Une équation du second degré à une variable est une équation qui peut être ramenée à la forme |ax^2+bx+c=0| où |x| est la variable, |a \in \mathbb{R}^*| et |b,c \in \mathbb{R}|.
Lorsque l'on résout une telle équation, on tente de déterminer les valeurs de la variable |x| qui sont des solutions de l'équation |ax^2+bx+c=0.|
Le nombre de solutions d'une équation |ax^2+bx+c=0| est indiqué par la valeur du discriminant |(b^2-4ac)| de celle-ci. En effet :
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Si |b^2-4ac>0| |
L'équation possède deux solutions distinctes. |
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Si |b^2-4ac=0| |
L'équation possède une seule solution. |
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Si |b^2-4ac<0| |
L'équation ne possède aucune solution. |
Les principales étapes de cette méthode de résolution sont :
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On ramène l'équation du second degré à une variable sous la forme |ax^2+bx+c=0|, si ce n'est pas déjà le cas.
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On évalue le discriminant |b^2-4ac| et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre. En effet, si |b^2-4ac<0|, il n'y a pas de solution.
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Si |b^2-4ac \geq 0|, on vérifie s'il est aisément possible de factoriser.
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On applique la règle du produit nul pour trouver les valeurs de |x| recherchées.
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On donne l'ensemble-solution.
Soit l'équation |2x^2+9x+5=-4|.
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On ramène l'équation sous la forme |ax^2+bx+c=0| en additionnant 4 à chaque membre de l'égalité. ||2x^2+9x+5=-4\ \rightarrow\ 2x^2+9x+9=0||
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On évalue le discriminant |b^2-4ac| où |a=2, b=9| et |c=9.| ||b^2-4ac=(9)^2-4(2)(9) = 9||
On peut poursuivre puisque le discriminant est positif. -
On peut factoriser |2x^2+9x+9| grâce à la méthode du produit-somme. ||2x^2+9x+9=0\ \rightarrow\ (x+3)(2x+3)=0||
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On applique la règle du produit nul.||x+3 = 0\ \Rightarrow\ x=-3|| ||\text{ou}|| ||2x+3 = 0 \Rightarrow\ x=-\frac{3}{2}||
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Les deux solutions de l'équation de départ sont donc |-3| et |-\dfrac{3}{2}.|
Les principales étapes de cette méthode de résolution sont :
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On ramène l'équation du second degré à une variable sous la forme |ax^2+bx+c=0,| si ce n'est pas déjà le cas.
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On évalue le discriminant |b^2-4ac| et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre. En effet, si |b^2-4ac<0,| l'équation n'a aucune solution.
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On applique la règle du produit nul pour trouver les valeurs de |x| recherchées.
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On donne l'ensemble-solution.
Soit l'équation |2x^2=-3x+5|.
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On ramène l'équation sous la forme |ax^2+bx+c=0| en additionnant |3x| et en soustrayant |5| de chaque côté de l'égalité. ||2x^2=-3x+5\ \rightarrow\ 2x^2+3x-5=0||
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On évalue le discriminant |b^2-4ac| où |a=2, b=3| et |c=-5.| ||b^2-4ac = 3^2-4(2)(-5) = 49||
On peut poursuivre puisque le discriminant est non nul. -
On peut factoriser |2x^2+3x-5| en complétant le carré. ||\begin{align} 2x^2+3x-5=0\ &\rightarrow\ 2\left(x+\frac{10}{4}\right)\left(x-\frac{4}{4}\right)=0\\ &\rightarrow\ \left(x+\frac{5}{2}\right)(x-1)=0 \end{align}||
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On applique la règle du produit nul. ||x + \dfrac{5}{2} = 0\ \Rightarrow\ x = -\dfrac{5}{2}|| ||\text{ou}|| ||x-1 = 0\ \Rightarrow\ x =1||
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L'ensemble-solution est |\left\lbrace -\dfrac{5}{2}, 1 \right\rbrace.|
Les principales étapes de cette méthode de résolution sont :
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On ramène l'équation du second degré à une variable sous la forme |ax^2+bx+c=0|, si ce n'est pas déjà le cas.
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On évalue le discriminant |b^2-4ac| et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre.
