Les zéros d'une fonction polynomiale de degré 2

On appelle zéro, ou abscisse à l'origine d'une fonction |f,| une valeur de |x| pour laquelle |f(x)=0.| Une fonction peut avoir plusieurs zéros.

Trouver les zéros d'une fonction polynomiale de degré 2 revient à trouver le ou les points d'intersection entre la parabole et l'axe des |x.| Il peut y en avoir 1, 2 ou n’y en avoir aucun.

On ne peut pas isoler directement |x| dans l’équation |0=ax^2+bx+c| puisque la variable |x| se retrouve dans 2 termes qui ne sont pas semblables.

La règle du produit nul est la suivante.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.||a \times b = 0\\ \Updownarrow\\a=0\ \ \text{ou}\ \ b=0||

1. Remplacer |f(x)| par |0.|

2. Factoriser le polynôme.

3. Appliquer la règle du produit nul.

Détermine les zéros de la fonction |f(x)=4x^2+12x+9.|

1. Remplacer |f(x)| par |0|
   ||\begin{align}f(x)&=4x^2+12x+9\\0&=4x^2+12x+9\end{align}||

2. Factoriser le polynôme
   Ce polynôme est un trinôme carré parfait. Ainsi, on obtient l’équation suivante.||\begin{align} 0&=4x^2+12x+9\\ &=(2x+3)^2\end{align}||On a donc |0=(2x+3)^2| ou |0=(2x+3)(2x+3).|

3. Appliquer la règle du produit nul
   Comme les 2 facteurs sont identiques, on peut conclure que la fonction possède un seul zéro.||\begin{align}2x+3&=0\qquad\\ 2x&=-3\\x&=-\dfrac{3}{2}\end{align}||

Réponse : Le zéro de la fonction est |-\dfrac{3}{2}.|

Détermine les zéros de la fonction |f(x)=x^2-0{,}8x-3{,}84.|

1. Remplacer |f(x)| par |0|
   ||\begin{align}f(x)&=x^2-0{,}8x-3{,}84\\0&=x^2-0{,}8x-3{,}84\end{align}||

2. Factoriser le polynôme

||\begin{align}&x^2-0{,}8x-3{,}84\\=\ &(x^2-0{,}8x\color{#3a9a38}{+0{,}16})-3{,}84\color{#3a9a38}{-0{,}16}\\=\ &(x-0{,}4)^2-4\\=\ &\big((x-0{,}4)+2\big)\big((x-0{,}4)-2 \big)\\=\ &(x+1{,}6)(x-2{,}4) \end{align}||

On a donc |0=(x+1{,}6)(x-2{,}4).|

3. Appliquer la règle du produit nul

||\begin{aligned}x+1{,}6&=0\\ x_1&=-1{,}6\end{aligned}\qquad \begin{aligned}x-2{,}4&=0\\ x_2&=2{,}4\end{aligned}||

Réponse : Les 2 zéros de la fonction sont |-1{,}6| et |2{,}4.|

Détermine les zéros de la fonction |f(x)=x^2-3x-10.|

1. Remplacer |f(x)| par |0|
   ||\begin{align}f(x)&=x^2-3x-10\\0&=x^2-3x-10\end{align}||

2. Factoriser le polynôme
   Ce polynôme se factorise avec la technique du produit-somme. On cherche 2 nombres |m| et |n| dont le produit |m \times n| doit être égal à |-10| et dont la somme |m+n| doit être égale à |-3.| En regardant les différents facteurs de |-10,| on obtient |\color{#3b87cd}m=\color{#3b87cd}{-5}| et |\color{#3b87cd}n=\color{#3b87cd}{2}.| On peut maintenant effectuer la factorisation.||\begin{align}&x^2-3x-10\\ =\ &x^2\color{#3b87cd}{-5}x+\color{#3b87cd}2x-10 \\=\ &x(x-5) + 2(x-5)\\=\ & (x-5)(x+2)\end{align}||On a donc |0=(x-5)(x+2).|

3. Appliquer la règle du produit nul
   On vérifie pour quelles valeurs de |x| chacun des facteurs vaut |0.|||\begin{aligned}x-5&=0\\ x_1&=5\end{aligned}\qquad \begin{aligned}x+2&=0\\ x_2&=-2\end{aligned}||

Réponse : Les 2 zéros de la fonction sont |-2| et |5.|

1. Remplacer |f(x)| par |0.|

2. Déterminer la valeur de |a,| |b| et |c.|

3. Appliquer la formule quadratique.

Déterminer les zéros de la fonction |f(x)=x^2-3x-10.|

1. Remplacer |f(x)| par |0|
   ||\begin{align}f(x)&=x^2-3x-10\\0&=\color{#ec0000}1x^2\color{#3b87cd}{-3}x\color{#3a9a38}{-10}\end{align}||

