Les lois des logarithmes permettent de faire plusieurs calculs de logarithmes sans avoir recours à la calculatrice. L'application de la définition et des lois des logarithmes sera entre autres mise à profit en mathématiques financières pour la résolution de mises en situation impliquant des intérêts composés, ainsi qu’en physique pour le calcul de la demi-vie.
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Cas particuliers |
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|\log_c 1 =0| |
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|\log_c c =1| |
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Le logarithme dont l’argument est égal à la base affectée d’un exposant |
|\log_c c^t = t| |
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Lois |
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|\log_c(M \times N) = \log_c M + \log_c N| |
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|\log_{c}\dfrac{M}{N}=\log_{c}M-\log_{c}N| |
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|\log_c M^{\large n} = n \log_c M| |
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|\log_{\large\frac{_{1}}{c}}M=-\log_{c}M| |
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|\log_{c}M=\dfrac{\log_{a}M}{\log_{a}c}| |
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Remarques :
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Pour toutes ces propriétés, on a |\{c,a,M,N \} \in\ ]0,+\infty[| et |n \in \mathbb{R}.|
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Ces lois peuvent être lues de la gauche vers la droite, mais également de la droite vers la gauche. Il est possible d’utiliser les lois dans un sens ou dans l’autre en fonction du problème qu’on cherche à résoudre.
Un logarithme dont l’argument est |1| vaut toujours |0.|||\log_c 1=0||
Que vaut |\log_8 1|?
Trouver |\log_8 1| revient à se demander : « Quel exposant faut-il donner à |8| pour obtenir |1|? »||\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{8}}\color{#ec0000}{1}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{8}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{1}\\ \color{#3b87cd}{8}^\color{#3a9a38}{0}&=\color{#ec0000}{1}\end{align}||Réponse : Comme l’exposant qu’il faut donner à |8| pour obtenir |1| est |0,| on en conclut que |\log_8 1=0.|
||\color{#3b87cd}{c}^\color{#3a9a38}{0}=\color{#ec0000}{1}\quad\Leftrightarrow\quad\log_{\color{#3b87cd}{c}}\color{#ec0000}{1}=\color{#3a9a38}{0}||Toute base affectée de l’exposant |0| donne |1,| sauf si la base est |0|.
Un logarithme dont la base est égale à l’argument vaut |1.|||\log_c c=1||
Que vaut |\log_{12} 12|?
Trouver |\log_{12} 12| revient à se demander : « Quel exposant faut-il donner à |12| pour obtenir |12|? »||\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{12}}\color{#ec0000}{12}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{12}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{12}\\ \color{#3b87cd}{12}^\color{#3a9a38}{1}&=\color{#ec0000}{12}\end{align}||Réponse : Comme l’exposant qu’il faut donner à |12| pour obtenir |12| est |1,| on en conclut que |\log_{12} 12=1.|
||\color{#3b87cd}{c}^\color{#3a9a38}{1}=\color{#ec0000}{c}\quad\Leftrightarrow\quad\log_{\color{#3b87cd}{c}}\color{#ec0000}{c}=\color{#3a9a38}{1}||Toute base affectée de l'exposant |1| donne la base elle-même.
Ce cas découle directement du passage de la notation logarithmique à la notation exponentielle.||\log_c c^t=t||
Que vaut |\log_5 125|?
On sait qu'on peut exprimer le nombre |125| comme une puissance de |5.| ||125=5^3||Réponse :||\begin{align}\log_\color{#3b87cd}5 \color{#ec0000}{125}&=\log_\color{#3b87cd}5 \color{#ec0000}{5^3}\\&=\color{#3a9a38}3\end{align}||
|\color{#ec0000}t| est l'exposant qu'il faut attribuer à |c| pour obtenir |c^t.|||c^\color{#ec0000}t=c^t \Leftrightarrow\ \log_c c^t=\color{#ec0000}t||
Si l'argument du logarithme est une multiplication de 2 facteurs, on obtient alors l'addition de 2 expressions logarithmiques.||\log_c (M\times N)=\log_c M+\log_c N||Remarque : La valeur de la base ne change pas lorsqu'on utilise cette loi.
