Une équation ou une inéquation cosinus contient un rapport cosinus, où l’inconnue |(x)| apparait dans l’argument.
Puisque la fonction cosinus est périodique, ce type d’équation peut ne posséder aucune solution, peut posséder une solution, plusieurs solutions ou une infinité de solutions.
De plus, il est nécessaire d’utiliser les angles en radians.
Dans le cercle trigonométrique, le cosinus d’un angle correspond à l’abscisse du point sur le cercle. Lorsqu’on résout une équation cosinus, on cherche les angles qui possèdent une certaine abscisse. Pour y arriver, on peut utiliser les points remarquables du cercle trigonométrique ou la fonction réciproque |\boldsymbol{\arccos}.|
Lorsqu’on utilise le cercle trigonométrique, on choisit généralement des angles compris entre |0| et |2\pi.|
Lorsqu’on utilise la fonction réciproque |\arccos,| le résultat obtenu est toujours un angle situé dans le 1er quadrant ou dans le 2e quadrant du cercle trigonométrique. Autrement dit, l’angle est compris entre |0| et |\pi.|
Or, il y a toujours 2 angles trigonométriques différents qui possèdent la même abscisse. C’est pourquoi, à partir de l’angle obtenu |\boldsymbol{\color{#fa7921}{(\theta)}},| on obtient le 2e angle en faisant |\boldsymbol{\color{#51b6c2}{-\theta}}.|
La fonction réciproque |\arccos| est parfois notée |\cos^{-1},| notamment sur les calculatrices.
La démarche à suivre pour résoudre une équation cosinus est la suivante.
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Isoler le rapport cosinus.
-
Déterminer les angles trigonométriques.
- Si le rapport cosinus est égal à une coordonnée de points remarquables, utiliser le cercle trigonométrique.
- Sinon, utiliser la fonction réciproque |\boldsymbol{\arccos}.| -
Résoudre les équations obtenues avec les angles trigonométriques.
-
Calculer la période de la fonction cosinus.
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Donner les solutions de l’équation.
Voici un exemple où on utilise les points remarquables du cercle trigonométrique pour résoudre l’équation.
Résous l’équation suivante.||2\cos(5x)+\sqrt{3}=0||
Résous l’équation suivante.||2\cos(5x)+\sqrt{3}=0||
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Isoler le rapport cosinus
||\begin{align}2\cos(5x)+\sqrt{3}&=0\\2\cos(5x)&=-\sqrt{3}\\[3pt]\cos(5x)&=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align}|| -
Déterminer les angles trigonométriques
Puisque |\boldsymbol{\color{#333fb1}{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}| est une abscisse de points remarquables, on détermine les angles recherchés directement à partir du cercle trigonométrique.
On trouve que les angles pour lesquels l’abscisse vaut |-\dfrac{\sqrt{3}}{2}| sont |\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{5\pi}{6}}}| et |\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{7\pi}{6}}}.|
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Résoudre les équations
On obtient les 2 équations suivantes, formées par les angles trouvés à l’étape précédente, qu’on résout.
||\begin{align}\cos(5x)&=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\&\Downarrow\\5x&=\dfrac{5\pi}{6}\\[3pt]\boldsymbol{\color{#fa7921}{x_1}}&=\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{\pi}{6}}}\end{align}||
||\begin{align}\cos(5x)&=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\&\Downarrow\\5x&=\dfrac{7\pi}{6}\\[3pt]\boldsymbol{\color{#51b6c2}{x_2}}&=\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{7\pi}{30}}}\end{align}||
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Calculer la période de la fonction cosinus
Comme la fonction cosinus est périodique, il faut calculer la période pour être en mesure de donner toutes les solutions.||\begin{align}p&=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}\\[3pt]&=\dfrac{2\pi}{\vert5\vert}\\[3pt]&=\dfrac{2\pi}{5}\end{align}||
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Donner les solutions de l’équation
Les solutions de l’équation |2\cos(5x)+\sqrt{3}=0| sont donc les suivantes.
||x=\begin{cases}\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{5}n\\[3pt]\dfrac{7\pi}{30}+\dfrac{2\pi}{5}n\end{cases}||où||n\in\mathbb{Z}||
Voici un exemple où on utilise la fonction réciproque arc cosinus pour résoudre l’équation.