2. Déterminer la valeur de |a,| |b| et |c|
   ||\color{#ec0000}a=\color{#ec0000}1,\  \color{#3b87cd}b=\color{#3b87cd}{-3}, \ \color{#3a9a38}c=\color{#3a9a38}{-10}||

3. Appliquer la formule quadratique

||\begin{align}x_{1,2} &= \dfrac{-\color{#3b87cd}b \pm \sqrt{\color{#3b87cd}b^2-4\color{#ec0000}a\color{#3a9a38}c}}{2\color{#ec0000}a}\\\\ &= \dfrac{-(\color{#3b87cd}{-3}) \pm \sqrt{(\color{#3b87cd}{-3})^2-4(\color{#ec0000}1)(\color{#3a9a38}{-10})}}{2(\color{#ec0000}1)} \\ &= \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}\\ &= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}\\&= \dfrac{3 \pm 7}{2} \end{align}||À cette étape, on sépare la formule en 2 parties, une utilisant le |+| et l'autre utilisant le |-.| ||\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{3 + 7}{2}\\&=5 \end{aligned}\qquad\begin{aligned}x_2 &= \dfrac{3 - 7}{2}\\&=-2\end{aligned}||

Réponse : Les 2 zéros de la fonction sont |-2| et |5.| C’est la même réponse qu’on a obtenue à l’aide de la factorisation précédemment.

Détermine les zéros de la fonction |f(x)=2x^2+3x-4.|

1. Remplacer |f(x)| par |0|
   ||\begin{align}f(x)&=2x^2+3x-4\\0&=2x^2+3x-4\end{align}||

2. Déterminer la valeur de |a,| |b| et |c|
   ||a=2,\ b=3,\ c=-4||

3. Appliquer la formule quadratique

||\begin{align}x_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\ &= \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2-4(2)(-4)}}{2(2)} \\ &= \dfrac{-3 \pm \sqrt{9+32}}{4}\\ &= \dfrac{-3 \pm \sqrt{41}}{4}\end{align}||À cette étape, il faut extraire la racine carrée de |41.| Comme ce n’est pas un nombre carré, on sépare tout de suite la formule en 2 parties, l'une utilisant le |+| et l'autre utilisant le |-.| ||\begin{aligned} x_1 &=\dfrac{-3 + \sqrt{41}}{4}\\&\approx0{,}85 \end{aligned}\qquad\begin{aligned}x_2 &=\dfrac{-3 - \sqrt{41}}{4}\\&\approx -2{,}35\end{aligned}||

Réponse : Les zéros sont |\approx 0{,}85| et |\approx -2{,}35.| Pour avoir une réponse plus précise, on peut conserver la racine. ||\begin{align}x_1 &= \dfrac{-3 + \sqrt{41}}{4}\\ x_2&=\dfrac{-3 - \sqrt{41}}{4}\end{align}||

Détermine les zéros de la fonction |f(x)=-6x^2+2x-3.|

1. Remplacer |f(x)| par |0|
   ||\begin{align}f(x)&=-6x^2+2x-3\\0&=-6x^2+2x-3\end{align}||

2. Déterminer la valeur de |a,| |b| et |c|
   ||a=-6,\ b=2,\ c=-3||

3. Appliquer la formule quadratique

||\begin{align}x_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\  &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{(2)^2-4(-6)(-3)}}{2(-6)} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4-72}}{-12}\\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{\color{#EC0000}{-68}}}{-12} \end{align}||On ne peut pas continuer la résolution puisque le nombre sous la racine carrée est négatif. On en conclut que cette fonction n’a pas de zéro.

Réponse : La fonction n’a pas de zéro.

Il est possible de déterminer le nombre de zéros que possède une fonction polynomiale de degré 2 en analysant le discriminant dans la formule quadratique.

• Si |b^2-4ac>0,| la fonction a 2 zéros.

• Si |b^2-4ac=0,| la fonction a 1 seul zéro.

• Si |b^2-4ac<0,| la fonction n’a pas de zéro.

1. Remplacer |f(x)| par |0.|

2. Isoler les parenthèses.

3. Extraire la racine carrée des 2 côtés de l’égalité.

4. Résoudre les équations.

Lorsqu’on extrait la racine carrée d’un nombre, il y a 2 réponses : une positive et une négative.

