Pour trouver le ou les point(s) de rencontre entre une parabole et une conique, on résout un ou des système(s) d’équations de degré 2.
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Utiliser la méthode appropriée (comparaison, substitution ou réduction) afin d'obtenir une équation à une variable.
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Exprimer l’équation de sorte qu’elle soit égale à |0.|
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Résoudre l’équation pour trouver la ou les valeur(s) de la variable isolée.
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Remplacer la ou les valeur(s) obtenue(s) dans l’une des équations de départ pour obtenir la ou les valeur(s) de l’autre variable.
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Écrire les coordonnées du ou des point(s) d’intersection.
Contrairement à l'intersection entre une droite et une conique, il y a 5 cas possibles quant au nombre de solutions :
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la parabole et la conique ne se croisent pas;
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la parabole et la conique ne se croisent qu’à un endroit, qu’on nomme point de tangence;
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la parabole et la conique se croisent en 2, 3 ou 4 endroits distincts.
Dans l'animation interactive qui suit, on peut sélectionner une conique puis déplacer le curseur afin d’analyser des cas possibles.
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Utiliser la méthode appropriée pour obtenir une équation à une variable
On utilise la méthode de substitution puisque |y^2,| dans l’équation de la parabole, est déjà isolé.||\begin{align}x^2+\color{#3a9a38}{y^2}&=36\\x^2+\color{#3a9a38}{-16x}&=36\end{align}|| -
Exprimer l’équation de sorte qu’elle soit égale à |0|
||\begin{align}x^2-16x&=36\\ \color{#3B87CD}{1}x^2\color{#3A9A38}{-16}x\color{#EC0000}{-36}&=0\end{align}|| -
Résoudre l’équation
En utilisant la formule quadratique, on obtient :||\begin{align} x&=\dfrac{-\color{#3A9A38}{b}\pm\sqrt{\color{#3A9A38}{b}^2-4\color{#3B87CD}{a}\color{#EC0000}{c}}}{2\color{#3B87CD}{a}}\\\\ &=\dfrac{-(\color{#3A9A38}{-16})\pm\sqrt{(\color{#3A9A38}{-16})^2-4(\color{#3B87CD}{1})(\color{#EC0000}{-36})}}{2(\color{#3B87CD}{1})}\\\\ &=\dfrac{16\pm\sqrt{400}}{2}\\\\ x&\in\{-2,18\} \end{align}||À partir de son équation, on peut déduire que la parabole est horizontale et ouverte vers la gauche. Ainsi, on doit rejeter |x=18,| puisque la fonction n’existe pas à cette valeur.||x=-2|| -
Remplacer les valeurs obtenues dans l’une des équations de départ
||\begin{align} y^2&=-16\color{#3A9A38}{x}\\ &=-16(\color{#3A9A38}{-2})\\ &=32\\ y&=\pm\sqrt{32}\\\\ y_{\small{A}}&\approx5{,}66\\ y_{\small{B}}&\approx-5{,}66 \end{align}|| -
Écrire les coordonnées des points d’intersection
Les coordonnées des 2 points d’intersection entre la parabole |y^2=-16x| et le cercle |x^2+y^2=36| sont |A(-2;5{,}66)| et |B(-2;-5{,}66).|
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Utiliser la méthode appropriée pour obtenir une équation à une variable
