La fonction sinus est une fonction périodique représentée par un motif qui se répète qu’on appelle un cycle. Pour la tracer, on construit un rectangle permettant d’encadrer un cycle, puis on le reproduit.
Avant de tracer cette fonction, il importe de définir certains termes et leurs liens avec les paramètres |a,| |b,| |h| et |k| de la règle de la fonction sinus : |f(x)=a\sin\!\big(b(x-h)\big)+k.|
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Définition |
Lien avec les paramètres |
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La période |\color{#333fb1}{(p)}| correspond à l’écart entre les 2 valeurs de |x| aux extrémités d’un cycle. |
On détermine la période grâce au paramètre |b.| ||\color{#333fb1}p=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}|| |
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L’axe d’oscillation (aussi appelé ordonnée moyenne) correspond à la droite horizontale passant au milieu de la fonction. |
On détermine l’axe d’oscillation grâce au paramètre |k.| |\color{#3a9a38}{\text{Axe d'oscillation}}:| |y=k| |
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Les points d’inflexion sont tous les points qui croisent l’axe d’oscillation. |
Dans un cycle, on retrouve 3 points d’inflexion. Généralement, le premier point d’inflexion du cycle correspond au couple |(h,k).| |
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L’amplitude |\color{#fa7921}{(A)}| correspond à la distance verticale entre l’axe d’oscillation et un extrémum. |
On détermine l’amplitude grâce au paramètre |a.| ||\color{#fa7921}A=\vert a\vert||Les extrémums se déterminent grâce à l’amplitude et au paramètre |k.| ||\begin{align}\max&=k+\color{#fa7921}A\\\min&=k-\color{#fa7921}A\end{align}|| |
Pour tracer un cycle d’une fonction sinus, il est préférable de débuter en |(h,k),| un point d’inflexion, afin de terminer à un autre point d’inflexion. Le cycle est encadré d’un rectangle, délimité par la période et l’amplitude. Il est ensuite séparé en 4 parties égales. Chacune d'entre elles est délimitée par un point d'inflexion et un extrémum.
Pour tracer une fonction sinus, on suit les étapes suivantes.
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Déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et l’axe d’oscillation.
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Déterminer le maximum et le minimum.
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Tracer l’axe d’oscillation et des droites horizontales au maximum et au minimum.
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Placer le point |(h,k),| puis tracer le rectangle et les points d’inflexion.
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Déterminer la variation à l’aide de |a| et de |b,| puis tracer un premier cycle.
Si |a| et |b| sont de même signe, la fonction est croissante à partir de |(h,k).|
Si |a| et |b| sont de signes contraires, la fonction est décroissante à partir de |(h,k).| -
Tracer la fonction en poursuivant la courbe sur le reste du plan cartésien.
Trace la fonction sinus dont la règle est |f(x)=1{,}5\sin\left(\dfrac{\pi}{4}(x-2)\right)-4.|
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Déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et l’axe d’oscillation
Selon la règle, on peut identifier les paramètres : |a=1{,}5,| |b=\dfrac{\pi}{4},| |h=2| et |k=-4.|
|\begin{align}\color{#fa7921}A&=\vert a\vert \\&=\vert1{,}5\vert\\ &=\color{#fa7921}{1{,}5}\end{align}|
|\begin{align}\color{#333fb1}p&=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}\\&=\dfrac{2\pi}{\vert\frac{\pi}{4}\vert}\\ &=2\pi \times \dfrac{4}{\pi}\\&=\color{#333fb1}8 \end{align}|
|\begin{align}\color{#a8a39e}{\text{Déphasage}}&=h\\&=\color{#a8a39e}2\end{align}|
|\begin{align}\color{#3a9a38}{\text{Axe d'oscillation}}:y&=k\\ \color{#3a9a38}{y}&\color{#3a9a38}{=}\color{#3a9a38}{-4}\end{align}|
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Déterminer le maximum et le minimum
|\begin{align}\max&=k+\color{#fa7921}A\\&=-4+\color{#fa7921}{1{,}5}\\&=-2{,}5\end{align}|
|\begin{align}\min&=k-\color{#fa7921}A\\&=-4-\color{#fa7921}{1{,}5}\\&=-5{,}5\end{align}|
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Tracer l’axe d’oscillation et des droites horizontales au maximum et au minimum
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Placer le point |(h,k),| puis tracer le rectangle et les points d’inflexion||(h,k)=(2,-4)||Pour trouver le point d’inflexion à la fin du rectangle, on ajoute la période à la coordonnée en |x| du point |(h,k).|||h+\color{#333fb1}p=2+\color{#333fb1}8=10||Le point d’inflexion à la fin du cycle est donc à |(10,-4).| On place un autre point d’inflexion au milieu du rectangle, soit à |(6,-4).| On le sépare ensuite en 4 parties égales.