Résous l'équation suivante dans l’intervalle |[-\pi,\pi].|||\dfrac{1}{2}\cos\left(\dfrac{3(x+1)}{2}\right)+\dfrac{9}{10}=1||
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Isoler le rapport cosinus
||\begin{align}\dfrac{1}{2}\cos\left(\dfrac{3(x+1)}{2}\right)+\dfrac{9}{10}&=1\\[3pt]\dfrac{1}{2}\cos\left(\dfrac{3(x+1)}{2}\right)&=\dfrac{1}{10}\\[3pt]\cos\left(\dfrac{3(x+1)}{2}\right)&=\dfrac{1}{5}\end{align}|| -
Déterminer les angles trigonométriques
Puisque |\boldsymbol{\color{#333fb1}{\dfrac{1}{5}}}| n’est pas une abscisse de points remarquables, on détermine le 1er angle recherché en utilisant |\arccos.|||\begin{align}\cos\left(\dfrac{3(x+1)}{2}\right)&=\dfrac{1}{5}\\&\Downarrow\\\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{3(x+1)}{2}}}&=\arccos\left(\dfrac{1}{5}\right)\\[3pt]&\approx\boldsymbol{\color{#fa7921}{1{,}37}}\end{align}||Le 2e angle est donc le suivant.||\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{3(x+1)}{2}}}\approx\boldsymbol{\color{#51b6c2}{-1{,}37}}||
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Résoudre les équations
On obtient les 2 équations suivantes, formées par les angles trouvés à l’étape précédente, qu’on résout.
||\begin{align}\dfrac{3(x+1)}{2}&\approx1{,}37\\[3pt]x+1&\approx0{,}91\\\boldsymbol{\color{#fa7921}{x_1}}&\approx\boldsymbol{\color{#fa7921}{-0{,}09}}\end{align}||
||\begin{align}\dfrac{3(x+1)}{2}&\approx-1{,}37\\[3pt]x+1&\approx-0{,}91\\\boldsymbol{\color{#51b6c2}{x_2}}&\approx\boldsymbol{\color{#51b6c2}{-1{,}91}}\end{align}||
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Calculer la période de la fonction cosinus
Comme la fonction cosinus est périodique, il faut calculer la période pour être en mesure de donner toutes les solutions.||\begin{align}p&=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}\\[3pt]&=\dfrac{2\pi}{\left\vert\frac{3}{2}\right\vert}\\[3pt]&=\dfrac{4\pi}{3}\end{align}||
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Donner les solutions de l’équation
Puisqu’on cherche les solutions dans l’intervalle |[-\pi,\pi],| il y a un nombre fini de solutions. On calcule les autres solutions en additionnant ou en soustrayant la période |\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)| aux 2 solutions trouvées à l’étape 3, sans sortir de l’intervalle.
Les solutions issues de |\boldsymbol{x_1}|
On conserve |-0{,}09,| car cette valeur est dans l’intervalle |[-\pi,\pi].|||\begin{align}x&\approx-0{,}09+\dfrac{4\pi}{3}\\[3pt]&\approx4{,}1\end{align}||On rejette |4{,}1,| car cette valeur est plus grande que |\pi.|||\begin{align}x&\approx-0{,}09-\dfrac{4\pi}{3}\\[3pt]&\approx-4{,}28\end{align}||On rejette |-4{,}28,| car cette valeur est plus petite que |-\pi.|
Les solutions issues de |\boldsymbol{x_2}|
On conserve |-1{,}91,| car cette valeur est dans l’intervalle |[-\pi,\pi].|||\begin{align}x&\approx-1{,}91+\dfrac{4\pi}{3}\\[3pt]&\approx2{,}28\end{align}||On conserve |2{,}28,| car cette valeur est dans l’intervalle |[-\pi,\pi].|||\begin{align}x&\approx2{,}28+\dfrac{4\pi}{3}\\[3pt]&\approx6{,}47\end{align}||On rejette |6{,}47,| car cette valeur est plus grande que |\pi.|||\begin{align}x&\approx-1{,}91-\dfrac{4\pi}{3}\\[3pt]&\approx-6{,}1\end{align}||On rejette |-6{,}1,| car cette valeur est plus petite que |-\pi.|
Les solutions de l’équation |\dfrac{1}{2}\cos\left(\dfrac{3(x+1)}{2}\right)+\dfrac{9}{10}=1| dans l’intervalle |[-\pi,\pi]| sont donc les suivantes.||x\in\{-1{,}91;\ -0{,}09;\ 2{,}28\}||
Voici un exemple où on résout une équation cosinus de degré 2.
