L'équation d'une fonction tangente s'écrit :||f(x)=a\tan\,(b(x-h))+k.||
Lorsqu'on recherche la règle d'une fonction tangente, deux cas peuvent se présenter :
Pour trouver la règle d’une fonction tangente à partir d’un graphique, il faut connaitre 3 détails :
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Les coordonnées d’un point d’inflexion (le point de la courbe où s’observe un changement de courbure situé à mi-chemin entre 2 asymptotes consécutives) de la fonction tangente fournissent directement les paramètres |h| et |k.| ||P(x,y)=(h,k)||
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La distance entre 2 asymptotes consécutives correspond à la période de la fonction tangente. La période permet de déterminer la valeur absolue du paramètre |b.| ||{\mid}b{\mid} =\dfrac{\pi}{\text{période}}||
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La variation de la fonction tangente permet de déterminer le signe des paramètres |a| et |b.|
Si la fonction tangente est croissante entre 2 asymptotes consécutives, alors |ab>0,| c’est-à-dire que |a| et |b| sont tous les deux positifs ou tous les deux négatifs.
Si la fonction tangente est décroissante entre 2 asymptotes consécutives, alors |ab<0,| c’est-à-dire que |a| et |b| sont de signes contraires.
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Déterminer les valeurs de |h| et |k| à l’aide du point d’inflexion connu.
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Déterminer la période pour trouver la valeur de |b.|
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Déterminer les signes de |a| et |b| selon la variation de la courbe.
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Déterminer la valeur de |a| en substituant les coordonnées d'un point dans l'équation.
À partir du graphique suivant, trouve l'équation de la fonction tangente.
1. Trouver les valeurs de |h| et |k|
Le point d'inflexion de cette fonction est situé à |\left(\dfrac{\pi}{4},3\right).| Ainsi, la valeur de |h| sera de |\dfrac{\pi}{4}| et la valeur de |k| sera de |3.|
2. Déterminer la période pour calculer la valeur de |b|
||{\mid}b{\mid} = \dfrac{\pi}{\text{période}} = \dfrac{\pi}{2\pi}= \dfrac{1}{2}||
3. Déterminer les signes de |a| et |b| selon la variation de la courbe
Entre 2 asymptotes consécutives, on remarque que la fonction est croissante. On en déduit que le produit |ab| est positif, c’est-à-dire que les paramètres |a| et |b| sont du même signe. Il est plus pratique de travailler avec les nombres positifs quand c’est possible, alors on choisit un |b| positif. En faisant ce choix, on devrait donc calculer un |a| positif à la prochaine étape. Si c’est bien le cas, on aura la confirmation que notre démarche est bonne.
4. Déterminer la valeur de |a| en substituant les coordonnées d'un point dans l'équation
Si on a les coordonnées précises d’un point sur le graphique, on peut trouver la valeur du paramètre |a.|
||\begin{align}
f(x) &= \color{blue}{a} \tan \dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+3\\
3{,}83 &= \color{blue}{a} \tan \dfrac{1}{2}\left(1{,}57-\dfrac{\pi}{4}\right)+3\\
3{,}83 &\approx \color{blue}{a} \tan \dfrac{1}{2}(0{,}785)+3\\
3{,}83 &\approx \color{blue}{a} \tan (0{,}393)+3\\
3{,}83 &\approx \color{blue}{a}(0{,}414)+3\\
3{,}83 \color{red}{-3} &\approx \color{blue}{a}(0{,}414)+3 \color{red}{-3}\\
0{,}83 &\approx \color{blue}{a}(0{,}414)\\
\color{red}{\dfrac{\color{black}{0{,}83}}{0{,}414}} &\approx \color{red}{\dfrac{\color{blue}{a}\color{black}{(0{,}414)}}{0{,}414}} \\
2 &\approx \color{blue}{a}
\end{align}||
Réponse : L'équation de la fonction est donc : ||f(x)=2\tan\left(\dfrac{1}{2}\Big(x-\dfrac{\pi}{4}\Big)\right)+3||
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Déterminer la période avec les deux asymptotes connues
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Trouver la valeur de |{\mid}b{\mid}| et le signe de |b,| si possible
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Déterminer la valeur du paramètre |h|
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Bâtir un système d'équations avec |a| et |k|
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Résoudre le système précédent grâce à la méthode de comparaison
Trouve l'équation de la fonction tangente passant par les points |(0\ ; 1{,}455)| et |(-3\ ; 3{,}557)|. De plus, |x=-1-\pi| et |x=-1+\pi| sont les équations de deux asymptotes consécutives.
1. Déterminer la période avec les deux asymptotes connues
La différence entre les deux abscisses des asymptotes donne la valeur de la période. ||p = (-1+\pi)-(-1-\pi) = 2\pi||
2. Trouver la valeur de |{\mid}b{\mid}| et le signe de |b|, si possible
Connaissant la période, il est possible de trouver la valeur absolue de |b.| || {\mid}b{\mid} =\dfrac{\pi}{\text{période}}= \dfrac{\pi}{2\pi} = \dfrac{1}{2}|| De plus, la fonction est décroissante puisque, lorsque les abscisses augmentent, les ordonnées diminuent. En effet, il suffit de regarder les coordonnées des deux points donnés.
Quand une fonction tangente est décroissante, le produit |ab| est négatif. On peut choisir de prendre une valeur positive pour |b| et, ainsi, ce sera la valeur de |a| qui sera négative.
De ce fait, |b = \dfrac{1}{2}.|
3. Déterminer la valeur du paramètre |h|
La valeur du paramètre |h| se détermine en faisant la moyenne des abscisses des asymptotes. || h = \dfrac{-1+\pi + -1-\pi}{2} = -\dfrac{2}{2}=-1||
4. Bâtir un système d'équations avec |a| et |k|
On bâtit un système d'équations en remplaçant ce qu'on connait dans deux équations. ||\begin{align} 3{,}557 &= a\tan\left(\dfrac{1}{2}(-3+1)\right)+k\\ 1{,}455 &= a\tan\left(\dfrac{1}{2}(0+1)\right)+k \end{align}||
5. Résoudre le système d'équations
On isole |k| dans les deux équations. ||\begin{align} 3{,}557 &= a\tan\left(\dfrac{1}{2}(-3+1\right)+k\\ 3{,}557 &= -1{,}557a + k\\ 3{,}557+1{,}557a &= k\\\\
1{,}455 &= a\tan\left(\dfrac{1}{2}(0+1)\right)+k\\
1{,}455 &= 0{,}546a + k\\
1{,}455-0{,}546a &= k
\end{align}||
On passe à la méthode de comparaison. ||\begin{align}3{,}557+1{,}557a &= 1{,}455-0{,}546a \\ 2{,}102+1{,}557a &= -0{,}546\\ 2{,}102 &= -2{,}103a\\ -1 &\approx a \end{align}||
On remplace |a| dans l'une des deux équations pour trouver |k.| ||\begin{align} k &= 3{,}557+1{,}557a \\ k &= 3{,}557+1{,}557(-1) \\ k &\approx 2 \end{align}||
Réponse : L'équation de la fonction est |f(x)=-\tan\left(\dfrac{1}{2}(x+1)\right)+2|