Exemple 1
Que vaut |\log_{12} 4+\log_{12} 36|?
En appliquant la loi du logarithme d’un produit, on obtient l’égalité suivante.||\begin{align}\log_{12}4+\log_{12}36&=\log_{12} (4 \times 36) \\&= \log_{12} (144) \end{align}||On se demande ensuite : « Quel exposant doit-on donner à |12| pour obtenir |144|? »||\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{12}}\color{#ec0000}{144}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{12}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{144}\\ \color{#3b87cd}{12}^\color{#3a9a38}{2}&=\color{#ec0000}{144}\end{align}||L’exposant qu’il faut donner à |12| pour obtenir |144| est |2.|
Réponse :||\begin{align}\log_{12}4+\log_{12}36&= \log_{12} (144)\\&= 2\end{align}||
Exemple 2
Décompose l’expression suivante en une somme de logarithmes : |\log_{10} 15.|
On sait que |15=3\times5.|
On utilise la loi du logarithme d’un produit pour décomposer l’expression.
Réponse : ||\begin{align}\log_{10}15&=\log_{10}(3\times5)\\&=\log_{10}3+\log_{10}5\end{align}||
Remarque : La décomposition est pratique pour simplifier des expressions lorsqu’on fait des calculs logarithmiques.
On pose |x=\log_c M| et |y=\log_c N.|
|x| est l’exposant qu’on doit donner à |c| pour obtenir |M| et |y| est l’exposant qu’on doit donner à |c| pour obtenir |N.|||\begin{align}x&=\log_cM&\Leftrightarrow&&c^x&=M\\y&=\log_c N&\Leftrightarrow&&c^y&=N\end{align}||Si on multiplie ces termes ensemble, on obtient ceci.||c^x \times c^y=M \times N||On applique la loi des exposants du produit de puissances de même base.||c^{x+y}=M \times N||À partir de cette égalité, on passe en notation logarithmique. L’exposant qu’on doit donner à |c| pour obtenir |M \times N| est |x+y.|||c^{x+y}=M \times N\ \Leftrightarrow \ \log_c {(M \times N)}=x+y||Comme on a posé initialement que |x=\log_c M| et |y=\log_c N,| on les remplace dans l’équation précédente et on obtient bel et bien la loi du logarithme d’un produit.||\begin{align}\log_c {(M \times N)}&=\color{#fa7921}x+\color{#ff55c3}y\\ \log_c {(M \times N)}&=\color{#fa7921}{\log_c M}+\color{#ff55c3}{\log_c N}\end{align}||
Si l'argument du logarithme est une division de 2 termes, on obtient alors une soustraction de 2 expressions logarithmiques.||\log_c \left(\dfrac{M}{N}\right)=\log_c M-\log_c N||Remarque : La valeur de la base ne change pas lorsqu'on utilise cette loi. De plus, l'ordre des arguments doit absolument être respecté.
Exemple 1
Que vaut |\log_2 320-\log_2 5|?
En appliquant la loi du logarithme d’un quotient, on obtient l’égalité suivante.||\begin{align} \log_2 320-\log_2 5&=\log_2 \left(\dfrac{320}{5}\right)\\&=\log_2 64\end{align}||On se demande ensuite : « Quel exposant doit-on donner à |2| pour obtenir |64|? »||\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{2}}\color{#ec0000}{64}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{2}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{64}\\ \color{#3b87cd}{2}^\color{#3a9a38}{6}&=\color{#ec0000}{64}\end{align}||L’exposant qu’il faut donner à |2| pour obtenir |64| est |6.|
Réponse :||\begin{align}\log_2 320-\log_2 5&=\log_2 64\\&=6\end{align}||
Exemple 2
Que vaut |\log_4 \left(\dfrac{1}{16}\right)|?