Résous l'équation suivante.||2\cos^2\left(\dfrac{x}{4}\right)-3\cos\left(\dfrac{x}{4}\right)+1=0||
On peut résoudre une équation cosinus de ce type en utilisant les mêmes stratégies qu’on utilise pour résoudre une équation polynomiale de degré 2. Autrement dit, on peut utiliser la factorisation ou la formule quadratique.
Pour y arriver, il faut faire un changement de variable en remplaçant |\cos\left(\dfrac{x}{4}\right)| par |z.| De cette façon, on laisse temporairement de côté les rapports cosinus afin de se concentrer sur la résolution du polynôme de degré 2.
On obtient alors l’équation suivante.||2\cos^2\left(\dfrac{x}{4}\right)-3\cos\left(\dfrac{x}{4}\right)+1=0\\\Updownarrow\\2z^2-3z+1=0||En utilisant la formule quadratique, on obtient les solutions suivantes pour |z.|||\begin{align}z_{1,2}&=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[3pt]&=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4(2)(1)}}{2(2)}\\[3pt]&=\dfrac{3\pm\sqrt{1}}{4}\\\\z_1&=1\quad\text{et}\quad z_2=\dfrac{1}{2}\end{align}||Les solutions de l’équation |2z^2-3z+1=0| sont donc |z_1=1| et |z_2=\dfrac{1}{2}.| Puisqu’on a fait un changement de variable, on peut substituer |z| par |\cos\left(\dfrac{x}{4}\right).| On obtient alors 2 nouvelles équations.
||\cos\left(\dfrac{x}{4}\right)=1||
||\cos\left(\dfrac{x}{4}\right)=\dfrac{1}{2}||
On peut maintenant procéder comme on le ferait pour une équation cosinus de degré 1.
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Isoler le rapport cosinus
Le rapport cosinus est déjà isolé dans les 2 équations.
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Déterminer les angles trigonométriques
Puisque |\boldsymbol{\color{#333fb1}{1}}| et |\boldsymbol{\color{#333fb1}{\dfrac{1}{2}}}| sont des abscisses de points remarquables, on détermine les angles recherchés directement à partir du cercle trigonométrique.
On trouve que l’angle pour lequel l’abscisse vaut |1| est |\boldsymbol{\color{#ff55c3}{0}},| alors que les angles pour lesquels l’abscisse vaut |\dfrac{1}{2}| sont |\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{\pi}{3}}}| et |\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{5\pi}{3}}}.|
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Résoudre les équations
On obtient les 3 équations suivantes, formées par les angles trouvés à l’étape précédente, qu’on résout.
||\begin{align}\cos\left(\dfrac{x}{4}\right)&=1\\&\Downarrow\\\dfrac{x}{4}&=0\\[3pt]\boldsymbol{\color{#ff55c3}{x_1}}&=\boldsymbol{\color{#ff55c3}{0}}\end{align}||
||\begin{align}\cos\left(\dfrac{x}{4}\right)&=\dfrac{1}{2}\\&\Downarrow\\\dfrac{x}{4}&=\dfrac{\pi}{3}\\[3pt]\boldsymbol{\color{#fa7921}{x_2}}&=\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{4\pi}{3}}}\end{align}||
||\begin{align}\cos\left(\dfrac{x}{4}\right)&=\dfrac{1}{2}\\&\Downarrow\\\dfrac{x}{4}&=\dfrac{5\pi}{3}\\[3pt]\boldsymbol{\color{#51b6c2}{x_3}}&=\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{20\pi}{3}}}\end{align}||
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Calculer la période de la fonction cosinus
Comme la fonction cosinus est périodique, il faut calculer la période pour être en mesure de donner toutes les solutions.||\begin{align}p&=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}\\[3pt]&=\dfrac{2\pi}{\left\vert\frac{1}{4}\right\vert}\\[3pt]&=8\pi\end{align}||
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Donner les solutions de l’équation
Les solutions de l’équation |2\cos^2\left(\dfrac{x}{4}\right)-3\cos\left(\dfrac{x}{4}\right)+1=0| sont donc les suivantes.
