Dans un triangle rectangle, si on trace la hauteur |\boldsymbol{(h)}| issue de l’angle droit, on crée 2 autres triangles rectangles. On peut déduire que ces 3 triangles sont semblables entre eux par la condition minimale A-A.
Il est possible d'établir plusieurs proportions à partir des côtés homologues de ces triangles rectangles. Ces proportions permettent d'énoncer 3 relations métriques qui facilitent la recherche de mesures manquantes dans un triangle rectangle.
||\begin{align}\dfrac{\color{#3b87cd}m}{\color{#ec0000}a}&=\dfrac{\color{#EC0000}a}{\color{#efc807}c}\\\\
\dfrac{\color{#3a9a38}n}{\color{#fa7921}b}&=\dfrac{\color{#fa7921}b}{\color{#efc807}c}\end{align}||
Le théorème de la hauteur relative à l'hypoténuse
||\dfrac{\color{#3b87cd}m}{\color{#c58ae1}h}=\dfrac{\color{#c58ae1}h}{\color{#3a9a38}n}||
Le théorème du produit des cathètes
||\dfrac{\color{#c58ae1}h}{\color{#ec0000}a}=\dfrac{\color{#fa7921}b}{\color{#efc807}c}||
Voici les étapes à suivre pour déterminer la mesure d’un segment dans un triangle à l’aide des relations métriques.
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Identifier les mesures données et celle qu’on cherche.
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Déterminer la relation métrique à utiliser.
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Déterminer la mesure manquante.
S’il manque plus d’une mesure pour utiliser une relation métrique, on peut parfois les trouver à l’aide du théorème de Pythagore.
Dans un triangle rectangle, chaque cathète |(a| et |b)| est moyenne proportionnelle entre sa projection sur l’hypoténuse |(m| ou |n)| et l’hypoténuse entière |(c).|
|\dfrac{\color{#3b87cd}m}{\color{#ec0000}a}=\dfrac{\color{#ec0000}a}{\color{#efc807}c}\ \Rightarrow\ \color{#ec0000}a^2= \color{#3b87cd}m\color{#efc807}c|
|\dfrac{\color{#3a9a38}n}{\color{#fa7921}b}=\dfrac{\color{#fa7921}b}{\color{#efc807}c}\ \Rightarrow\ \color{#fa7921}b^2=\color{#3a9a38}n\color{#efc807}c|
Détermine la mesure de |\overline{BC}| dans le triangle suivant.
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Identifier les mesures données et celle qu’on cherche
||\begin{align}\text{m}\overline{AB}&=c=16\ \text{cm}\\\text{m}\overline{BD}&=m=4\ \text{cm}\\\text{m}\overline{BC}&=a=\ ?\end{align}|| -
Déterminer la relation métrique à utiliser
On cherche la relation métrique qui fait intervenir |a,| |c| et |m.| Il s’agit du théorème des cathètes. -
Déterminer la mesure manquante
||\begin{align}a^2 &= m c \\a^2 &= 4\times 16\\a^2 &= 64\\a &= 8\end{align}||
Réponse : La mesure de |\overline{BC}| est de |8\ \text{cm}.|
Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l’angle droit |(h)| est moyenne proportionnelle entre les 2 segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse |(m| et |n).|
|\dfrac{\color{#3b87cd}m}{\color{#c58ae1}h}=\dfrac{\color{#c58ae1}h}{\color{#3a9a38}n}\ \Rightarrow\ \color{#c58ae1}h^2 = \color{#3b87cd}m\color{#3a9a38}n|
Détermine la mesure de |\overline{BD}| dans le triangle suivant.
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Identifier les mesures données et celle qu’on cherche
||\begin{align}\text{m}\overline{AD}&=n=12\ \text{cm}\\\text{m}\overline{CD}&=h=6\ \text{cm}\\\text{m}\overline{BD}&=m=\ ?\end{align}|| -
Déterminer la relation métrique à utiliser
On cherche la relation métrique qui fait intervenir |h,| |m| et |n.| Il s’agit du théorème de la hauteur relative à l’hypoténuse. -
Déterminer la mesure manquante
||\begin{align}h^2 &= mn\\6^2 &= 12\times m\\36 &= 12\times m\\3 &= m\end{align}||
Réponse : La mesure de |\overline{BD}| est de |3\ \text{cm}.|
Dans un triangle rectangle, le produit de l’hypoténuse |(c)| et de la hauteur correspondante |(h)| est égal au produit des cathètes |(a| et |b).|
|\dfrac{\color{#c58ae1}h}{\color{#ec0000}a}=\dfrac{\color{#fa7921}b}{\color{#efc807}c}\ \Rightarrow\ \color{#efc807}c\color{#c58ae1}h = \color{#ec0000}a\color{#fa7921}b|
Détermine la mesure de |\overline{CD}| dans le triangle suivant.