En effet, si |b^2-4ac<0,| l'équation n'a aucune solution. -
On utilise la formule quadratique |\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.|
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On donne l'ensemble-solution.
Soit l'équation |x^2-4x-20=0|.
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L'équation est déjà sous la bonne forme.
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On calcule le discriminant |b^2-4ac| où |a=1,b=-4| et |c=-20.|
|b^2-4ac= (-4)^2 - 4(1)(-20) = 96|
On peut donc poursuivre. -
On utilise la formule quadratique.
|x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{--4 \pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(-20)}}{2 \times 1}|
|x_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{96}}{2}|
On sépare l'équation en deux.
|x_1 = \dfrac{4 + \sqrt{96}}{2} \approx 6{,}9|
ou
|x_2 = \dfrac{4 - \sqrt{96}}{2} \approx -2{,}9| -
Les solutions sont |-2{,}9| et |6{,}9.|
Une inéquation du second degré à une variable est une inéquation qui peut être ramenée à l'une des formes ci-dessous :
|ax^2+bx+c>0|
|ax^2+bx+c<0|
|ax^2+bx+c \geq 0|
|ax^2+bx + c \leq 0|
|a(x-h)^2+k >0|
|a(x-h)^2+k<0|
|a(x-h)^2+k \geq 0|
|a(x-h)^2+k \leq 0|
où |x| est la variable, |a \in \mathbb{R}^*| et |b,c \in \mathbb{R}|
Lorsqu'on résout une telle inéquation, on tente de déterminer les valeurs de la variable |x| qui sont des solutions de l'une des inéquations de l'encadré précédent.
Contrairement aux équations, s'il n'y a pas de zéros, cela ne veut pas dire que l'inéquation n'a pas d'ensemble-solution.
Résolution à l'aide d'un graphique
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Représenter graphiquement l'inéquation en y indiquant l'ensemble-solution.
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Déterminer les coordonnées des points d'intersection en résolvant le système d'équations.
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Déduire l'intervalle des valeurs de |x| qui respectent l'inéquation.
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<html><body><p>En résumé, il suffit de tracer le graphique en lien avec la situation pour ensuite résoudre le système d'équations en utilisant une des <a href="/fr/eleves/bv/mathematiques/la-factorisation-d-un-polynome-m1077">méthodes de factorisation d'un polynôme</a>.</p>
</body></html>
Soit l'inéquation |-3x^2-5x+7 \geq 2x+1|.
1. Représenter graphiquement l'inéquation en y indiquant l'ensemble-solution.
Dans le cas présent, on s'intéresse à la section de la fonction du second degré qui est plus grande ou égale à la fonction linéaire. En raison du signe d'inéquation, les points d'intersection sont représentés par des points pleins.
2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection en résolvant le système d'équations.
||\begin{align}
-3x^2-5x + 7 \geq 2x + 1 \Rightarrow & -3x^2 - 5x + 7 && = && 2x+1 \\
& -3x^2 - 7x + 6 && = && 0 \\
& -3x^2 -9x + 2x + 6 && = && 0 \\
& -3x (x + 3) + 2 (x+3) && = && 0 \\
& (x+3) (-3x + 2) && = && 0 \\
& (x+3) = 0 && \text{OU} && -3x + 2 = 0 \\
& x = -3 && \text{OU} && x = \frac{2}{3} \end{align}||
Fait à noter, la méthode de factorisation produit-somme a été utilisée et il n'est pas nécessaire, dans cet exemple, de trouver les valeurs en |y| de chacune des coordonnées.
3. Déterminer l'intervalle des valeurs de |x| qui respectent l'inéquation.
Selon le graphique précédent, on en déduit que les valeurs de |x| doivent se situer dans l'intervalle |[-3, \frac{2}{3}]|.
En procédant de cette façon, on peut parfois trouver l'ensemble-solution recherché dès la première étape.
Soit l'inéquation |2(x-1)^2+3<0|.
1. Représenter graphiquement l'inéquation en y indiquant l'ensemble-solution.
On peut tout de suite conclure que l'ensemble-solution est vide, c'est-à-dire qu'il n'y a aucune valeur de |x| qui respectent l'inéquation.