On utilise la méthode de substitution puisque |x^2,| dans l’équation de la parabole, est déjà isolé.||\begin{align} \dfrac{\color{#3a9a38}{x^2}}{25}+\dfrac{y^2}{9}&=1\\\\ \dfrac{\color{#3a9a38}{12(y+3)}}{25}+\dfrac{y^2}{9}&=1\end{align}|| -
Exprimer l’équation de sorte qu’elle soit égale à |0|
||\begin{align}\dfrac{12y+36}{25}+\dfrac{y^2}{9}&=1\\\\ \dfrac{9(12y+36)}{225}+\dfrac{25y^2}{225}&=1\\\\ \dfrac{108y+324+25y^2}{225}&=1\\\\ 25y^2+108y+324&=225\\ \color{#3B87CD}{25}y^2+\color{#3A9A38}{108}y+\color{#EC0000}{99}&=0\end{align}|| -
Résoudre l’équation
En utilisant la formule quadratique, on obtient : ||\begin{align} y&=\dfrac{-\color{#3A9A38}{b}\pm\sqrt{\color{#3A9A38}{b}^2-4\color{#3B87CD}{a}\color{#EC0000}{c}}}{2\color{#3B87CD}{a}}\\\\ &=\dfrac{-(\color{#3A9A38}{108})\pm\sqrt{(\color{#3A9A38}{108})^2-4(\color{#3B87CD}{25})(\color{#EC0000}{99})}}{2(\color{#3B87CD}{25})}\\\\ &=\dfrac{-108\pm\sqrt{1\ 764}}{50}\\\\ y&\in\{-3;-1{,}32\} \end{align}|| -
Remplacer les valeurs obtenues dans l’une des équations de départ
Pour |y=-3,| on a :||\begin{align} x^2&=12(\color{#3a9a38}{y}+3)\\ &=12(\color{#3a9a38}{-3}+3)\\ &=0\\\\ x_{\small{A}}&=0
\end{align}||Quant à |y=-1{,}32,| on a :||\begin{align} x^2&=12(\color{#3a9a38}{y}+3)\\ &=12(\color{#3a9a38}{-1{,}32}+3)\\ &=20{,}16\\ x&=\pm\sqrt{20{,}16}\\\\ x_{\small{B}}&\approx-4{,}49\\ x_{\small{C}}&\approx4{,}49 \end{align}|| -
Écrire les coordonnées des points d’intersection
Les coordonnées des 3 points d’intersection entre la parabole |x^2=12(y+3)| et l’ellipse |\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1| sont |A(0,-3),| |B(-4{,}49;-1{,}32)| et |C(4{,}49;-1{,}32).|
Détermine les coordonnées du ou des point(s) d’intersection entre la parabole |x^2=-4(y-2{,}75)| et l’hyperbole |\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1.|
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Utiliser la méthode appropriée pour obtenir une équation à une variable
On utilise la méthode de substitution puisque |x^2,| dans l’équation de la parabole, est déjà isolé.||\begin{align} \dfrac{\color{#3a9a38}{x^2}}{4}-\dfrac{y^2}{9}&=1\\\\ \dfrac{\color{#3a9a38}{-4(y-2{,}75)}}{4}-\dfrac{y^2}{9}&=1\end{align}|| -
Exprimer l’équation de sorte qu’elle soit égale à |0|
||\begin{align}\dfrac{-4y+11}{4}-\dfrac{y^2}{9}&=1\\\\ \dfrac{9(-4y+11)}{36}-\dfrac{4y^2}{36}&=1\\\\ \dfrac{-36y+99-4y^2}{36}&=1\\\\ -36y+99-4y^2&=36\\ \color{#3B87CD}{4}y^2+\color{#3A9A38}{36}y\color{#EC0000}{-63}&=0\end{align}|| -
Résoudre l’équation
En utilisant la formule quadratique, on obtient : ||\begin{align} y&=\dfrac{-\color{#3A9A38}{b}\pm\sqrt{\color{#3A9A38}{b}^2-4\color{#3B87CD}{a}\color{#EC0000}{c}}}{2\color{#3B87CD}{a}}\\\\ &=\dfrac{-(\color{#3A9A38}{36})\pm\sqrt{(\color{#3A9A38}{36})^2-4(\color{#3B87CD}{4})(\color{#EC0000}{-63})}}{2(\color{#3B87CD}{4})}\\\\ &=\dfrac{-36\pm\sqrt{2\ 304}}{8}\\\\ y&\in\{-10{,}5;1{,}5\} \end{align}|| -
Remplacer les valeurs obtenues dans l’une des équations de départ