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Identifier les mesures données et celle qu’on cherche
||\begin{align}\text{m}\overline{AB}&=c=13\ \text{cm}\\\text{m}\overline{AC}&=b=12\ \text{cm}\\\text{m}\overline{CD}&=h=\ ?\end{align}|| -
Déterminer la relation métrique à utiliser
Il n’y a pas de relation métrique qui fait intervenir ces 3 grandeurs seulement. Par contre, pour utiliser le théorème du produit des cathètes, il ne manque que la mesure de la 2e cathète |(\overline{BC}),| qu’on peut déterminer à l’aide du théorème de Pythagore.||\begin{align} a^2 + b^2 &= c^2\\a^2 + 12^2 &= 13^2\\a^2 &= 169 - 144\\a^2 &= 25\\a &= 5\end{align}|| -
Déterminer la mesure manquante
||\begin{align}ch&=ab\\13h &= 5\times 12\\13h &= 60\\h &\approx 4{,}6\end{align}||
Réponse : La mesure de |\overline{CD}| est d’environ |4{,}6\ \text{cm}.|
Il est possible de résoudre des problèmes plus complexes en utilisant plusieurs relations métriques.
Dans l’image ci-dessous, la mesure du segment |\overline{BC}| est |100\ \text{cm},| alors que celle du segment |\overline{AC}| est de |116{,}62\ \text{cm}.| Détermine la mesure du segment |\overline{DE}.|
L’image contient 2 triangles rectangles dans lesquels on peut appliquer les relations métriques : |\triangle ABC| et |\triangle ABE.| La mesure recherchée se trouve dans le |\triangle ABE,| mais aucune mesure n’est fournie dans ce triangle. Il faut donc commencer par déterminer des mesures dans le |\triangle ABC.| Puisqu’on connait la mesure de l’hypoténuse et celle d’une des cathètes, on peut trouver la mesure de la 2e cathète avec le théorème de Pythagore.||\begin{align}\left(\text{m}\overline{AC}\right)^2&=\left(\text{m}\overline{AB}\right)^2+\left(\text{m}\overline{BC}\right)^2\\
116{,}62^2&=\left(\text{m}\overline{AB}\right)^2+100^2\\
13\ 600{,}22&\approx\left(\text{m}\overline{AB}\right)^2+10\ 000\\
3\ 600{,}22&\approx\left(\text{m}\overline{AB}\right)^2\\
60&\approx\text{m}\overline{AB}
\end{align}||On a maintenant une mesure dans le |\triangle ABE,| mais ce n’est pas suffisant. En utilisant le théorème du produit des cathètes dans le |\triangle ABC,| on peut déterminer la mesure de |\overline{BD}.|||\begin{align}\color{#efc807}{\text{m}\overline{AC}}\times\color{#c58ae1}{\text{m}\overline{BD}}&=\color{#ec0000}{\text{m}\overline{AB}}\times \color{#fa7921}{\text{m}\overline{BC}}\\
116{,}62\times\text{m}\overline{BD}&=60\times 100\\
116{,}62\times\text{m}\overline{BD}&=6\ 000\\
\text{m}\overline{BD}&\approx51{,}45
\end{align}||On peut maintenant déterminer des mesures dans le |\triangle ABE.| Comme on a la mesure d’une des cathètes et de sa projection sur l’hypoténuse, on utilise le théorème de la cathète pour trouver la mesure de l'hypoténuse du |\triangle ABE.|||\begin{align}\left(\color{#fa7921}{\text{m}\overline{AB}}\right)^2&=\color{#3a9a38}{\text{m}\overline{BD}}\times \color{#efc807}{\text{m}\overline{BE}}\\
60^2&=51{,}45\times \text{m}\overline{BE}\\
3\ 600&=51{,}45\times \text{m}\overline{BE}\\
69{,}97&\approx\text{m}\overline{BE}
\end{align}||Il ne reste plus qu’à faire une soustraction pour obtenir la mesure recherchée.||\begin{align}\text{m}\overline{DE}&=\text{m}\overline{BE}- \text{m}\overline{BD}\\
\text{m}\overline{DE}&=69{,}97- 51{,}45\\
\text{m}\overline{DE}&=18{,}52\ \text{cm}
\end{align}||Réponse : La mesure du segment |\overline{DE}| est de |18{,}52\ \text{cm}.|
Pour valider ta compréhension à propos des démonstrations de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante.