||x\in\left\{0+8\pi n,\ \dfrac{4\pi}{3}+8\pi n,\ \dfrac{20\pi}{3}+8\pi n\right\}||où||n\in\mathbb{Z}||
On peut représenter les solutions dans le graphique de la fonction cosinus de degré 2 à l’aide d’un outil technologique. Tracer ce genre de graphique n’est pas au programme du secondaire.
La démarche à suivre pour résoudre une inéquation cosinus est la suivante.
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Changer le symbole d’inégalité par un symbole d’égalité.
-
Isoler le rapport cosinus.
-
Déterminer les angles trigonométriques.
- Si le rapport cosinus est égal à une coordonnée de points remarquables, utiliser le cercle trigonométrique.
- Sinon, utiliser la fonction réciproque |\boldsymbol{\arccos}.| -
Résoudre les équations obtenues avec les angles trigonométriques.
-
Calculer la période de la fonction cosinus.
-
Donner l’ensemble-solution de l’inéquation.
Voici un exemple où on utilise les points remarquables du cercle trigonométrique pour résoudre l’inéquation.
Résous l'inéquation suivante.||2\cos(x−3)>1||
-
Changer le symbole d’inégalité par un symbole d’égalité
||\begin{align}2\cos(x-3)&>1\\&\downarrow\\2\cos(x-3)&=1\end{align}|| -
Isoler le rapport cosinus
||\begin{align}2\cos(x-3)&=1\\[3pt]\cos(x-3)&=\dfrac{1}{2}\end{align}|| -
Déterminer les angles trigonométriques
Puisque |\boldsymbol{\color{#333fb1}{\dfrac{1}{2}}}| est une abscisse de points remarquables, on détermine les angles recherchés directement à partir du cercle trigonométrique.
On trouve que les angles pour lesquels l’abscisse vaut |\dfrac{1}{2}| sont |\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{\pi}{3}}}| et |\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{5\pi}{3}}}.|
-
Résoudre les équations
On obtient les équations suivantes, formées par les angles trouvés à l’étape précédente, qu’on résout.
||\begin{align}\cos(x-3)&=\dfrac{1}{2}\\&\Downarrow\\x-3&=\dfrac{\pi}{3}\\[3pt]\boldsymbol{\color{#fa7921}{x_1}} &=\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{\pi+9}{3}}}\end{align}||
||\begin{align}\cos(x-3)&=\dfrac{1}{2}\\&\Downarrow\\x-3&=\dfrac{5\pi}{3}\\[3pt]\boldsymbol{\color{#51b6c2}{x_2}} &=\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{5\pi+9}{3}}}\end{align}||
-
Calculer la période de la fonction cosinus
Comme la fonction cosinus est périodique, il faut calculer la période pour être en mesure de donner toutes les solutions.||\begin{align}p&=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}\\[3pt]&=\dfrac{2\pi}{\vert1\vert}\\[3pt]&=2\pi\end{align}||
-
Donner l’ensemble-solution de l’inéquation
Il y a 2 intervalles possibles, soit celui entre |\boldsymbol{\color{#fa7921}{x_1}}| et |\boldsymbol{\color{#51b6c2}{x_2}},| et celui entre |\boldsymbol{\color{#51b6c2}{x_2}}| et le |\boldsymbol{\color{#fa7921}{x}}| suivant, situé une période plus loin que |\boldsymbol{\color{#fa7921}{x_1}}.| Pour déterminer l’intervalle qui fait partie de l’ensemble-solution, on peut utiliser le graphique ou tester une valeur de |x| dans chaque intervalle.
