Les expériences aléatoires avec remise et sans remise

On pige |2| billes dans un sac qui contient |3| billes bleues et |1| bille rouge.

La probabilité que la 1^re bille pigée soit rouge est de |\dfrac{1}{4},| car il y a |1| bille rouge parmi un total de |4| billes.

Ce n’est pas toujours évident de savoir si une expérience aléatoire se fait avec ou sans remise. Parfois, il faut analyser le contexte pour le déduire. Voici quelques exemples.

Certaines expériences aléatoires peuvent être avec remise ou sans remise, selon le contexte. Voici quelques exemples.

• Tirer |1| carte d’un jeu de 52 cartes. On peut remettre ou non la carte dans le paquet après l’avoir pigée.

• Tirer |1| bille dans un sac. On peut remettre ou non la bille dans le sac après l’avoir pigée.

Lorsqu’on analyse une expérience aléatoire à plusieurs étapes avec ou sans remise, il faut aussi vérifier si on doit tenir compte ou non de l’ordre.

Une expérience aléatoire à plusieurs étapes avec remise est une expérience dans laquelle chaque résultat obtenu lors d’une étape revient à l’étape suivante.

Dans une expérience aléatoire à plusieurs étapes avec remise, les probabilités ne changent pas d’une étape à l’autre. On dit alors que les évènements sont indépendants.

On pige |1| bille dans un sac contenant |7| billes de couleurs différentes. Ensuite, on remet la bille dans le sac, puis on pige une 2^e bille.

Puisqu’on remet la 1^re bille dans le sac après l’avoir pigée, les résultats possibles sont les mêmes pour la 2^e pige. 

Les probabilités de piger une bille d’une certaine couleur restent donc les mêmes à chaque étape. De plus, on peut dire que le résultat de chaque pige est indépendant du précédent.

Julie participe à un tirage où elle court la chance de gagner une bicyclette. Lors du tirage, Julie doit piger un carton de couleur dans un bocal opaque qui contient |3| cartons verts et |5| cartons rouges. Ensuite, elle doit remettre le carton dans le bocal, puis piger un second carton. Afin de gagner le tirage, Julie doit piger |2| cartons verts.

Quelle est la probabilité que Julie remporte la bicyclette?

Cette expérience aléatoire se fait avec remise, puisque Julie doit piger un carton, le remettre dans le bocal, puis en piger un 2^e. Ainsi, le nombre total de cartons ne change pas d’une étape à l’autre.

On commence par calculer la probabilité de chaque choix possible à la 1^re pige.||\begin{align}P(\text{vert})&=\dfrac{\text{Nombre de cartons verts}}{\text{Nombre total de cartons}}\\&=\dfrac{3}{8}\\\\P(\text{rouge})&=\dfrac{\text{Nombre de cartons rouges}}{\text{Nombre total de cartons}}\\&=\dfrac{5}{8}\end{align}||Puisque l’expérience se fait avec remise, les probabilités pour la 2^e pige restent les mêmes.

Ensuite, on calcule la probabilité associée à chaque résultat possible en multipliant la probabilité à la 1^re étape avec la probabilité à la 2^e étape.||\begin{align}P(\text{vert, vert})&=\dfrac{3}{8}\times\dfrac{3}{8}=\dfrac{9}{64}\\P(\text{vert, rouge})&=\dfrac{3}{8}\times\dfrac{5}{8}=\dfrac{15}{64}\\P(\text{rouge, vert})&=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{3}{8}=\dfrac{15}{64}\\P(\text{rouge, rouge})&=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{5}{8}=\dfrac{25}{64}\end{align}||Pour s’aider à répondre à la question, on peut construire un diagramme en arbre.

Réponse : La probabilité que Julie remporte la bicyclette est de |\dfrac{9}{64},| soit environ |14\ \%.|

Une expérience aléatoire à plusieurs étapes sans remise est une expérience dans laquelle chaque résultat obtenu lors d’une étape ne revient pas à l’étape suivante.

Dans une expérience aléatoire à plusieurs étapes sans remise, les probabilités changent d’une étape à l’autre. On dit alors que les évènements sont dépendants.

On pige |1| bille dans un sac contenant |7| billes de couleurs différentes. Ensuite, on pige une 2^e bille, sans remettre la 1^re dans le sac.

Puisqu’on ne remet pas la 1^re bille dans le sac après l’avoir pigée, les résultats possibles sont différents à la 2^e pige. 

Les probabilités de piger une bille d’une certaine couleur sont donc aussi différentes à chaque étape. De plus, on peut dire que le résultat de chaque pige est dépendant du précédent.

Julie participe à un tirage où elle court la chance de gagner une bicyclette. Lors du tirage, Julie doit piger |2| cartons de couleur dans un bocal opaque qui contient |3| cartons verts et |5| cartons rouges. Afin de gagner le tirage, Julie doit piger |2| cartons verts.

Quelle est la probabilité que Julie remporte la bicyclette?

Cette expérience aléatoire se fait sans remise, puisqu’il n’y a pas d’indication que Julie doit remettre le 1^er carton pigé dans le bocal. Ainsi, le nombre total de cartons change d’une étape à l’autre.