En appliquant la loi du logarithme d’un quotient, on obtient l’égalité suivante.||\log_4\left({\dfrac{1}{16}}\right)=\log_4 1-\log_4 16||On cherche donc à savoir quels exposants donner à |4| pour obtenir |1| et |16| respectivement.
||\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{4}}\color{#ec0000}{1}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{4}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{1}\\ \color{#3b87cd}{4}^\color{#3a9a38}{0}&=\color{#ec0000}{1}\end{align}||
||\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{4}}\color{#ec0000}{16}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{4}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{16}\\ \color{#3b87cd}{4}^\color{#3a9a38}{2}&=\color{#ec0000}{16}\end{align}||
Les exposants qu’on doit donner à |4| pour obtenir |1| et |16| sont respectivement |0| et |2.|
Réponse :||\begin{align}\log_4\left(\dfrac{1}{16}\right)&=\log_4 1-\log_4 16\\&=0-2\\&=-2\end{align}||
Plusieurs méthodes sont possibles pour résoudre un même problème. Par exemple, on aurait pu résoudre le problème précédent en utilisant le logarithme dont l’argument est égal à la base affectée d’un exposant. ||\begin{align}\log_4\left(\dfrac{1}{16}\right)&=\log_4\left(\dfrac{1}{4^2}\right)\\ &=\log_4\left(4^{-2}\right)\\&=-2\end{align}||
On pose |x=\log_c M| et |y=\log_c N.|
|x| est l’exposant qu’on doit donner à |c| pour obtenir |M| et |y| est l’exposant qu’on doit donner à |c| pour obtenir |N.|||\begin{align}x=\log_cM\ &\Leftrightarrow \ c^x=M\\ y=\log_c N\ &\Leftrightarrow \ c^y=N\end{align}||Si on divise ces 2 termes, on obtient ceci.||\dfrac{c^x}{c^y}=\dfrac{M}{N}||On applique la loi des exposants du quotient de puissances de même base.||c^{x-y}=\dfrac{M}{N}|| À partir de cette égalité, on passe en notation logarithmique. L’exposant qu’on doit donner à |c| pour obtenir |\dfrac{M}{N}| est |x-y.|||c^{x-y}=\dfrac{M}{N}\ \Leftrightarrow \ \log_c {\left(\dfrac{M}{N}\right)}=x-y||Comme on a posé initialement que |x=\log_c M| et |y=\log_c N,| on les remplace et on obtient bel et bien la loi du logarithme d’un quotient.||\begin{align}\log_c {\left(\dfrac{M}{N }\right)}&=\color{#fa7921}x-\color{#ff55c3}y\\ \log_c {\left(\dfrac{M}{N }\right)}&=\color{#fa7921}{\log_c M}-\color{#ff55c3}{\log_c N}\end{align}||
Lorsque l'argument d'un logarithme est une puissance, l’exposant peut être transformé en coefficient du même logarithme.||\log_c {M^n}=n\log_c M||
Remarque : La valeur de la base ne change pas lorsqu'on utilise cette loi.
Exemple 1
Que vaut |\log_7 49^2|?
On utilise la loi du logarithme d’une puissance pour écrire différemment cette expression.||\log_\color{#3b87cd}{7} \color{#ec0000}{49^2}=\color{#ec0000}2\log_\color{#3b87cd}{7} \color{#ec0000}{49}||On cherche donc à savoir quel exposant on doit donner à |7| pour obtenir |49.|||\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{7}}\color{#ec0000}{49}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{7}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{49}\\ \color{#3b87cd}{7}^\color{#3a9a38}{2}&=\color{#ec0000}{49}\end{align}||L’exposant qu’on doit donner à |7| pour obtenir |49| est |2.|
Réponse :||\begin{align}\log_7 49^2&=2\log_7 49\\&=2\times2\\&=4\end{align}||
Exemple 2
Que vaut |2\log_4 8|?