Remarque : Puisque le signe d'inégalité est |>,| les bornes de l’intervalle sont exclues de l’ensemble-solution.
||\left]\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{\pi+9}{3}}},\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{5\pi+9}{3}}}\right[||On teste |x=\dfrac{3\pi+9}{3}.|||\begin{align}2\cos(x−3)&>1\\[3pt]2\cos\left(\dfrac{3\pi+9}{3}−3\right)&\overset{\text{?}}{>}1\\2\cos(\pi+3−3)&\overset{\text{?}}{>}1\\2\cos(\pi)&\overset{\text{?}}{>}1\\2\times-1&\overset{\text{?}}{>}1\\-2&\color{#ec0000}{\not>}1\end{align}||Cette inégalité est fausse, ce qui implique que l’intervalle |\left]\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{\pi+9}{3}}},\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{5\pi+9}{3}}}\right[| ne fait pas partie de l’ensemble-solution.
||\begin{align}\left]\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{5\pi+9}{3}}},\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{\pi+9}{3}}}+p\right[&= \left]\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{5\pi+9}{3}}},\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{\pi+9}{3}}}+2\pi\right[\\[3pt]&=\left]\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{5\pi+9}{3}}},\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{7\pi+9}{3}}}\right[\end{align}||On teste |x=\dfrac{6\pi+9}{3}.|||\begin{align}2\cos(x−3)&>1\\[3pt]2\cos\left(\dfrac{6\pi+9}{3}−3\right)&\overset{\text{?}}{>}1\\2\cos(2\pi+3-3)&\overset{\text{?}}{>}1\\2\cos(2\pi)&\overset{\text{?}}{>}1\\2\times1&\overset{\text{?}}{>}1\\2&>1\end{align}||Cette inégalité est vraie, ce qui implique que l’intervalle |\left]\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{5\pi+9}{3}}},\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{7\pi+9}{3}}}\right[| fait partie de l’ensemble-solution.
Puisque les bornes de l’intervalle se répètent à chaque période, l’ensemble-solution de l’inéquation |2\cos(x−3)<1| est le suivant.
||x\in\left]\dfrac{5\pi+9}{3}+2\pi n,\ \dfrac{7\pi+9}{3}+2\pi n\right[||où||n\in\mathbb{Z}||
Voici un exemple où on utilise la fonction réciproque arc cosinus pour résoudre l’inéquation.
Résous l'inéquation suivante.||-\dfrac{1}{4}\cos\!\big(3(x+7)\big)-2\ge-\dfrac{29}{16}||
Résous l'inéquation suivante.||-\dfrac{1}{4}\cos\!\big(3(x+7)\big)-2\ge-\dfrac{29}{16}||
-
Changer le symbole d’inégalité par un symbole d’égalité
||\begin{align}-\dfrac{1}{4}\cos\!\big(3(x+7)\big)-2&\ge-\dfrac{29}{16}\\&\downarrow\\-\dfrac{1}{4}\cos\!\big(3(x+7)\big)-2&=-\dfrac{29}{16}\end{align}|| -
Isoler le rapport cosinus
||\begin{align}-\dfrac{1}{4}\cos\!\big(3(x+7)\big)-2&=-\dfrac{29}{16}\\[3pt]-\dfrac{1}{4}\cos\!\big(3(x+7)\big)&=\dfrac{3}{16}\\[3pt]\cos\!\big(3(x+7)\big)&=-\dfrac{3}{4}\end{align}|| -
Déterminer les angles trigonométriques
Puisque |\boldsymbol{\color{#333fb1}{-\dfrac{3}{4}}}| n’est pas une abscisse de points remarquables, on détermine le 1er angle recherché en utilisant |\arccos.|||\begin{align}\cos\!\big(3(x+7)\big)&=-\dfrac{3}{4}\\&\Downarrow\\\boldsymbol{\color{#fa7921}{3(x+7)}}&=\arccos\left(-\dfrac{3}{4}\right)\\[3pt]&\approx\boldsymbol{\color{#fa7921}{2{,}42}}\end{align}||Le 2e angle est donc le suivant.||\begin{align}\boldsymbol{\color{#51b6c2}{3(x+7)}}&\approx\boldsymbol{\color{#51b6c2}{-2{,}42}}\end{align}||
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Résoudre les équations
On obtient les équations suivantes, formées par les angles trouvés à l’étape précédente, qu’on résout.
