Le théorème de Pythagore, aussi appelé relation de Pythagore, est une relation qui permet de trouver la mesure d’un côté d’un triangle rectangle lorsqu’on connait celle des 2 autres côtés.
Les cathètes d’un triangle rectangle, souvent notées |a| et |b,| correspondent aux 2 côtés qui forment l’angle droit.
L’hypoténuse d’un triangle rectangle, notée |c,| correspond au côté le plus long. Autrement dit, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
Le théorème de Pythagore s’énonce de la façon suivante.
Dans un triangle rectangle, la somme du carré des cathètes est égale au carré de l’hypoténuse.||a^2+b^2=c^2||
Le théorème de Pythagore est l’un des plus anciens et des plus fameux théorèmes en mathématiques. Aujourd’hui, la communauté mathématique en a collecté plus de 350 démonstrations différentes.
Dans l’animation interactive suivante, on peut déplacer le curseur pour observer le raisonnement derrière l’une de ces démonstrations.
Soit un triangle rectangle quelconque qui a |\boldsymbol{\color{#fa7921}{a}}| et |\boldsymbol{\color{#3b87cd}{b}}| comme mesure des cathètes ainsi que |\boldsymbol{\color{#7cca51}{c}}| comme mesure de l’hypoténuse.
On fait 4 copies du triangle, qu’on place de façon à former un carré dont les côtés mesurent |\boldsymbol{\color{#fa7921}{a}+\color{#3b87cd}{b}}.| À l’intérieur de ce carré, on a alors un autre carré dont les côtés mesurent |\boldsymbol{\color{#7cca51}{c}}.| L’aire de ce carré est donc |\boldsymbol{\color{#7cca51}{c^2}}.|
Ensuite, en déplaçant chaque triangle à l’aide d’une translation, le carré |\boldsymbol{\color{#7cca51}{c^2}}| se transforme en 2 autres carrés : |\boldsymbol{\color{#fa7921}{a^2}}| et |\boldsymbol{\color{#3b87cd}{b^2}}.| Ainsi, la somme de l’aire du carré de côté |\boldsymbol{\color{#fa7921}{a}}| et du carré de côté |\boldsymbol{\color{#3b87cd}{b}}| est égale à l’aire du carré de côté |\boldsymbol{\color{#7cca51}{c}}.|
Voici la preuve d’un point de vue algébrique.||\begin{alignat}{13}4\times A_\Delta\,&+A_\boldsymbol{\color{#7cca51}{c}}&&=\ A_\boldsymbol{\color{#3b87cd}{a}+\color{#fa7921}{b}}\\4\times\dfrac{\boldsymbol{\color{#3b87cd}{a}\color{#fa7921}{b}}}{2}&+\boldsymbol{\color{#7cca51}{c}}^2&&=(\boldsymbol{\color{#3b87cd}{a}}+\boldsymbol{\color{#fa7921}{b}})^2\\\color{#ec0000}{\cancel{\color{black}{2ab}}}&+\boldsymbol{\color{#7cca51}{c}}^2&&=\boldsymbol{\color{#3b87cd}{a}}^2+\color{#ec0000}{\cancel{\color{black}{2ab}}}+\boldsymbol{\color{#fa7921}{b}}^2\\[3pt]&\quad\boldsymbol{\color{#7cca51}{c}}^2&&=\boldsymbol{\color{#3b87cd}{a}}^2+\boldsymbol{\color{#fa7921}{b}}^2\end{alignat}||
D’autres lettres que |a,| |b| et |c| peuvent être utilisées pour représenter le théorème de Pythagore. Par exemple, l’équation |x^2+y^2=z^2| est tout aussi valide que l’équation |a^2+b^2=c^2.|
Voici quelques exemples d'application du théorème de Pythagore.
Quelle est la mesure de l’hypoténuse du triangle |ABC|?
Le triangle |ABC| est un triangle rectangle, car l’angle au sommet |C| est un angle droit. On peut donc utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la mesure de l’hypoténuse |(c)| puisqu’on connait celle des cathètes |(a=3| et |b=4).|||\begin{align}a^2+b^2&=c^2\\3^2+4^2&=c^2\\9+16&=c^2\\25&=c^2\\\color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{25}}}&=\color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{c^2}}}\\5&=c\end{align}||Réponse : L’hypoténuse mesure |5| unités.