On utilise la loi du logarithme d’une puissance pour écrire différemment cette expression.||\begin{align} 2\log_\color{#3b87cd}{4} 8&=\log_\color{#3b87cd}{4} \color{#ec0000}{8^2}\\&=\log_\color{#3b87cd}{4} \color{#ec0000}{64}\end{align}||On cherche donc à savoir quel exposant on doit donner à |4| pour obtenir |64.|||\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{4}}\color{#ec0000}{64}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{4}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{64}\\ \color{#3b87cd}{4}^\color{#3a9a38}{3}&=\color{#ec0000}{64}\end{align}||L’exposant qu’on doit donner à |4| pour obtenir |64| est |3.|
Réponse :||\begin{align}2\log_4 8 &=\log_4 64\\&=3\end{align}||
On pose |x=\log_c M.|
|x| est l’exposant qu’on doit donner à |c| pour obtenir |M.|||x=\log_c M\ \Leftrightarrow \ c^x=M||Si on élève à la |n| des 2 côtés de l’égalité, on obtient ceci.||(c^x)^{^{\Large{n}}}=M^n||On applique la loi des exposants de la puissance d’une puissance.||c^{xn}=M^n||À partir de cette égalité, on passe en notation logarithmique. L’exposant qu’on doit donner à |c| pour obtenir |M^n| est |xn.|||c^{xn}=M^n\ \Leftrightarrow \ \log_c M^n=xn||Comme on a posé initialement que |x=\log_c M,| on le remplace et on obtient bel et bien la loi du logarithme d’une puissance.||\begin{align}\log_c M^n&=\color{#fa7921}xn\\ \log_c M^n&=\color{#fa7921}{\log_c M} \times n\\ \log_c M^n&=n\log_c M\end{align}||
Un logarithme dont la base est une fraction |\dfrac{1}{c}| est équivalent à l'opposé du logarithme du même argument, mais dont la base est |c.|||\log_{\large\frac{1}{c}}M=-\log_c M||
Que vaut |\log_{\large\frac{1}{3}} 81|?
En appliquant la loi du logarithme fractionnaire, on obtient l’égalité suivante.||\log_\color{#3b87cd}{\large\frac{1}{3}} \color{#ec0000}{81}=-\log_\color{#3b87cd}{3} \color{#ec0000}{81}||On se demande ensuite quel exposant on doit donner à |3| pour obtenir |81.|||\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{3}}\color{#ec0000}{81}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{3}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{81}\\ \color{#3b87cd}{3}^\color{#3a9a38}{4}&=\color{#ec0000}{81}\end{align}||L’exposant qu’on doit donner à |3| pour obtenir |81| est |4.|
Réponse :||\begin{align}\log_{\large\frac{1}{3}} 81&=-\log_3 81\\&= -4\end{align}||
On pose |x=\log_{\large\frac{1}{c}} M.|
|x| est l’exposant qu’on doit donner à |\dfrac{1}{c}| pour obtenir |M.|||x=\log_{\large\frac{1}{c}} M\ \Leftrightarrow \ \left(\dfrac{1}{c}\right)^x=M||On applique la loi des exposants de l’exposant négatif.||c^{-x}=M||À partir de cette égalité, on passe en notation logarithmique. L’exposant qu’on doit donner à |c| pour obtenir |M| est |-x.|||c^{-x}=M\ \Leftrightarrow \ -x=\log_c M||Comme on a posé initialement que |x=\log_{\large\frac{1}{c}} M,| on le remplace et on obtient bel et bien la loi du logarithme fractionnaire.||\begin{align}-\color{#fa7921}x&=\log_c M\\-\color{#fa7921}{\log_{\large\frac{1}{c}} M}&=\log_c M\\ \log_{\large\frac{1}{c}} M&=-\log_c M\end{align}||
Le calcul du logarithme d'un argument est équivalent au quotient du logarithme de ce même argument et du logarithme de sa base, à condition que les bases soient identiques.||\log_c M=\dfrac{\log_a M}{\log_a c}||
où |a\not=0| et |a\not=1|
Remarque : L'ordre dans lequel les éléments sont présentés pour le quotient doit être respecté. Le logarithme de l'argument est placé au numérateur, alors que celui de la base se situe au dénominateur.
