Résoudre un tel système revient à trouver le ou les points d'intersection entre une parabole et une droite. Pour ce faire, il faut être à l'aise avec la résolution d'une équation de degré 2.
Voici un tableau présentant le nombre de solutions possibles d'un tel système :
| Aucune solution | Une seule solution | Deux solutions |
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Il n'y a aucune intersection entre la droite et la parabole. |
La droite est tangente à la parabole. |
La droite est sécante à la parabole. |
Voici les étapes pour résoudre un tel système :
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Égaler les deux équations à l'aide de la méthode de comparaison.
Si l'équation de la parabole n'est pas sous la forme |y=ax^2+bx+c|, il faut la ramener sous cette forme. De plus, si l'équation de la droite n'est pas sous la forme |y=ax+b|, il faut la ramener sous cette forme. -
Envoyer tous les termes du même côté de l'égalité afin d'avoir l'un des deux membres égal à 0. À partir de là, on peut déterminer le nombre de solutions.
En effet, avec |ax^2+bx+c=0| et selon la valeur de |b^2-4ac| on peut trouver le nombre de solutions.
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Si |b^2-4ac<0,| il n'y a aucune solution.
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Si |b^2-4ac=0,| il y a une seule solution.
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Si |b^2-4ac>0,| il y a deux solutions.
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Factoriser (si possible) ou utiliser la formule quadratique afin de trouver la ou les solutions en |x.|
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Trouver la ou les solutions en |y.|
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Donner le ou les couples solutions.
Soit le système d'équations suivant : ||\begin{cases}y=-x^2+2x+5\\y=x+3\end{cases}||
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On peut écrire l'égalité |-x^2+2x+5=x+3.|
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On envoie tous les termes du même côté de l'égalité. Dans ce cas-ci, on envoie les termes à gauche (cela n'a pas d'importance, on aurait pu les envoyer à droite). ||\begin{align}-x^2+2x+5 &= x+3 \\ \Rightarrow\ -x^2+x+2 &= 0 \end{align}||
|b^2-4ac=1^2-4(-1)(2) = 9 >0,| le système a donc deux solutions.
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On peut utiliser la formule quadratique |x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}| où |a=-1|, |b=1| et |c=2.| ||\begin{align}x_{1,2} &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 (-1)(2)}}{2 \times 1} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \\ &= \dfrac{-1 \pm 3}{2} \\\\ x_1&= \dfrac{-1 + 3}{-2} = -1 \\ x_2 &= \dfrac{-1-3}{-2} = 2 \end{align}||
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On trouve les valeurs de |y| en remplaçant |x| dans l'une ou l'autre des deux équations de départ. ||\begin{align}y_1 &= \ x_1+3 &y_2 &= x_2+3 \\ &= -1+3 & &=\ 2\ +3 \\ &=\ 2 & &=\ 5 \end{align}||
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Ainsi les couples solutions du système initial sont |(-1,2)| et |(2,5).|
Soit le système d'équations suivant : ||\begin{cases}y=-2x^2+x-2 \\y=\ 2x+1 \end{cases}||
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On peut écrire l'égalité suivante : |-2x^2+x-2=2x+1|
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On envoie tous les termes du même côté de l'égalité. Dans ce cas-ci, du côté gauche. ||\begin{align} -2x^2+x-2 &= 2x+1 \\ \Rightarrow\ -2x^2-x-3 &= 0 \end{align}||
|b^2-4ac = (-1)^2 - 4 (-2)(-3) = -23 <0,| il n'y a donc aucune solution à ce système.
Il n'y a donc pas de couple solution.
Soit le système d'équations suivant : ||\begin{cases}y=-2x^2+x-3 \\ y=-3x-1 \end{cases}||
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On peut écrire l'égalité suivante : |-2x^2+x-3=-3x-1.|
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On envoie tous les termes du même côté de l'égalité. Dans ce cas-ci, du côté gauche. ||\begin{align} -2x^2+\ x-3 &= -3x-1 \\ \Rightarrow\ -2x^2+4x-2 &=0 \end{align}||
|b^2-4ac = 4^2 - 4(-2)(-2) = 0,| il y a donc une seule solution à ce système.
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On peut factoriser |-2x^2+4x-2| et ainsi on obtient |-2(x-1)^2.|
Alors, il faut résoudre |-2(x-1)^2=0.| ||\begin{align} -2(x-1)^2 &= 0 \\ (x-1)^2 &=0 \\ x-1&= 0 \\ \Rightarrow\ x &= 1 \end{align}|| -
On trouve la valeur de |y| en remplaçant |x| par |1.| ||\begin{align} y &=-3x-1 \\ &= -3(1) -1 \\ &= -4 \end{align}||
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Le couple solution est |(1,-4).|