La réciproque de la fonction sinus de base est la fonction arc sinus qui s'intéresse à la mesure des angles (en radians) du cercle trigonométrique en fonction de l’ordonnée des points du cercle.
La règle de la fonction arc sinus de base est |f(x)=\arcsin (x).| On note aussi cette fonction |f(x)=\sin^{-1}(x).|
Remarque : Il ne faut pas confondre la notation |\sin^{-1}(x)| avec |\dfrac{1}{\sin (x)}.|
Voici un résumé des propriétés de la fonction |\arcsin (x).|
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La fonction passe à l’origine du plan cartésien.
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Le domaine de la fonction est |[-1,1].|
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L’image (codomaine) est |\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right].|
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La fonction est croissante sur son domaine.
La réciproque d’une fonction sinus n’est pas une fonction. Pour qu’elle le devienne, on doit restreindre son image.
Dans le plan cartésien ci-dessous, on a tracé la fonction sinus de base. Pour tracer sa réciproque, on interchange les coordonnées |x| et |y| des points de la fonction. On peut aussi effectuer une réflexion des points par rapport à la droite d’équation |y=x.| Par exemple, le point |\left(\dfrac{\pi}{2},1\right)| devient le point |\left(1,\dfrac{\pi}{2}\right)\!.|
En procédant ainsi, on obtient une autre courbe, qui n’est pas une fonction. En limitant l’image de la réciproque à l’intervalle |\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\!,| on obtient la fonction arc sinus.
Pour trouver la règle de la réciproque d’une fonction sinus, on suit les étapes suivantes.
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Interchanger |x| et |y| dans la règle.
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Isoler la variable |y.|
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Donner la règle de la réciproque.
Détermine la règle de la réciproque de la fonction |f(x)=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(x-\pi)\right)-5.|
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Interchanger |x| et |y| dans la règle ||\begin{align}\color{#3B87CD}y&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#FF55C3}x-\pi)\right)-5\\ \color{#FF55C3}x&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)-5\end{align}||
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Isoler la variable |y| ||\begin{align}x&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)-5\\x+5&=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)\\ \dfrac{x+5}{-2}&=\sin\left(\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\right)\end{align}||
Pour isoler |y,| il faut éliminer |\sin| en effectuant l’opération inverse, |\sin^{-1}.|||\begin{align}\color{#EC0000}{\sin^{-1}\!\left(\color{black}{\dfrac{x+5}{-2}}\right)}&=\dfrac{1}{3}(\color{#3B87CD}y-\pi)\\3\sin^{-1}\!\left(\dfrac{x+5}{-2}\right)&=\color{#3B87CD}y-\pi\\3\sin^{-1}\!\left(\dfrac{x+5}{-2}\right)+\pi&=\color{#3B87CD}y\end{align}||Il est possible de simplifier l’écriture en travaillant dans les parenthèses. En effet, la division par |-2| peut aussi s’écrire comme une multiplication par |-\dfrac{1}{2}.|||\begin{align}3\sin^{-1}\!\left(\color{#EC0000}{\dfrac{x+5}{-2}}\right)+\pi&=y\\ 3\sin^{-1}\!\left(\color{#EC0000}{-\dfrac{1}{2}(x+5)}\right)+\pi&=y\end{align}||
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Donner la règle de la réciproque
La règle de la réciproque de la fonction sinus est la suivante. ||f^{-1}(x)=3\sin^{-1}\!\left(-\dfrac{1}{2}(x+5)\right)+\pi||
Remarque : Pour que la réciproque devienne une fonction, on doit limiter son image.
Voici la représentation graphique de la fonction sinus de l’exemple précédent, dont la règle est |f(x)=-2\sin\left(\dfrac{1}{3}(x-\pi)\right)-5.|
Afin que la réciproque puisse devenir une fonction, on limite son image. Dans cet exemple, on doit limiter l’image à l’intervalle |\color{#333fb1}{\left[-\dfrac{7\pi}{2},-\dfrac{\pi}{2}\right]}.|