On commence par calculer la probabilité de chaque choix possible à la 1^re pige.||\begin{align}P(\text{vert})&=\dfrac{\text{Nombre de cartons verts}}{\text{Nombre total de cartons}}\\&=\dfrac{3}{8}\\\\P(\text{rouge})&=\dfrac{\text{Nombre de cartons rouges}}{\text{Nombre total de cartons}}\\&=\dfrac{5}{8}\end{align}||Puisque l’expérience se fait sans remise, les probabilités changent à la 2^e étape. En effet, il y a |1| carton en moins dans le bocal, ce qui implique que le dénominateur des fractions passe de |8| à |7| et que le numérateur diminue de |1| en fonction du résultat obtenu à la 1^re étape.

Ensuite, on calcule la probabilité associée à chaque résultat possible en multipliant la probabilité à la 1^re étape avec la probabilité à la 2^e étape.||\begin{align}P(\text{vert, vert})&=\dfrac{3}{8}\times\dfrac{2}{7}=\dfrac{6}{56}\\P(\text{vert, rouge})&=\dfrac{3}{8}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{15}{56}\\P(\text{rouge, vert})&=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{3}{7}=\dfrac{15}{56}\\P(\text{rouge, rouge})&=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{4}{7}=\dfrac{20}{56}\end{align}||Pour s’aider à répondre à la question, on peut construire un diagramme en arbre.

Réponse : La probabilité que Julie remporte la bicyclette est de |\dfrac{6}{56},| soit environ |11\ \%.|

Lors de son anniversaire, Forrest se fait offrir par sa maman une boite contenant |10| chocolats. Elle sait que Forrest mangerait tous les chocolats d’un seul coup, alors sa maman lui suggère plutôt de fermer les yeux et d’en manger |3| au hasard. Dans la boite, il y a |4| chocolats noirs |(N),| |4| chocolats au lait |(L)| et |2| chocolats blancs |(B).|

Quelle est la probabilité que Forrest mange un chocolat de chaque type?

Cette expérience aléatoire se fait sans remise, puisque Forrest ne peut pas remettre les chocolats dans la boite après les avoir mangés. Ainsi, le nombre total de chocolats change d’une étape à l’autre. De plus, on ne doit pas tenir compte de l’ordre, puisqu’on s’intéresse seulement au type des chocolats mangés par Forrest.

On commence par calculer la probabilité de chaque choix possible à la 1^re étape.||\begin{align}P(N)&=\dfrac{\text{Nombre de chocolats noirs}}{\text{Nombre total de chocolats}}\\&=\dfrac{4}{10}\\\\P(L)&=\dfrac{\text{Nombre de chocolats au lait}}{\text{Nombre total de chocolats}}\\&=\dfrac{4}{10}\\\\P(B)&=\dfrac{\text{Nombre de chocolats blancs}}{\text{Nombre total de chocolats}}\\&=\dfrac{2}{10}\end{align}||Puisque l’expérience se fait sans remise, les probabilités changent à la 2^e étape. En effet, il y a |1| chocolat en moins dans la boite, ce qui implique que le dénominateur des fractions passe de |10| à |9| et que le numérateur diminue de |1| en fonction du résultat obtenu à la 1^re étape. Il en va de même à la 3^e étape.

Pour s’aider à répondre à la question, on peut construire un diagramme en arbre.

Ensuite, on identifie, dans le diagramme en arbre, les résultats possibles qui correspondent à l’évènement « manger un chocolat de chaque type ». Ces résultats possibles sont les suivants.||\begin{aligned}&(N,L,B)&&(N,B,L)\\&(L,N,B)&&(L,B,N)\\&(B,N,L)&&(B,L,N)\end{aligned}||On calcule d’abord les probabilités de chacun de ces résultats à l’aide du principe multiplicatif.||\begin{align}P(N,L,B)&=\dfrac{4}{10}\times\dfrac{4}{9}\times\dfrac{2}{8}=\dfrac{32}{720}\\P(N,B,L)&=\dfrac{4}{10}\times\dfrac{2}{9}\times\dfrac{4}{8}=\dfrac{32}{720}\\P(L,N,B)&=\dfrac{4}{10}\times\dfrac{4}{9}\times\dfrac{2}{8}=\dfrac{32}{720}\\P(L,B,N)&=\dfrac{4}{10}\times\dfrac{2}{9}\times\dfrac{4}{8}=\dfrac{32}{720}\\P(B,N,L)&=\dfrac{2}{10}\times\dfrac{4}{9}\times\dfrac{4}{8}=\dfrac{32}{720}\\P(B,L,N)&=\dfrac{2}{10}\times\dfrac{4}{9}\times\dfrac{4}{8}=\dfrac{32}{720}\\\end{align}||On additionne toutes les fractions ensemble.||\begin{align}P\left(\begin{gathered}\text{manger un chocolat}\\\text{de chaque type}\end{gathered}\right)&=\dfrac{32}{720}+\dfrac{32}{720}+\dfrac{32}{720}+\dfrac{32}{720}+\dfrac{32}{720}+\dfrac{32}{720}\\&=6\times\dfrac{32}{720}\\&=\dfrac{192}{720}\end{align}||Finalement, on réduit la fraction.||\begin{align}P\left(\begin{gathered}\text{manger un chocolat}\\\text{de chaque type}\end{gathered}\right)&=\dfrac{192\boldsymbol{\color{#ec0000}{\div48}}}{720\boldsymbol{\color{#ec0000}{\div48}}}\\&=\dfrac{4}{15}\end{align}||Réponse : La probabilité que Forrest mange au hasard un chocolat de chaque type est de |\dfrac{4}{15},| soit |26{,}\overline{6}\ \%.|