Détermine les zéros de la fonction |f(x)=-3(x+5)^2+12.|

1. Remplacer |f(x)| par |0|
   ||\begin{align}f(x)&=-3(x+5)^2+12\\ 0&=-3(x+5)^2+12\end{align}||

2. Isoler les parenthèses
   ||\begin{align}-12&=-3(x+5)^2\\4&=(x+5)^2\end{align}||

3. Extraire la racine carrée
   ||\begin{align}\color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}4}}&=\color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{(x+5)^2}}}\\ \pm\ 2&=x+5\end{align}||

4. Résoudre les équations
   ||\begin{aligned}-2&=x+5\\-7&=x_1 \end{aligned} \qquad \begin{aligned} 2&=x+5\\-3&=x_2\end{aligned}||

Réponse : Les 2 zéros de la fonction sont |-7| et |-3.|

Détermine les zéros de la fonction |f(x)=2(x-1)^2+6.|

1. Remplacer |f(x)| par |0|
   ||\begin{align}f(x)&=2(x-1)^2+6\\ 0&=2(x-1)^2+6\end{align}||

2. Isoler les parenthèses
   ||\begin{align}-6&=2(x-1)^2\\-3&=(x-1)^2\end{align}||

3. Extraire la racine carrée
   ||\begin{align}\color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{-3}}}&=\color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{(x-1)^2}}}\end{align}||Il est impossible d’extraire la racine carrée d’un nombre négatif. On arrête donc la résolution et on conclut que cette fonction n’a pas de zéro.

Réponse : La fonction n’a pas de zéro.

Il est possible de déterminer le nombre de zéros qu’aura une fonction polynomiale de degré 2 sous la forme canonique en analysant les paramètres |a| et |k.| Le signe du paramètre |a| indique le sens de l’ouverture de la parabole (vers le haut ou vers le bas), tandis que le paramètre |k| indique l’emplacement vertical du sommet.

Dans l’exemple précédent, puisque |a>0| et |k>0,| la fonction n’a pas de zéro.

La formule pour trouver les zéros d'une fonction polynomiale de degré 2 sous la forme canonique est la suivante.||x_{1,2}= h \pm \sqrt{-\dfrac{k}{a}}||

1. Remplacer |f(x)| par |0.|

2. Déterminer la valeur des paramètres |a,| |h| et |k.|

3. Appliquer la formule des zéros.

Détermine les zéros de la fonction |f(x)=2(x+1)^2-8.|

1. Remplacer |f(x)| par |0|
   ||\begin{align}f(x)&=2(x+1)^2-8\\ 0&=2(x+1)^2-8\end{align}||

2. Déterminer la valeur des paramètres |a,| |h| et |k|
   ||a=2,\ h=-1,\ k=-8||

3. Appliquer la formule des zéros
   ||\begin{align}x_{1,2}&= h \pm\sqrt{-\dfrac{k}{a}}\\ &= -1 \pm \sqrt{-\dfrac{-8}{2}}\\&= -1 \pm \sqrt{4}\\&= -1 \pm 2\end{align}||À cette étape, on sépare la formule en 2 parties, l'une utilisant le |+| et l'autre utilisant le |-.|

||\begin{aligned}x_1&=-1-2\qquad \\&=-3\end{aligned}\begin{aligned}x_2&=-1+2\\&=1\end{aligned}||

Réponse : Les 2 zéros de la fonction sont |-3| et |1.|

Il est possible de déterminer le nombre de zéros que possède une fonction polynomiale de degré 2 en analysant le radicande (l’expression qui se trouve sous la racine) dans la formule des zéros.

• Si |- \dfrac{k}{a} >0,| la fonction a 2 zéros.

• Si |- \dfrac{k}{a} =0,| la fonction a 1 seul zéro.

• Si |- \dfrac{k}{a} <0,| la fonction n’a pas de zéro.

Trouve les zéros de la fonction |f(x)=-0{,}5(x+2{,}7)(x-6{,}2).|

Il faut déterminer |x_1| et |x_2.| Comme il y a des soustractions à l’intérieur des parenthèses dans le modèle de la forme factorisée, il faut s’assurer de les retrouver aussi dans notre règle.||\begin{align} f(x) &= -0{,}5(x+2{,}7)(x-6{,}2) \\ f(x) &= -0{,}5\big(x-(\color{#3a9a38}{-2{,}7})\big)\big(x-\color{#3a9a38}{6{,}2}\big) \end{align}||

Réponse : Les 2 zéros de la fonction sont |-2{,}7| et |6{,}2.|

Trouve les zéros de la fonction |f(x)=-0{,}5(x+2{,}7)(x-6{,}2).|

1. Remplacer |f(x)| par |0|

||\begin{align}f(x)&=-0{,}5(x+2{,}7)(x-6{,}2) \\ 0&=-0{,}5(x+2{,}7)(x-6{,}2)\end{align}||

2. Factoriser le polynôme
   Le polynôme est déjà factorisé.

3. Appliquer la règle du produit nul
   On vérifie pour quelles valeurs de |x| chacun des facteurs vaut |0.| Comme le facteur |-0{,}5| ne contient pas la variable |x,| on n’en tient pas compte.

||\begin{aligned}x+2{,}7&=0\\ x_1&=-2{,}7\end{aligned}\qquad\!\! \begin{aligned}x-6{,}2&=0\\ x_2&=6{,}2\end{aligned}||

Réponse : Les zéros de la fonction sont bel et bien |-2{,}7| et |6{,}2.|