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Secondaire 5
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Mathématiques
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réciproque
fonction sinus
codomaine de arcsin
domaine de arcsin
graphique de arcsin
image de arcsin
calculer la réciproque
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Corps

La réciproque de la fonction sinus de base est la fonction arc sinus qui s'intéresse à la mesure des angles (en radians) du cercle trigonométrique en fonction de l’ordonnée des points du cercle.

Contenu
Corps

La règle de la fonction arc sinus de base est |f(x)=\arcsin (x).| On note aussi cette fonction |f(x)=\sin^{-1}(x).|

Remarque : Il ne faut pas confondre la notation |\sin^{-1}(x)| avec |\dfrac{1}{\sin (x)}.|

Titre (niveau 2)
Les propriétés de la fonction arc sinus de base
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Nombre de colonnes
2 colonnes
Format
50% / 50%
Première colonne
Corps

Voici un résumé des propriétés de la fonction |\arcsin (x).|

  • La fonction passe à l’origine du plan cartésien.

  • Le domaine de la fonction est |[-1,1].|

  • L’image (codomaine) est |\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right].|

  • La fonction est croissante sur son domaine.

Deuxième colonne
Image
La fonction arc sinus de base dans un plan cartésien
Contenu
Corps

La réciproque d’une fonction sinus n’est pas une fonction. Pour qu’elle le devienne, on doit restreindre son image.

Dans le plan cartésien ci-dessous, on a tracé la fonction sinus de base. Pour tracer sa réciproque, on interchange les coordonnées |x| et |y| des points de la fonction. On peut aussi effectuer une réflexion des points par rapport à la droite d’équation |y=x.| Par exemple, le point |\left(\dfrac{\pi}{2},1\right)| devient le point |\left(1,\dfrac{\pi}{2}\right)\!.|

En procédant ainsi, on obtient une autre courbe, qui n’est pas une fonction. En limitant l’image de la réciproque à l’intervalle |\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\!,| on obtient la fonction arc sinus.
 

Image
La courbe obtenue par réflexion de la fonction sinus avec la droite y=x
Titre (niveau 2)
Trouver la règle de la réciproque d'une fonction sinus
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Corps

Pour trouver la règle de la réciproque d’une fonction sinus, on suit les étapes suivantes.

Contenu
Corps
  1. Interchanger |x| et |y| dans la règle.

  2. Isoler la variable |y.|

  3. Donner la règle de la réciproque.

Contenu
Corps

Détermine la règle de la réciproque de la fonction |f(x)=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(x-\pi)\right)-5.|

  1. Interchanger |x| et |y| dans la règle ||\begin{align}\color{#3B87CD}y&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#FF55C3}x-\pi)\right)-5\\ \color{#FF55C3}x&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)-5\end{align}||

  2. Isoler la variable |y| ||\begin{align}x&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)-5\\x+5&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)\\ \dfrac{x+5}{-2}&=\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)\end{align}||

Pour isoler |y,| il faut éliminer |\sin| en effectuant l’opération inverse, |\sin^{-1}.|||\begin{align}\color{#EC0000}{\sin^{-1}\!\left(\color{black}{\dfrac{x+5}{-2}}\right)}&=\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\\3\sin^{-1}\!\left(\dfrac{x+5}{-2}\right)&=\color{#3B87CD}y-\pi\\3\sin^{-1}\!\left(\dfrac{x+5}{-2}\right)+\pi&=\color{#3B87CD}y\end{align}||Il est possible de simplifier l’écriture en travaillant dans les parenthèses. En effet, la division par |-2| peut aussi s’écrire comme une multiplication par |-\dfrac{1}{2}.|||\begin{align}3\sin^{-1}\!\left(\color{#EC0000}{\dfrac{x+5}{-2}}\right)+\pi&=y\\ 3\sin^{-1}\!\left(\color{#EC0000}{-\dfrac{1}{2}(x+5)}\right)+\pi&=y\end{align}||

  1. Donner la règle de la réciproque

La règle de la réciproque de la fonction sinus est la suivante. ||f^{-1}(x)=3\sin^{-1}\!\left(-\dfrac{1}{2}(x+5)\right)+\pi||

Remarque : Pour que la réciproque devienne une fonction, on doit limiter son image.

Corps

Voici la représentation graphique de la fonction sinus de l’exemple précédent, dont la règle est |f(x)=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(x-\pi)\right)-5.|

Afin que la réciproque puisse devenir une fonction, on limite son image. Dans cet exemple, on doit limiter l’image à l’intervalle |\color{#333fb1}{\left[-\dfrac{7\pi}{2},-\dfrac{\pi}{2}\right]}.|

Image
On limite l’image de la réciproque d’une fonction sinus afin qu’elle puisse devenir une fonction.
Titre (niveau 2)
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