valeur absolue du paramètre |b| est petite (près de 0), plus la courbe s’éloigne de ses asymptotes.
Le paramètre |a| et le paramètre |b| sont aussi responsables de l’orientation du graphique.
Lorsque |a| et |b| sont de même signe |(ab>0):|
La fonction est décroissante sur les deux intervalles de son domaine. Les branches de l’hyperbole se situent dans le premier et le troisième quadrant.
Lorsque |a| et |b| sont de signes contraires |(ab<0):|
La fonction est croissante sur les deux intervalles de son domaine. Les branches de l’hyperbole se situent dans le deuxième et le quatrième quadrant.
Lorsque |h| est positif |(h>0):|
La courbe de la fonction rationnelle se déplace vers la droite.
Lorsque |h| est négatif |(h<0):|
La courbe de la fonction rationnelle se déplace vers la gauche.
Lorsque |k| est positif |(k>0):|
La courbe de la fonction rationnelle se déplace vers le haut.
Lorsque |k| est négatif |(k<0):|
La courbe de la fonction rationnelle se déplace vers le bas.
Les asymptotes d'une fonction rationnelle ont comme équations |x=h| et |y=k|.
Dans le graphique suivant, les asymptotes sont en pointillés.