||\begin{align}3(x+7)&\approx2{,}42\\x+7&\approx0{,}81\\\boldsymbol{\color{#fa7921}{x_1}}&\approx\boldsymbol{\color{#fa7921}{-6{,}19}}\end{align}||
||\begin{align}3(x+7)&\approx-2{,}42\\x+7&\approx-0{,}81\\\boldsymbol{\color{#51b6c2}{x_2}}&\approx\boldsymbol{\color{#51b6c2}{-7{,}81}}\end{align}||
-
Calculer la période de la fonction cosinus
Comme la fonction cosinus est périodique, il faut calculer la période pour être en mesure de donner toutes les solutions.||\begin{align}p&=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}\\[3pt]&=\dfrac{2\pi}{\vert3\vert}\\[3pt]&=\dfrac{2\pi}{3}\end{align}||
-
Donner l’ensemble-solution de l’inéquation
Il y a 2 intervalles possibles, soit celui entre |\boldsymbol{\color{#51b6c2}{x_2}}| et |\boldsymbol{\color{#fa7921}{x_1}},| et celui entre |\boldsymbol{\color{#fa7921}{x_1}}| et le |\boldsymbol{\color{#51b6c2}{x}}| suivant, situé une période plus loin que |\boldsymbol{\color{#51b6c2}{x_2}}.| Pour déterminer l’intervalle qui fait partie de l’ensemble-solution, on peut utiliser le graphique ou tester une valeur de |x| dans chaque intervalle.
Remarque : Puisque le signe d'inégalité est |\ge,| les bornes de l’intervalle sont incluses dans l’ensemble-solution.
||\left[\boldsymbol{\color{#51b6c2}{-7{,}81}};\,\boldsymbol{\color{#fa7921}{-6{,}19}}\right]||On teste |x=-7.|||\begin{align}-\dfrac{1}{4}\cos\!\big(3(x+7)\big)-2&\ge-\dfrac{29}{16}\\[3pt]-\dfrac{1}{4}\cos\!\big(3(-7+7)\big)-2&\overset{\text{?}}{\ge}-\dfrac{29}{16}\\[3pt]-\dfrac{1}{4}\cos(0)-2&\overset{\text{?}}{\ge}-\dfrac{29}{16}\\[3pt]-2{,}25&\color{#ec0000}{\not\ge}-1{,}81\end{align}||Cette inégalité est fausse, ce qui implique que l’intervalle |\left[\boldsymbol{\color{#51b6c2}{-7{,}81}};\,\boldsymbol{\color{#fa7921}{-6{,}19}}\right]| ne fait pas partie de l’ensemble-solution.
||\begin{align}[\boldsymbol{\color{#fa7921}{-6{,}19}};\,\boldsymbol{\color{#51b6c2}{-7{,}81}}+p]&=\left[\boldsymbol{\color{#fa7921}{-6{,}19}};\,\boldsymbol{\color{#51b6c2}{-7{,}81}}+\dfrac{2\pi}{3}\right]\\[3pt]&=[\boldsymbol{\color{#fa7921}{-6{,}19}};\,\boldsymbol{\color{#51b6c2}{-5{,}72}}]\end{align}||On teste |x=-6.|||\begin{align}-\dfrac{1}{4}\cos\!\big(3(x+7)\big)-2&\ge-\dfrac{29}{16}\\[3pt]-\dfrac{1}{4}\cos\!\big(3(-6+7)\big)-2&\overset{\text{?}}{\ge}-\dfrac{29}{16}\\[3pt]-\dfrac{1}{4}\cos(3)-2&\overset{\text{?}}{\ge}-\dfrac{29}{16}\\[3pt]-1{,}75&\ge-1{,}81\end{align}||Cette inégalité est vraie, ce qui implique que l’intervalle |\left[\boldsymbol{\color{#fa7921}{-6{,}19}};\,\boldsymbol{\color{#51b6c2}{-5{,}72}}\right]| fait partie de l’ensemble-solution.