Pour |y=-10{,}5,| on a :||\begin{align} x^2&=-4(\color{#3a9a38}{y}-2{,}75)\\ &=-4(\color{#3a9a38}{-10{,}5}-2{,}75)\\ &=53\\ x&=\pm\sqrt{53}\\\\ x_{\small{A}}&\approx-7{,}28\\ x_{\small{B}}&\approx7{,}28 \end{align}||Quant à |y=1{,}5,| on a :||\begin{align} x^2&=-4(\color{#3a9a38}{y}-2{,}75)\\ &=-4(\color{#3a9a38}{1{,}5}-2{,}75)\\ &=5\\ x&=\pm\sqrt{5}\\\\ x_{\small{C}}&\approx-2{,}24\\ x_{\small{D}}&\approx2{,}24 \end{align}|| -
Écrire les coordonnées des points d’intersection
Les coordonnées des 4 points d’intersection entre la parabole |x^2=-4(y-2{,}75)| et l’hyperbole |\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1| sont |A(-7{,}28;-10{,}5),| |B(7{,}28;-10{,}5),| |C(-2{,}24;1{,}5)| et |D(2{,}24;1{,}5).|
Détermine les coordonnées du ou des point(s) d’intersection entre les paraboles |(y+4)^2=8(x-2)| et |(y-1)^2=-16(x-10).|
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Utiliser la méthode appropriée pour obtenir une équation à une variable
En général, les méthodes de comparaison ou de substitution sont les plus efficaces pour obtenir une équation à une variable. Toutefois, au lieu d’isoler une variable, on remarque que |8| est un facteur de |-16.| Ceci permettrait donc d’utiliser la méthode de réduction en multipliant l’équation |(y+4)^2=8(x-2)| par |-2| dans le but d’éliminer les termes en |x.|On développe d’abord les 2 expressions.||\begin{align} (y+4)^2&=8(x-2)\\ y^2+8y+16&=8x-16\\ \color{#EC0000}{-2}(y^2+8y+16)&=\color{#EC0000}{-2}(8x-16)\\ -2y^2-16y-32&=\color{#3B87CD}{-16}x+32\\\\ (y-1)^2&=-16(x-10)\\ y^2-2y+1&=\color{#3B87CD}{-16}x+160 \end{align}||En soustrayant les 2 équations, on a :||\begin{align} -2y^2-16y-32&=-16x+\ \ 32\\ ^{\huge{-}}\quad\quad (y^2-\ \ 2y+\ \ 1&=-16x+160)\\ \hline -3y^2-14y-33&= \ \ \ \ \ \color{#EC0000}{0x}-128 \end{align}||
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Exprimer l’équation de sorte qu’elle soit égale à |0|
||\begin{align}-3y^2-14y-33&=-128\\ \color{#3B87CD}{3}y^2+\color{#3A9A38}{14}y\color{#EC0000}{-95}&=0\end{align}|| -
Résoudre l’équation
En utilisant la formule quadratique, on obtient : ||\begin{align} y&=\dfrac{-\color{#3A9A38}{b}\pm\sqrt{\color{#3A9A38}{b}^2-4\color{#3B87CD}{a}\color{#EC0000}{c}}}{2\color{#3B87CD}{a}}\\\\ &=\dfrac{-(\color{#3A9A38}{14})\pm\sqrt{(\color{#3A9A38}{14})^2-4(\color{#3B87CD}{3})(\color{#EC0000}{-95})}}{2(\color{#3B87CD}{3})}\\\\ &=\dfrac{-14\pm\sqrt{1\ 336}}{6}\\\\ y&\in\{-8{,}43;3{,}76\} \end{align}|| -
Remplacer les valeurs obtenues dans l’une des équations de départ
On commence par isoler |x| dans l’une des équations.||\begin{align}(y+4)^2&=8(x-2)\\ \dfrac{(y+4)^2}{8}&=x-2\\ \dfrac{(y+4)^2}{8}+2&=x\end{align}||Pour |y=-8{,}43| on a :||\begin{align}x_{\small{A}}&=\dfrac{(\color{#3A9A38}{y}+4)^2}{8}+2\\\\ &=\dfrac{(\color{#3A9A38}{-8{,}43}+4)^2}{8}+2\\\\ &\approx4{,}45\end{align}||Quant à |y=3{,}76| on a :||\begin{align}
x_{\small{B}}&=\dfrac{(\color{#3A9A38}{y}+4)^2}{8}+2\\\\ &=\dfrac{(\color{#3A9A38}{3{,}76}+4)^2}{8}+2\\\\ &\approx9{,}53\end{align}|| -
Écrire les coordonnées des points d’intersection
Les coordonnées des 2 points d’intersection entre les paraboles |(y+4)^2=8(x-2)| et |(y-1)^2=-16(x-10)| sont |A(4{,}45;-8{,}43)| et |B(9{,}53;3{,}76).|