Que vaut |\log_{16} 128|?
On remarque que |16| et |128| sont des puissances de |2.| On applique donc un changement de base et on obtient l’égalité suivante.||\log_\color{#3b87cd}{16} \color{#ec0000}{128}=\dfrac{\log_2 \color{#ec0000}{128}}{\log_2 \color{#3b87cd}{16}}||On doit se demander : « Quels exposants faut-il donner à |2| pour obtenir |128| et |16| respectivement? »
||\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{2}}\color{#ec0000}{128}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{2}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{128}\\ \color{#3b87cd}{2}^\color{#3a9a38}{7}&=\color{#ec0000}{128}\end{align}||
||\begin{align}\log_{\color{#3b87cd}{2}}\color{#ec0000}{16}=\ \color{#3a9a38}{?}\quad\Leftrightarrow\quad\color{#3b87cd}{2}^\color{#3a9a38}{?}&=\color{#ec0000}{16}\\ \color{#3b87cd}{2}^\color{#3a9a38}{4}&=\color{#ec0000}{16}\end{align}||
Les exposants qu’on doit donner à |2| pour obtenir |128| et |16| sont respectivement |7| et |4.|
Réponse :||\begin{align} \log_{16} 128&=\dfrac{\log_2 128}{\log_2 16}\\&=\dfrac{7}{4}\end{align}||
Malgré le fait qu’on a choisi d’utiliser la base |2| dans l'exemple précédent, c'est généralement la base |10| ou la base |e| qui est choisie. En effet, la majorité des calculatrices sont programmées pour calculer des logarithmes en base |10| (touche log) ou des logarithmes naturels (touche ln).
À l'aide d'une calculatrice, déterminer la valeur approximative de l'expression |\log_3 5.|
Il faut transformer cette expression afin d'obtenir un logarithme en base |10.| Pour y arriver, on utilise la loi du changement de base. On obtient ceci.||\log_\color{#3b87cd}3 \color{#ec0000}5 = \dfrac{\log_{10}\color{#ec0000}5}{\log_{10} \color{#3b87cd}3}||On peut calculer cette expression à l'aide d'une calculatrice. On a donc le calcul suivant.||\begin{align}\log_\color{#3b87cd}3 \color{#ec0000}5&=\dfrac{\log_{10}\color{#ec0000}5}{\log_{10} \color{#3b87cd}3}\\&\approx \color{#3a9a38}{1{,}46}\end{align}||
Remarque : On aurait aussi pu utiliser le logarithme naturel.||\begin{align}\log_\color{#3b87cd}3 \color{#ec0000}5&= \dfrac{\ln\color{#ec0000}5}{\ln\color{#3b87cd}3}\\&\approx\color{#3a9a38}{1{,}46}\end{align}||
On pose |x=\log_c M.|
|x| est l’exposant qu’on doit donner à |c| pour obtenir |M.|||x=\log_c M\ \Leftrightarrow \ c^x=M||On obtient ceci.||\log_a c^x=\log_a M||En effet, si 2 expressions sont équivalentes, alors les exposants qu’il faut donner à une certaine base |a| pour obtenir ces 2 expressions sont aussi équivalents. À partir de cette égalité, on utilise la loi du logarithme d’une puissance.||\begin{align} \log_a c^x &=\log_a M \\ x\log_a c &= \log_a M \end{align}||On isole |x.|||x=\dfrac{\log_a M}{\log_a c}||Comme on a posé initialement que |x=\log_c M,| on le remplace et on obtient bel et bien la loi du changement de base.||\begin{align}\color{#fa7921}x&=\dfrac{\log_a M}{\log_a c}\\\color{#fa7921}{\log_c M}&=\dfrac{\log_a M}{\log_a c}\end{align}||
Pour valider ta compréhension des lois des logarithmes et des exposants de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante :