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Déterminer la variation et tracer un premier cycle
Puisque |a| et |b| sont de même signe, la fonction est croissante dans la première partie du cycle.
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Tracer la fonction en poursuivant la courbe sur le reste du plan cartésien
Pour graduer adéquatement les axes, il importe d’analyser la période (déterminée à l’étape 1) et les extrémums (déterminés à l’étape 2).
Graduer l’axe des |x|
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Puisque la période est séparée en 4 parties égales, il faut idéalement que le pas de graduation en |x| soit au plus égal à |\color{#EC0000}{\dfrac{1}{4}}\color{#333fb1}p.| Dans l’exemple précédent, on a fait une graduation de |1| unité, étant donné que la période est de |8.| Une graduation de |2| unités aurait pu fonctionner, mais à ce moment, le tracé aurait été plus rapproché.
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Il arrive que la période soit un multiple de |\pi,| comme lorsqu’on utilise des angles qui se mesurent en radians. Dans ces situations, on peut graduer l’axe des |x| en utilisant |\pi.| Par exemple, si la période est de |\color{#333fb1}{2\pi},| la graduation pourrait être de |\dfrac{\pi}{2}.|||\color{#EC0000}{\dfrac{1}{4}}\color{#333fb1}p=\color{#EC0000}{\dfrac{1}{4}}{\color{#333fb1}{(2\pi)}}=\dfrac{\pi}{2}||
À ce moment, on obtient la graduation ci-contre.
Par la suite, si on le désire, on peut réduire les fractions.
Graduer l’axe des |y|
On gradue l’axe des |y| en fonction du maximum et du minimum. Il suffit de trouver une graduation qui permet d’avoir assez d’espace pour tracer un cycle.
Trace la fonction sinus dont la règle est |f(x)=-5\sin\left(\dfrac{8}{3}\left(x+\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)+2.|
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Déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et l’axe d’oscillation
Selon la règle, on peut identifier les paramètres : |a=-5,| |b=\dfrac{8}{3},| |h=-\dfrac{3\pi}{4}| et |k=2.|
|\begin{align}\color{#fa7921}A&=\vert a\vert \\&=\vert-5\vert\\ &=\color{#fa7921}{5}\end{align}|
|\begin{align}\color{#333fb1}p&=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}\\&=\dfrac{2\pi}{\vert\frac{8}{3}\vert}\\&=2\pi \times \dfrac{3}{8}\\&=\color{#333fb1}{\dfrac{3\pi}{4}} \end{align}|
|\begin{align}\color{#a8a39e}{\text{Déphasage}}&=h\\&=\color{#a8a39e}{-\dfrac{3\pi}{4}}\end{align}|
|\begin{align}\color{#3a9a38}{\text{Axe d'oscillation}}:y&=k\\ \color{#3a9a38}{y}&\color{#3a9a38}{=}\color{#3a9a38}{2}\end{align}|
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Déterminer le maximum et le minimum
|\begin{align}\max&=k+\color{#fa7921}A\\&=2+\color{#fa7921}{5}\\&=7\end{align}|
|\begin{align} \min&=k-\color{#fa7921}A\\&=2-\color{#fa7921}{5}\\&=-3\end{align}|
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Tracer l’axe d’oscillation et des droites horizontales au maximum et au minimum
Dans l’image ci-contre, on a tracé l’axe d’oscillation et des droites aux valeurs maximale et minimale.
Puisque la période est de |\color{#333fb1}{\dfrac{3\pi}{4}},| la graduation en |x| choisie est de |\dfrac{3\pi}{16}.|||\color{#EC0000}{\dfrac{1}{4}}\color{#333fb1}{p}=\color{#EC0000}{\dfrac{1}{4}}\color{#333fb1}{\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)}=\dfrac{3\pi}{16}||
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Placer le point |(h,k),| puis tracer le rectangle et les points d’inflexion||(h,k)=\left(-\dfrac{3\pi}{4},2\right)||Pour trouver le point d’inflexion à la fin du rectangle, on ajoute la période à la coordonnée en |x| du point |(h,k).|||h+\color{#333fb1}p=-\dfrac{3\pi}{4}+\color{#333fb1}{\dfrac{3\pi}{4}}=0||Le point d’inflexion à la fin du cycle est donc à |(0,2).| On place un autre point d’inflexion au milieu du rectangle, soit à |\left(-\dfrac{3\pi}{8},2\right).| On le sépare ensuite en 4 parties égales.
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Déterminer la variation et tracer un premier cycle
Puisque |a| et |b| sont de signes contraires, la fonction est décroissante dans la première partie du cycle.
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Tracer la fonction en poursuivant la courbe sur le reste du plan cartésien