Remarque :
Toutefois, si l'inéquation de départ avait plutôt été |2(x-1)^2+3>0|, alors l'ensemble-solution aurait été l'ensemble des nombres réels, noté |\mathbb{R}|.
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Transformer l'inéquation pour que le membre de droite soit zéro.
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Factoriser le trinôme.
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Déterminer la valeur de |x| qui annule chaque facteur.
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Bâtir un tableau des signes à 4 rangées et à 6 colonnes.
- Dans la première colonne, on a |x|, les deux binômes et l'expression algébrique complète.
- Dans les cases 3 et 5, on place les valeurs de |x| trouvées à l'étape 3 en ordre croissant.
- On place des |0| sous les valeurs de |x| qui annulent le facteur correspondant. -
Remplir les rangées 2 et 3 avec des signes |+| et |-| selon la valeur du binôme.
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Compléter la dernière rangée en multipliant les rangées 2 et 3.
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Donner l'ensemble-solution.
Soit l'inéquation |2x^2-10 >-x|.
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On transforme l'inéquation pour que le membre de droite soit zéro.
|2x^2 -10 > -x \ \ \Rightarrow\ \ 2x^2+x-10>0| -
On factorise le trinôme.
|\begin{align} 2x^2+x-10 &>0\\ 2x^2+5x-4x-10 &>0\\ x(2x+5)-2(2x+5) &>0\\ (2x+5)(x-2)&>0 \end{align}| -
On détermine la valeur de |x| qui annule chaque facteur.
|\begin{align}2x+5=0 \ \ &\Rightarrow\ \ x_1=-\dfrac{5}{2}\\x-2=0 \ \ &\Rightarrow\ \ x_2=2\end{align}| -
On bâtit un tableau des signes.
|x| |-\dfrac{5}{2}| |2| |2x+5| |0| |x-2| |0| |(2x+5)(x-2)| -
On remplit les rangées 2 et 3 avec des signes |+| et |-| selon la valeur du binôme.
Pour l'expression |2x+5|, comme le coefficient devant le |x| est positif, il s'agit d'une droite croissante. Donc, la valeur de l'expression est négative avant son zéro |(x_1=-\frac{5}{2})| et positive après. Dans le tableau, on place donc le signe |-| dans la case située avant |-\frac{5}{2}| et le signe |+| dans les cases après.
Pour l'expression |x-2|, la pente est également positive. On place donc le signe |-| dans les cases qui précèdent son zéro |(x_2=2)| et le signe |+| après.
On a maintenant le tableau suivant :|x| |-\dfrac{5}{2}| |2| |2x+5| |-| |0| |+| |+| |+| |x-2| |-| |-| |-| |0| |+| |(2x+5)(x-2)|
Il y a toujours un changement de signe de part et d'autre d'un zéro. On aurait aussi pu déterminer les signes en calculant la valeur de l'expression avec une valeur |x| au choix (le nombre |0| est souvent un bon choix). -
On obtient la dernière rangée en multipliant les rangées 2 et 3.
La loi des signes dit que le produit de 2 signes contraires donne un |-,| tandis que le produit de 2 signes identiques donne un |+.| De plus, si on multiplie quoi que ce soit par |0,| on obtient nécessairement |0.|
Le tableau est maintenant complété :|x| |-\dfrac{5}{2}| |2| |2x+5| |-| |0| |+| |+| |+| |x-2| |-| |-| |-| |0| |+| |(2x+5)(x-2)| |+| |0| |-| |0| |+| -
On donne l'ensemble-solution.
Selon l'inéquation obtenue à l'étape 2, on doit donner l'intervalle de |x| qui fait en sorte que |(2x+5)(x-2)| est positive. De la dernière rangée de notre tableau, on déduit que l'ensemble-solution est |\left]-\infty,-\dfrac{5}{2}\right[\ \cup\ \bigg]2,+\infty\bigg[.|
Les bornes des intervalles sont exclues puisque le signe d'inégalité est |>.|
Si l'inéquation donnée est déjà sous la forme factorisée, alors l'emploi de cette méthode de résolution est très rapide puisqu'on n'a pas à tracer l'esquisse du graphique.