La règle d’une fonction cosinus est |f(x)=a\cos\!\big(b(x-h)\big)+k.|
Le paramètre |a| est lié à l’amplitude.
Le paramètre |b| est lié à la période.
Le paramètre |h| est lié au déphasage.
Le paramètre |k| est lié à l’axe d’oscillation.
Lorsqu’on cherche la règle d’une fonction sinusoïdale à partir de la fonction cosinus, on doit repérer un cycle qui débute à un sommet (un maximum ou un minimum) et qui se termine à la même hauteur. Le point au début du cycle choisi correspond au couple |(h,k+A)| s’il est un maximum et au couple |(h,k-A)| s’il est un minimum.
Comme il existe une infinité de sommets pour une même fonction cosinus, il y a une infinité de valeurs possibles pour |h| et |k.|
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Déterminer |k| à l’aide de l’axe d’oscillation.
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Choisir un sommet et déterminer |h.|
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Délimiter un cycle à partir du sommet choisi.
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Déterminer |\vert a\vert| grâce à l’amplitude.
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Déterminer |b| grâce à la période.
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Déterminer le signe de |a.|
Si la fonction débute à un maximum, |a| est positif.
Si la fonction débute à un minimum, |a| est négatif. -
Écrire la règle de la fonction.
Détermine la règle de la fonction cosinus passant par les points |(1{,}25;-0{,}25)| et |(2{,}75;-1{,}75)| représentant respectivement un maximum et un minimum.
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Déterminer |\boldsymbol{k}| à l’aide de l’axe d’oscillation
Pour déterminer la valeur de |k,| on utilise la formule suivante.||\begin{align}k&=\dfrac{\max+\min}{2}\\&=\dfrac{\color{#EC0000}{-0{,}25}+\color{#EC0000}{-1{,}75}}{2}\\&=-1\end{align}|| -
Choisir un sommet et déterminer |\boldsymbol{h}|
On prend le couple |(1{,}25;-0{,}25)| comme sommet.||h=1{,}25||
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Délimiter un cycle à partir du sommet choisi
On trace un rectangle encadrant un cycle et débutant au point |(1{,}25;-0{,}25).| -
Déterminer |\boldsymbol{\vert a\vert}| grâce à l’amplitude
On détermine la valeur absolue de |a| grâce à l’amplitude. ||\begin{align}\vert a\vert&=\color{#fa7921}A\\&=\dfrac{\max-\min}{2}\\&=\dfrac{\color{#EC0000}{-0{,}25}-\color{#EC0000}{-1{,}75}}{2}\\&=\color{#fa7921}{0{,}75}\end{align}||
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Déterminer |\boldsymbol{b}| grâce à la période
On détermine la valeur de |b| grâce à la période.
Entre un maximum et un minimum, on a une demi-période. Pour calculer une période complète, on peut procéder de la façon suivante.||\begin{align}\dfrac{1}{2}\color{#333fb1}p&=\color{#333fb1}{2{,}75}-\color{#333fb1}{1{,}25}\\\dfrac{1}{2}\color{#333fb1}p&=1{,}5\\ \color{#333fb1}p &= \color{#333fb1}3 \end{align}||
Maintenant, on peut déterminer |b.|||\begin{align}\color{#333fb1}p&=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}\\\color{#333fb1}{3}&=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}\ \Leftrightarrow\ \vert b\vert=\dfrac{2\pi}{3}\end{align}||Puisque le signe de |b| ne change rien à l’allure de la courbe, le plus simple est de choisir la valeur positive.||b=\dfrac{2\pi}{3}||
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Déterminer le signe de |\boldsymbol{a}|
Puisque le point qui débute le cycle est un maximum, |a| est positif.||a>0|| -
Écrire la règle de la fonction
La règle de la fonction cosinus est |f(x)=0{,}75\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}(x-1{,}25)\right)-1.|
Remarque : Si le sommet choisi à l’étape 1 est différent, d’autres réponses sont possibles pour la même représentation graphique.