Dans l’exemple précédent, le triangle rectangle a la particularité d’avoir 3 nombres naturels comme mesures de côtés. On dit alors que les nombres |3,| |4| et |5| forment un triplet pythagoricien, c’est-à-dire un ensemble de 3 nombres naturels avec lesquels on peut construire un triangle rectangle. En voici quelques-uns.||\begin{alignat}{13}\{3,4,5\}\ \ &\quad\Rightarrow\quad\,&&3^2&&+\ 4^2&&=\ 5^2\\\{5,12,13\}&\quad\Rightarrow\quad\,&&5^2&&+12^2&&=13^2\\\{8,15,17\}&\quad\Rightarrow\quad\,&&8^2&&+15^2&&=17^2\\\{7,24,25\}&\quad\Rightarrow\quad\,&&7^2&&+24^2&&=25^2\end{alignat}||Jumelés avec le concept des figures semblables, les triplets pythagoriciens peuvent être très utiles pour calculer mentalement une mesure manquante dans un triangle rectangle. Par exemple, à partir du triplet |\{3,4,5\},| on peut déduire le triplet pythagoricien |\{6,8,10\}| en multipliant chaque nombre par |2.|
Quelle est la mesure de la cathète |\overline{BC}| du triangle |ABC|?
Le triangle |ABC| est un triangle rectangle, car l’angle au sommet |C| est un angle droit. On peut donc utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la mesure de la cathète manquante |(a)| puisqu’on connait la mesure de l’autre cathète |(b=8{,}5)| et celle de l’hypoténuse |(c=10{,}7).|||\begin{align}a^2+b^2&=c^2\\a^2+8{,}5^2&=10{,}7^2\\a^2+72{,}25&=114{,}49\\a^2+72{,}25\boldsymbol{\color{#ec0000}{-72{,}25}}&=114{,}49\boldsymbol{\color{#ec0000}{-72{,}25}}\\a^2&=42{,}24\\\color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{a^2}}}&=\color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{42{,}24}}}\\a&\approx6{,}5\end{align}||Réponse : La cathète manquante mesure environ |6{,}5| unités.
Quelle est la mesure des cathètes du triangle rectangle |ABC|?
Le triangle |ABC| est un triangle rectangle, alors on peut utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la mesure des cathètes.||\begin{align}\left(\text{m}\overline{AC}\right)^2+\left(\text{m}\overline{BC}\right)^2&=\left(\text{m}\overline{AB}\right)^2\\[3pt]\left(\text{m}\overline{AC}\right)^2+\left(\text{m}\overline{BC}\right)^2&=9{,}9^2\\[3pt]\left(\text{m}\overline{AC}\right)^2+\left(\text{m}\overline{BC}\right)^2&=98{,}01\end{align}||De plus, le triangle |ABC| est isocèle, car les côtés |\overline{AC}| et |\overline{BC}| sont isométriques. Autrement dit, on peut substituer |\text{m}\overline{AC}| par |\text{m}\overline{BC}| dans l’équation précédente.||\begin{align}\left(\textbf{m}\boldsymbol{\overline{AC}}\right)^2+\left(\text{m}\overline{BC}\right)^2&=98{,}01\\[3pt]\left(\textbf{m}\boldsymbol{\overline{BC}}\right)^2+\left(\text{m}\overline{BC}\right)^2&=98{,}01\\[3pt]2\left(\text{m}\overline{BC}\right)^2&=98{,}01\end{align}||Finalement, on isole |\text{m}\overline{BC}.|||\begin{align}\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{2\left(\text{m}\overline{BC}\right)^2}}{\boldsymbol{2}}}&=\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{98{,}01}}{\boldsymbol{2}}}\\[3pt]\color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{\left(\text{m}\overline{BC}\right)^2}}}&=\color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{\dfrac{98{,}01}{2}}}}\\[3pt]\text{m}\overline{BC}&=\text{m}\overline{AC}\approx7\end{align}||Réponse : Les cathètes mesurent environ |7\text{ cm}.|
Il est possible d’utiliser la relation de Pythagore pour vérifier si un triangle est rectangle ou non. En effet, un triangle est rectangle si et seulement si la relation de Pythagore est respectée.
-
Si la relation |a^2+b^2=c^2| est vraie, alors le triangle est rectangle.
-
Si la relation |a^2+b^2=c^2| est fausse, alors le triangle n’est pas rectangle.
Est-ce que le triangle |ABC| est rectangle?
Si le triangle |ABC| est rectangle, alors ses 3 côtés doivent respecter le théorème de Pythagore. Vérifions si c’est le cas.||\begin{align}a^2+b^2&\stackrel{?}{=}c^2\\6{,}5^2+7{,}2^2&\stackrel{?}{=}9{,}9^2\\42{,}25+51{,}84&\stackrel{?}{=}98{,}01\\[3pt]94{,}09&\color{#ec0000}{\ne}98{,}01\end{align}||Le triangle |ABC| ne respecte pas le théorème de Pythagore puisqu’on obtient une inégalité.
Réponse : Le triangle |ABC| n’est pas rectangle puisqu’il ne respecte pas le théorème de Pythagore.