Puisque les bornes de l’intervalle se répètent à chaque période, l’ensemble-solution de l’inéquation |-\dfrac{1}{4}\cos\!\big(3(x+7)\big)-2\ge-\dfrac{29}{16}| est le suivant.
||x\in\left[-6{,}19+\dfrac{2\pi}{3}n;\,-5{,}72+\dfrac{2\pi}{3}n\right]||où||n\in\mathbb{Z}||
Voici un exemple où on résout une inéquation cosinus de degré 2.
Résous l’inéquation suivante.||\cos^2(x)<\dfrac{1}{4}||
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Changer le symbole d’inégalité par un symbole d’égalité
||\begin{align}\cos^2(x)&<\dfrac{1}{4}\\&\downarrow\\\cos^2(x)&=\dfrac{1}{4}\end{align}|| -
Isoler le rapport cosinus
||\begin{align}\cos^2(x)&=\dfrac{1}{4}\\[3pt]\cos(x)&=\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\[3pt]\cos(x)&=\pm\dfrac{1}{2}\end{align}|| -
Déterminer les angles trigonométriques
Puisque |\boldsymbol{\color{#333fb1}{-\dfrac{1}{2}}}| et |\boldsymbol{\color{#333fb1}{\dfrac{1}{2}}}| sont des abscisses de points remarquables, on détermine les angles recherchés directement à partir du cercle trigonométrique.
On trouve que les angles pour lesquels l’abscisse vaut |\dfrac{1}{2}| sont |\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{\pi}{3}}}| et |\boldsymbol{\color{#ff55c3}{\dfrac{5\pi}{3}}},| alors que les angles pour lesquels l’abscisse vaut |-\dfrac{1}{2}| sont |\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{2\pi}{3}}}| et |\boldsymbol{\color{#3a9a38}{\dfrac{4\pi}{3}}}.|
-
Résoudre les équations
On obtient les équations suivantes, formées par les angles trouvés à l’étape précédente.
||\begin{align}\cos(x)&=\dfrac{1}{2}\\&\Downarrow\\\boldsymbol{\color{#fa7921}{x_1}}&=\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{\pi}{3}}}\end{align}||
||\begin{align}\cos(x)&=-\dfrac{1}{2}\\&\Downarrow\\\boldsymbol{\color{#51b6c2}{x_2}}&=\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{2\pi}{3}}}\end{align}||
||\begin{align}\cos(x)&=-\dfrac{1}{2}\\&\Downarrow\\\boldsymbol{\color{#3a9a38}{x_3}}&=\boldsymbol{\color{#3a9a38}{\dfrac{4\pi}{3}}}\end{align}||
||\begin{align}\cos(x)&=\dfrac{1}{2}\\&\Downarrow\\\boldsymbol{\color{#ff55c3}{x_4}}&=\boldsymbol{\color{#ff55c3}{\dfrac{5\pi}{3}}}\end{align}||
-
Calculer la période de la fonction cosinus
Comme la fonction cosinus est périodique, il faut calculer la période pour être en mesure de donner toutes les solutions.||\begin{align}p&=\dfrac{2\pi}{\vert b\vert}\\[3pt]&=\dfrac{2\pi}{\vert1\vert}\\[3pt]&=2\pi\end{align}||
-
Donner l’ensemble-solution de l’inéquation
Il y a 4 intervalles possibles, soit celui entre |\boldsymbol{\color{#fa7921}{x_1}}| et |\boldsymbol{\color{#51b6c2}{x_2}},| celui entre |\boldsymbol{\color{#51b6c2}{x_2}}| et |\boldsymbol{\color{#3a9a38}{x_3}},| celui entre |\boldsymbol{\color{#3a9a38}{x_3}}| et |\boldsymbol{\color{#ff55c3}{x_4}},| et celui entre |\boldsymbol{\color{#ff55c3}{x_4}}| et le |\boldsymbol{\color{#fa7921}{x}}| suivant, situé une période plus loin que |\boldsymbol{\color{#fa7921}{x_1}}.| Pour déterminer les intervalles qui font partie de l’ensemble-solution, on peut utiliser le graphique ou tester une valeur de |x| dans chaque intervalle.