Dans l’exemple précédent, en choisissant le point |(1{,}25;-0{,}25),| qui est un maximum, on a obtenu la règle suivante.||f(x)=0{,}75\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}(x-1{,}25)\right)-1||
Si on avait plutôt choisi le point |(2{,}75;-1{,}75),| la fonction aurait débuté à un minimum, ce qui signifie que |a| aurait été négatif. On aurait alors obtenu la règle suivante.||f(x)=-0{,}75\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}(x-2{,}75)\right)-1||Si on analyse ces règles, on se rend compte que |\vert a\vert,| |b| et |k| ne changent jamais. Les seules différences entre elles sont la valeur de |h| et le signe de |a.|
Voici un exemple dans lequel le cycle n’est pas affiché complètement dans le plan cartésien.
Détermine la règle de la fonction cosinus passant par les points |\left(-\dfrac{4\pi}{3},0\right)| et |\left(-\dfrac{\pi}{3},4\right)| représentant respectivement un minimum et un maximum.
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Déterminer |\boldsymbol{k}| à l’aide de l’axe d’oscillation
Pour déterminer la valeur de |k,| on utilise la formule suivante.||\begin{align}k&=\dfrac{\max+\min}{2}\\&=\dfrac{\color{#EC0000}{4}+\color{#EC0000}{0}}{2}\\&=2\end{align}|| -
Choisir un sommet et déterminer |\boldsymbol{h}|
On prend le couple |\left(-\dfrac{4\pi}{3},0\right)| comme sommet.||h=-\dfrac{4\pi}{3}||
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Délimiter un cycle à partir du sommet choisi
On trace un rectangle encadrant un cycle et débutant au point |\left(-\dfrac{4\pi}{3},0\right).|Dans cet exemple, le cycle de la fonction n’est pas affiché complètement. Pour qu’un cycle soit complet, il doit se terminer à la même hauteur que le sommet choisi, dans ce cas-ci, à un minimum. -
Déterminer |\boldsymbol{\vert a\vert}| grâce à l’amplitude
On détermine la valeur absolue de |a| grâce à l’amplitude. ||\begin{align}\vert a\vert&=\color{#fa7921}A\\&=\dfrac{\max-\min}{2}\\&=\dfrac{\color{#EC0000}{4}-\color{#EC0000}{0}}{2}\\&=\color{#fa7921}{2}\end{align}||
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Déterminer |\boldsymbol{b}| grâce à la période
On détermine la valeur de |b| grâce à la période.
Entre un maximum et un minimum, on a une demi-période. Pour calculer une période complète, on peut procéder de la façon suivante.||\begin{align}\dfrac{1}{2}\color{#333fb1}p&=\color{#333fb1}{-\dfrac{\pi}{3}}-\color{#333fb1}{-\dfrac{4\pi}{3}}\\\dfrac{1}{2}\color{#333fb1}p&=\dfrac{3\pi}{3}\\\dfrac{1}{2}\color{#333fb1}p&=\pi\\\color{#333fb1}p&=\color{#333fb1}{2\pi}\end{align}||Maintenant, on peut déterminer |b.|||\begin{align}\color{#333fb1}p&=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}\\\color{#333fb1}{2\pi}&=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}\quad\Leftrightarrow&\vert b\vert&=\dfrac{2\pi}{2\pi}\\&&\vert b\vert&=1\\&&b&=1\end{align}||
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Déterminer le signe de |\boldsymbol{a}|
Puisque le point qui débute le cycle est un minimum, |a| est négatif.||a<0|| -
Écrire la règle de la fonction
La règle de la fonction cosinus est |f(x)=-2\cos\left(\!x+\dfrac{4\pi}{3}\!\right)\!+2.|
Voici un exemple dans lequel les sommets ne sont pas directement fournis. Il faut alors procéder à un peu plus de calculs pour déterminer les paramètres.
