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Les chances pour qu'un évènement se produise correspondent au rapport entre le nombre de résultats favorables et le nombre de résultats défavorables.||\text{Chances pour}=\dfrac{\text{Nombre de résultats favorables}}{\text{Nombre de résultats défavorables}}||
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Les chances contre qu'un évènement se produise correspondent au rapport entre le nombre de résultats défavorables et le nombre de résultats favorables.||\text{Chances contre}=\dfrac{\text{Nombre de résultats défavorables}}{\text{Nombre de résultats favorables}}||
Remarque : Ces définitions et formules sont valables dans le cas où tous les résultats possibles sont équiprobables.
On lance un dé à |6| faces et on s’intéresse à l’évènement « obtenir un |2| ou un |5| ».
a) Quelles sont les chances pour?
b) Quelles sont les chances contre?
a) Il y a |2| cas favorables, soit « obtenir un |2| » et « obtenir un |5| ». Le nombre de cas défavorables est égal au nombre de possibilités d’obtenir un chiffre différent de |2| et de |5.| Il y a donc |4| résultats défavorables. Les chances pour sont de |2:4| (ou |1:2| en rapport réduit).
b) Comme il y a |4| cas défavorables et |2| cas favorables, les chances contre sont de |4:2| (ou |2:1| si on réduit le rapport).
Les chances pour et les chances contre ne sont pas des probabilités. En effet, la valeur d’une chance notée sous la forme d’une fraction peut être supérieure à |1,| ce qui n’est jamais le cas lorsqu’on calcule des probabilités. Par contre, il est possible de trouver la probabilité associée à ces chances en effectuant la division entre les résultats favorables ou défavorables et le nombre de résultats possibles.
La notation utilisée pour représenter les chances pour et les chances contre peut porter à confusion. En effet, les rapports peuvent s’écrire sous la forme |\dfrac{a}{b}| ou sous la forme |a:b.| Dans les 2 cas, il s’agit de la comparaison entre 2 quantités de même nature.
Dans le cas d’une probabilité, il s’agit plutôt de la partie d’un tout. Dans ce cas, la notation utilisée est généralement |\dfrac{a}{b}.|
Pour éviter toute confusion dans cette fiche, on utilise la notation |a:b| pour les chances pour et contre et la notation |\dfrac{a}{b}| pour les probabilités.
Si on a un rapport de chances pour |a:b,| où |a| est le nombre de résultats favorables et |b| est le nombre de résultats défavorables, alors la probabilité est de |\dfrac{a}{a+b}.|
Un analyste sportif réputé évalue les chances pour de l'équipe locale de remporter son prochain match à |1:4.| Un journaliste reprend l'information en affirmant que la probabilité d’une victoire a été évaluée à |25\ \%| par l'analyste sportif en question. Est-ce que le journaliste a bien rapporté l'information?
L'analyste sportif croit qu'il n'y a qu'un seul scénario où il voit l'équipe locale l'emporter contre |4| scénarios où il envisage leur défaite. Le nombre total de scénarios possibles selon sa prédiction est donc de |1+4=5.|
La probabilité d’une victoire est, quant à elle, le rapport du nombre de cas favorables par rapport au nombre de cas possibles.||P(\text{Victoire})=\dfrac{1}{5}=20\ \%||
Réponse : Le journaliste n'a donc pas correctement rapporté les propos de l'analyste sportif.
Comme on peut le voir dans le dernier exemple, une chance pour de |1:4| n'équivaut pas à une probabilité de |\dfrac{1}{4}.| Le tableau suivant présente une liste de cas qu'on peut rencontrer.
|
Chances pour |
Probabilité (pour) |
Chances contre |
Probabilité (contre) |
|---|---|---|---|
|
|1:1| |
|\dfrac{1}{2}=50\ \%| |
|1:1| |
|\dfrac{1}{2}=50\%| |
|
|1:2| |
|\dfrac{1}{3}=33{,}\overline{3}\ \%| |
|2:1| |
|\dfrac{2}{3}=66{,}\overline{6}\ \%| |
|
|1:3| |
|\dfrac{1}{4}=25\ \%| |
|3:1| |
|\dfrac{3}{4}=75\ \%| |
|
|1:4| |
|\dfrac{1}{5}=20\ \%| |
|4:1| |
|\dfrac{4}{5}=80\ \%| |
|
|1:5| |
|\dfrac{1}{6}=16{,}\overline{6}\ \%| |
|5:1| |
|\dfrac{5}{6}=83{,}\overline{3}\ \%| |
|
|1:9| |
|\dfrac{1}{10}=10\ \%| |
|9:1| |
|\dfrac{9}{10}=90\ \%| |
Il est impossible d'exprimer un évènement certain en chances pour, puisque la probabilité est égale à |1.|
En effet, si la probabilité est de |1,| cela signifie qu’il n’y a pas de cas défavorables. Par exemple, s’il y a |3| cas favorables et |0| cas défavorable, en appliquant la définition des chances pour, on obtient le rapport |3:0,| ce qui est impossible, car on ne peut pas diviser par |0.|