Remarque : Puisque le signe d'inégalité est |<,| les bornes de l’intervalle sont exclues de l’ensemble-solution.
||\left]\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{\pi}{3}},\color{#51b6c2}{\dfrac{2\pi}{3}}}\right[||On teste |x=\dfrac{\pi}{2}.|||\begin{align}\cos^2(x)&<\dfrac{1}{4}\\[3pt]\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2}\right)&\overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{4}\\[3pt](0)^2&\overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{4}\\[3pt]0&<\dfrac{1}{4}\end{align}||Cette inégalité est vraie, ce qui implique que l’intervalle |\left]\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{\pi}{3}},\color{#51b6c2}{\dfrac{2\pi}{3}}}\right[| fait partie de l’ensemble-solution.
||\left]\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{2\pi}{3}},\color{#3a9a38}{\dfrac{4\pi}{3}}}\right[||On teste |x=\pi.|||\begin{align}\cos^2(x)&<\dfrac{1}{4}\\[3pt]\cos^2(\pi)&\overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{4}\\[3pt](-1)^2&\overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{4}\\[3pt]1&\color{#ec0000}{\not<}\dfrac{1}{4}\end{align}||Cette inégalité est fausse, ce qui implique que l’intervalle |\left]\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{2\pi}{3}},\color{#3a9a38}{\dfrac{4\pi}{3}}}\right[| ne fait pas partie de l’ensemble-solution.
||\left]\boldsymbol{\color{#3a9a38}{\dfrac{4\pi}{3}},\color{#ff55c3}{\dfrac{5\pi}{3}}}\right[||On teste |x=\dfrac{3\pi}{2}.|||\begin{align}\cos^2(x)&<\dfrac{1}{4}\\[3pt]\cos^2\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)&\overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{4}\\[3pt](0)^2&\overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{4}\\[3pt]0&<\dfrac{1}{4}\end{align}||Cette inégalité est vraie, ce qui implique que l’intervalle |\left]\boldsymbol{\color{#3a9a38}{\dfrac{4\pi}{3}},\color{#ff55c3}{\dfrac{5\pi}{3}}}\right[| fait partie de l’ensemble-solution.
||\begin{align}\left]\boldsymbol{\color{#ff55c3}{\dfrac{5\pi}{3}},\color{#fa7921}{\dfrac{\pi}{3}}}+p\right[&=\left]\boldsymbol{\color{#ff55c3}{\dfrac{5\pi}{3}},{\color{#fa7921}{\dfrac{\pi}{3}}}}+2\pi\right[\\[3pt]&=\left]\boldsymbol{\color{#ff55c3}{\dfrac{5\pi}{3}},{\color{#fa7921}{\dfrac{7\pi}{3}}}}\right[\end{align}||On teste |x=2\pi.|||\begin{align}\cos^2(x)&<\dfrac{1}{4}\\[3pt]\cos^2(2\pi)&\overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{4}\\[3pt](1)^2&\overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{4}\\[3pt]1&\color{#ec0000}{\not<}\dfrac{1}{4}\end{align}||Cette inégalité est fausse, ce qui implique que l’intervalle |\left]\boldsymbol{\color{#ff55c3}{\dfrac{5\pi}{3}},{\color{#fa7921}{\dfrac{7\pi}{3}}}}\right[| ne fait pas partie de l’ensemble-solution.
Puisque les bornes des intervalles se répètent à chaque période, l’ensemble-solution de l’inéquation |\cos^2(x)<\dfrac{1}{4}| est le suivant.
||x\in\left]\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\right[\ \cup\ \left]\dfrac{4\pi}{3}+2\pi n,\ \dfrac{5\pi}{3}+2\pi n\right[||où||n\in\mathbb{Z}||
On peut aussi écrire l’ensemble-solution de la façon suivante.
||x\in\left]\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\ \dfrac{2\pi}{3}+\pi n\right[||où||n\in\mathbb{Z}||
On peut représenter les solutions dans le graphique de la fonction cosinus de degré 2 à l’aide d’un outil technologique. Tracer ce genre de graphique n’est pas au programme du secondaire.