Détermine la règle de la fonction cosinus passant par les points |\left(-\dfrac{3}{4},-2\right)| et |\left(\dfrac{5}{4},-2\right).|
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Déterminer |\boldsymbol{k}| à l’aide de l’axe d’oscillation
Pour déterminer la valeur de |k,| on utilise la formule suivante.||k=\dfrac{\max+\min}{2}||Les coordonnées du maximum et du minimum ne sont pas fournies, mais il est possible de les déduire à partir du graphique. On voit que la fonction a un maximum à |2| et un minimum à |-6.|||\begin{align}k&=\dfrac{\max+\min}{2}\\&=\dfrac{\color{#EC0000}{2}+\color{#EC0000}{-6}}{2}\\&=-2\end{align}||
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Choisir un sommet et déterminer |\boldsymbol{h}|
Puisque |k=-2,| on remarque que les points fournis sont des points d’inflexion, c’est-à-dire des points situés sur l’axe d’oscillation. Comme il y a un maximum exactement entre ces 2 points, on peut déduire la valeur de |h| de la façon suivante. ||\begin{align}h&=\dfrac{\color{#FF55C3}{-\frac{3}{4}}+\color{#FF55C3}{\frac{5}{4}}}{2}\\&=\dfrac{1}{4}\end{align}||Le maximum situé entre les 2 points fournis est le point |\left(\dfrac{1}{4},2\right).| ||h=\dfrac{1}{4}||
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Délimiter un cycle à partir du sommet choisi
On trace un rectangle encadrant un cycle et débutant au point |\left(\dfrac{1}{4},2\right).| -
Déterminer |\boldsymbol{\vert a\vert}| grâce à l’amplitude
On détermine la valeur absolue de |a| grâce à l’amplitude. ||\begin{align}\vert a\vert&=\color{#fa7921}A\\&=\dfrac{\max-\min}{2}\\&=\dfrac{\color{#EC0000}{2}-\color{#EC0000}{-6}}{2}\\&=\color{#fa7921}{4}\end{align}||
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Déterminer |\boldsymbol{b}| grâce à la période
On détermine la valeur absolue de |b| grâce à la période.
Entre le maximum et le point |\left(\dfrac{5}{4},-2\right),| on a un quart de période. Pour calculer une période complète, on peut procéder de la façon suivante.||\begin{align}\dfrac{1}{4}\color{#333fb1}p&=\color{#333fb1}{\dfrac{5}{4}}-\color{#333fb1}{\dfrac{1}{4}}\\\dfrac{1}{4}\color{#333fb1}p&=1\\\color{#333fb1}p&=\color{#333fb1}4\end{align}||Maintenant, on peut déterminer |b.|||\begin{align}\color{#333fb1}p&=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}\\\color{#333fb1}{4}&=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}\quad\Leftrightarrow&\vert b\vert&=\dfrac{2\pi}{4}\\&&\vert b\vert&=\dfrac{\pi}{2}\\&&b&=\dfrac{\pi}{2}\end{align}||
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Déterminer le signe de |\boldsymbol{a}|
Puisque le point qui débute le cycle est un maximum, |a| est positif.||a>0|| -
Écrire la règle de la fonction
La règle de la fonction cosinus est |f(x)\!=\!4\cos\!\Bigg(\!\!\dfrac{\pi}{2}\!\left(\!x-\dfrac{1}{4}\!\right)\!\!\Bigg)\!-\!2.|
Lorsque ce sont des points d’inflexion de la fonction sinusoïdale qui sont fournis, il est plutôt avantageux de faire la recherche de la règle de la fonction sinus. De cette façon, il y a moins de manipulations à effectuer.
Lorsqu’on demande de trouver l’équation d’une fonction sinusoïdale, on peut trouver l'équation d'une fonction sinus ou l'équation d'une fonction cosinus. Voici un exemple dans lequel on peut déduire l’équation d’une fonction cosinus à l’aide des identités trigonométriques.
Voici une fonction sinusoïdale dont la règle, à partir de la fonction sinus, est |f(x)=-2\sin(x)-1.|
Pour transformer l’équation en fonction cosinus, on applique l’identité remarquable suivante : |\sin x=\color{#3A9A38}{\cos}\left(x\color{#3A9A38}{-\dfrac{\pi}{2}}\right).|||\begin{align}f(x)&=-2\sin(x)-1\\ f(x)&=-2\color{#3A9A38}{\cos}\left(x\color{#3A9A38}{-\dfrac{\pi}{2}}\right)-1\end{align}||Les 2 règles précédentes sont équivalentes.
Remarque : Même si la règle est passée d’une fonction sinus à une fonction cosinus, |\vert a \vert| et |\vert b\vert| n’ont pas changé, puisque l’amplitude et la période sont restées les mêmes. On remarque que |k| n’a pas changé non plus étant donné que l’axe d’oscillation est aussi le même.
Les seules différences possibles entre les règles sont la valeur de |h,| le signe de |a| et celui de |b.|