La réciproque de la fonction tangente de base est la fonction arc tangente qui s'intéresse à la mesure des angles (en radians) du cercle trigonométrique en fonction du rapport entre l’ordonnée et l’abscisse des points du cercle.
La règle de la fonction arc tangente de base est |f(x)=\arctan (x).| On note aussi cette fonction |f(x)=\tan^{-1}(x).|
Remarque : Il ne faut pas confondre la notation |\tan^{-1}(x)| avec |\dfrac{1}{\tan (x)}.|
Voici un résumé des propriétés de la fonction |\arctan (x).|
-
La fonction passe par l’origine du plan cartésien.
-
La fonction possède 2 asymptotes horizontales : |y=-\dfrac{\pi}{2}| et |y=\dfrac{\pi}{2}.|
-
Le domaine de la fonction est |\mathbb{R}.|
-
L’image (codomaine) est |\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[.|
-
La fonction est croissante sur son domaine.
La réciproque d’une fonction tangente n’est pas une fonction. Pour qu’elle le devienne, on doit restreindre son image.
Dans le plan cartésien ci-dessous, on a tracé la fonction tangente de base. Pour tracer sa réciproque, on interchange les coordonnées |x| et |y| des points de la fonction. On peut aussi effectuer une réflexion des points par rapport à la droite d’équation |y=x.| Par exemple, le point |\left(1,\dfrac{\pi}{2}\right)| devient le point |\left(\dfrac{\pi}{2},1\right).|
En procédant ainsi, on obtient une autre courbe qui n’est pas une fonction. En limitant l’image de la réciproque à l’intervalle |\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[,| on obtient la fonction arc tangente.
Pour trouver la règle de la réciproque d’une fonction tangente, on suit les étapes suivantes.
-
Interchanger |x| et |y| dans la règle.
-
Isoler la variable |y.|
-
Donner la règle de la réciproque.
Détermine la règle de la réciproque de la fonction |f(x)=\dfrac{1}{2}\tan\!\big(\pi(x-3)\big)-1.|
-
Interchanger |x| et |y| dans la règle||\begin{align}\color{#3B87CD}y&=\dfrac{1}{2}\tan\!\big(\pi(\color{#FF55C3}x-3)\big)-1\\ \color{#FF55C3}x&=\dfrac{1}{2}\tan\!\big(\pi(\color{#3B87CD}y-3)\big)-1\end{align}||
-
Isoler la variable |y|||\begin{align}x&=\dfrac{1}{2}\tan\!\big(\pi(\color{#3B87CD}y-3)\big)-1\\x+1&=\dfrac{1}{2}\tan\!\big(\pi(\color{#3B87CD}y-3)\big)\\\dfrac{x+1}{\frac{1}{2}}&=\tan\!\big(\pi(\color{#3B87CD}y-3)\big)\end{align}||La division par |\dfrac{1}{2}| peut aussi s’écrire comme une multiplication par |2,| ce qui simplifie l’équation.||2(x+1)=\tan\!\big(\pi(\color{#3B87CD}y-3)\big)||Pour isoler |y,| il faut éliminer |\tan| en effectuant l’opération inverse, |\tan^{-1}.|||\begin{align}\color{#EC0000}{\tan^{-1}\!\big(\color{black}{2(x+1)}\big)}&=\pi(\color{#3B87CD}y-3)\\\dfrac{1}{\pi}\tan^{-1}\!\big(2(x+1)\big)&=\color{#3B87CD}y-3\\\dfrac{1}{\pi}\tan^{-1}\!\big(2(x+1)\big)+3&=\color{#3B87CD}y\end{align}||
-
Donner la règle de la réciproque
La règle de la réciproque de la fonction tangente est la suivante.||f^{-1}(x)=\dfrac{1}{\pi}\tan^{-1}\!\big(2(x+1)\big)+3||
Remarque : Pour que la réciproque devienne une fonction, on doit limiter son image.
Voici la représentation graphique de la fonction arc tangente de l’exemple précédent. Afin que la réciproque puisse devenir une fonction, on limite son image. Dans cet exemple, on doit limiter l’image à l’intervalle |]2{,}5;3{,}5[.|
